抽象函数的对称性与周期性（高一、高二、高三）.pdf

数理天地 高中版 2 0 0 0 年第1 1 期 A C。+B C”是等价命题，而“A B C是直角三角 形”和“A B 一A C +B C”不是等价命题(为什么?两者是什么关系，请读者自行分析清楚)例 1 分别指出下列复合命题的形式及构成 它的简单命题：(1)2是偶质数；(2)牛顿是数学家或物理学家；(3)平行四边形的对边不相等 解(1)这个命题是“P八g”的形式，其中P：2是偶数，g：2是质数 (2)这个命题是“P V g”的形式，其中P：牛顿 是数学家，g：牛顿是物理学家 (3)这个命题是P的形式，其中P：平行四边形 的对边相等 例2 分别指出由下列各组命题构成的“P V g”、“P八g”、“P”形式的复合命题的真假：(1)P：5 3，g：5 3 (2)P：牛顿是数学家，g：牛顿是物理学家(3)P：0 0，1 ，g：0 0，1 (4)P：0 j2 ，g：j2 A 解(1)因为P 假g 真，所以“P V g”为真，“P 八g”为假，“P”为真(2)因为P真g 真，所以“P V g”为真，“P八g”为真，“P”为假(3)因为P真g 假，所以“P V g”为真，“P八g”为假，“P”为假(4)因为P假g 假，所以“P V g”为假，“P八g”为假，“P”为真 例3 命题“a、b 都是零”的否定是不是“a、b 都 不是零”?如果不是，写出它的否定，并说明理由 因为“a、b 都是零”的含义是“口 一0 且b 一0”，它的否定是“a0 或b 0”，意即“a、b中至少有一 个不是零”说明：“都是”的否定是“不都是”，即“至少有 一个不是”；“至少有一个”的否定是“一个没有”；“至少有()个”的否定是“至多有(1)(其中 N)个”；“至多有 ()个”的否定是“至少有(一1)(其中 N)个”例4 写出下列命题的否定：(1)A BC D且A BC D；(2)A B C是直角三角形或等腰三角形 解(1)原命题的否定是“A B不平行于C D或 AB CD”(2)原命题的否定是“A B C既不是直角三角 形，也不是等腰三角形”说明：“P且 g”的否定是“非 P或非 g”，即 P 八g P V g “P 或g”的否定是“非P且非g”，即p V g p 八g 例 5 写出下列命题的否定：(1)不论 m取什么实数，关于 的方程+m一 0 必有实数根；(2)存在一个实数，使得+1 0 解(1)原命题的否定是“至少有一个实数m，使得关于 的方程+m一0没有实数根”(2)原命题的否定是“对所有实数m，+1 0 ”说明：“对所有的 A，P()”的否定是 解“a、b都是零”的否定不是“a、b都不是“存在某一个 mA，非 P()”；零”，而是“a、b中至少有一个不是零”，即“a、b 不都 “存在一个mA，P(m)”的否定是“对所有 是零”的m A，非 P()”4 抽象函数的对称性与周期性(高 一、高 二、高 三)陈 明(北京市通州区 潞河中学 1 0 1 1 4 9)抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达 ，()有 一f(a+b )：f(b 一(6 一m)3 一 式，只给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函 ，()，即点Q也在函数Y 一，()的图象上，由点P 数部分的难点 下面就抽象函数的对称性与周期性 的任意性可知，命题成立 进行探讨：推论1 若函数Y 一。()定义域为R，且满足 1 抽象函数的对称性 条件f(a+)一f(a )(或f(2 a )一f()，定理1 若函数Y一，()定义域为R，且满足 则它的图象关于直线 a 对称 条件：f(a+)一f(b )，则函数Y 一 ()的图 推论2 若函数Y 一()定义域为R，且满足 象关于直线 一 对称 q-x )个=根f的(a和-x),X若方利 O 有 证明 令函数Y一()图象上任一点P(x，定理2 若函数Y一 ()定义域为R，且满足 )关于直线 一 对称的点为Q(，)，则有 条件 (口+)+(6 一 )c(a、c 为 常数)，则 x=a，q-b-m,一(b-x)且 一 证 y明八 4 5=言 1-22+l V 一 ，址 明 幽，烈 八 z 刚 图 泵 上 戢 一 “1-维普资讯 http:/ 数理天地 高中版 2 0 0 0 年第 1 1 期 ，厂(口+)，则 点 A 关 于 点(去 。丢 1 的 对 称 点 为 B(bt，f f(口+z)，显然B点是f(z)图象上的 点，即 函数 f(sc)图象 上 任 意 一 点 关 于 点 (，)的 对 称 点 仍 在 函 数，(z)图 象 上 故 、厶 厶 厂(z)的 图 象 关 于 点(，1 对 称 推论 若函数Y一厂()定义域为R，且满足 条件f(a+z)+f(a z)一0(口 为常数)，则厂(z)的图象关于点(口。0)对称 定理3 若Y 一厂(z)是定义在R上的函数，则 Yf(a+z)与Yf(b z)两函数图象关于直 厶 线z=对称 证明 在Yf(a+z)图象上任取一点 (，f(a+)，则A点关于直线z 一 对称点为 厶 B(bat，f(a+)，显然B点在 f(b z)的图象上，即Yf(a+z)图象上任意一点关于直 厶 线 z=的对称点都在Yf(bz)图象上 二 反之亦成立，故原命题成立 定理4 若Y一厂(z)是定义在R上的函数，则 Y f(a+z)与Ycf(bz)两函数图象关 于 点(，对 称 证明 在Yf(a+z)图象上任取一点(，厂(口+)，则 点 关 于 点(，1 对 称 点 为 、厶 厶，B(6一at，cf(a+t)，显然B点在Y：c f(bz)的图象上，即Yf(a+z)图象上任意一 点 关 于 点(，l 的 对 称 点 都 在 Y c 一，(6 一 z)图象上，反之亦成立，故原命题成立 2 抽象函数的周期性 定理5 若函数Y 一厂(z)定义域为R，且满足 条件 f(x+a)一f(x一6)，则Y一厂(z)是以T a+b为周期的周期函数 证明 由题设知f(x+b+a)一 (+6)一6=厂(z)，故Y一厂(z)是以Ta+b 为周期 的周期函数 、定理6 若函数Y 一厂(z)定义域为R，且满足 条件f(x+a)一一f(x一6)，则Y一厂(z)是以r，一2(口+6)为周期的周期函数 证明 由题设知 (z+a+2 b)+a 3一一 厂(z+a+2 b)一6=f(x+b一6)一厂(z)，故 Y一厂(z)是以T一2(口+6)为周期的周期函数 定理7 若函数Y一厂(z)的图象关于直线z a 与zb(口 6)对称，则这个函数是以T一2(6 一a)为周期的周期函数 证明 由题设知 f(x+2 b一 2 a)一 2 6一 】O (2 az)一f(2 az)=厂(z)，则Y一厂(z)是以 T一 2(6一a)为周期的周期函数 定理8 若函数Yf(x)的图象关于点(口，0)与点(6，0)(口6)对称，则这个函数是以T=2(6 一a)为周期的周期函数 证明 由题设知f(x+2 b一2 a)一 2 6一(2 az)一一f(2 az)=厂(z)，则Y一厂(z)是 以T一2(6一a)为周期的周期函数 定理 9 若函数Y一厂(z)的图象关于直线z a与点(6，0)(口 6)对称，则这个函数是以T一 4(6一a)为周期的周期函数 证明 f(x+4 b 一 4 a)一厂 2 6一(4 az一 2 b)一一f(4 az一2 b)=一。2 口一(z+2 b 一 2 a)一一f(x+2 b一2 a)=一 2 6一(2 az)一f(2 a z)=厂(z)，故Y=厂(z)是以T一4(6 一 a)为周期的周期函数 练习 1 若函数 厂(z)一z +b s c+c 对一切 实数都有f(z+z)一f(z z)，则()()f(z)厂(1)f(4)(B)_厂(1)f(Z)f(4)(C)厂(2)厂(4)厂(1)(D)f(4)f(Z)0 (B)b 0 (C)b 一 1 (D)一 2 b 1 (B)a 2 (C)1 a 2 (D)任意实数 分析 观察 四个选择支可以发现，它们实质 上可分为、D和B、C两个部分，当a一2 时不合题 意，可排除、D，对于后一部分，可取a一 3 进行检 验，得答案 B 厶 例7 函数Y 一 的图象向右平移3 个单 位，再向下平移 3 个单位，所得图象与原图象关于 直线 Y 对称，则()()a一 3，b 0 (B)a一 3 b R 8 设定义在实数集R上的函数Y一厂()满足，(一 )一，()与f(4 一)一，()，若当 O，2 时，()一一 +1，则当 一6，一4 时，()一()()一。+1 (B)一(一2)。+1 (C)一(+4)+1 (D)一(+2)+1 9 设，()一 。+1，若 g()的图象与 Y=f(x+2)的图象关于点(1，1)对称，求 g()答案 1 2 D3 B 4 5 8 6 C 7 C 8 C 9 一+8 x 一 1 5 】)l D 一 D ()2 2 1 +一 一 一，、一 )(厂+L +一 口 q D 维普资讯 http:/