3.抽象函数性质问题解析（马英勇）.pdf

数理化解题研究 2 年第J D期 数学离 1 9 例 1 0 已知函数 厂()满足：对一切 的值有 厂()1+X 2 成-立，求厂(1)的值 解：令=l，则由已知条件有 l (1)!，即 1 厂(1)l，f(1)=1 抽 象 函 数 性 质 问 题 解 析 山东省临沂市 罗庄区第一 中学(2 7 6 0 1 7)马英勇 山东省临沂市罗庄区华盛实验学校(2 7 6 0 1 7)商俊宇 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近年来高 考的热点 本文给出抽象函数中的函数性质的处理策 略，供同学们参考 一、定义域 解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价 转换 例 1 若 函数 Y=(+1)的定义域为 一 2，3)，求函数 Y=厂(+2)的定义域 解由Y=厂(+1)的定义域为一 2，3)，知+1中的 一2，3)，从而 一 1 +1 4，把)，：厂(+2)中的上+2 看成 Y=+1)中的+1，应 使 +2 仨 一 l，4)，则 由 一 l +2 o若。6，试 比较，(。)与，(6)的大 n 十 D。小 解 (n)一f(b)=f(n)+f(一b)=(一6)3 n一60 又 由 0 o，f(n)-f(b)0，B 口，(n)，(6)评析本题实质上是证明函数 的单调性，有时也 用 至 篆 专 l(或 乒 警 告 -)来 判 断 抽 象 函 数 的 单 调性，一般不用导数判断 七、可解性 由抽象式求解析式 问题视 f()为未知数，构造方程(组)例 7设 函 数，()满 足，()+，(1=l+(O且 1)，求f()解以 代 ，得，()+()=等 ，以 代 ，得 )+)=量 音 +一 得2 厂()=l+x -22x-，所以()=一-1 U且 x#1)评析在所给的抽象式 中紧紧围绕 f()，将其 余的式子替换成f()，构造一个或几个方程，然后设 法求解 八、凹凸性 解决函数凹凸性问题 捕捉图象信息，数形结 合 例 8 如图所示，()(i=1，2，3，4)是定 义在 0，1 上的四个函数，其中满足性质：“对 0，1 中任 意的 和：，任意 A 0，1 II A x。+A(1 一 ：)(。)+(1一 A)f(：)恒成立”的只有()(A)f，()(B)f：()维普资讯 http:/ 数理化解题研究)2 o o 6年第J D期 数学篇 2 l (c)f，()(D ()I j l f 2(x)1 互 l f()l ()一，(A)(B)(C)(D)解令 A=1，则 不 等式 变 为，()，可知函数，i()是一个凹函数。故只 有f。()正确 选(A)评析函数凹凸性在高中阶段没有专门研究，但 也逐渐走人高考殿堂 总之，因为抽象函数密切联系 函数的单 凋性、奇 偶性、周期性、对称性等诸 多性 质，加上本 身的抽象 性、多变性。使得抽象 函数这一难点更J J t 1 =t,朔迷离 因 此应不断挖掘隐含。灵活运用上述解题策略，定会收 到 良好的效果 例说利用“不等 相等 思想巧解竞赛题 云南省玉溪第一中学(6 5 3 1 0 0)武增 明 现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则 是局部的，相对的；等与不等既对立又统一，两者在一定 条件下，可以相互转化 通过这种转化，可使许多问题得 到解决，且使解题过程更加简捷明快，进一步优化 等与不等相互转化的思维途径是：性质 1 若f()0。使 f(z)+L =Ii；若f()Ii，则存在 L 0，使f()+L=Ii 性质 2 Ii 厂()Ii 等价于f()=Ii 性质 3 f()：成立等价 于 ()同时不成立、性质 4 设 5。TR，S=T+Q，当 Q0时，则 5 ；当 p10时，则|s 性质5 若 n+b+c=0。则 b I4 a c 或 口 14 b c 或 c 14 a b 性质 l至性质 4证明略 下面证明性质 5 证明因为 口+b+c=0。所 以 b=一(口+c)。b ：(口+c =口 +c +2 a c 2 a c+2 a c=4 a c。即 b 4 a c 同理可得 口 14 b c，C 14 a b 下面应用上述性质选解国内外几例竞赛题 例 1 怎样的整数 口，b。c 满足不等式 口 +b +c +31 0 且 L 一 1 1 0，(口 一 告)+3(告一 1)+(c 1)=O L L l=Q n 一粤：0，告 一 l：0，c l：0 解得 口：1，b=2，c=1 例 2 设实数 n，b，c 满 足 口 一b c一8 a+7=0和 b +c +6 c 一6 n+6=0，试求(1 的取值范围 解两式相减，得(J+c)=(n1)，即 b+c(口一1)：0，(口一1)4 b c 又 b c=口 一8 a+7。(口一1)4(n 一 8 a+7)，即 口 一1 0 a+90 解得 1 9 例 3 正数 厶。c。，)，。满足条件 口+=b+，=c+。：Ii 求证 毗+证明 口+(一后)=0 (一 )4 帆。则 a x l k 垌理 6)，丢 Ii，c z l k 似+c：例4 求实数。的最大值，使得实数，)，满足 维普资讯 http:/