2025版新高考版高考总复习数学二项式定理（十年高考）.docx
2025版新高考版高考总复习数学10.2二项式定理考点二项式定理1.(2023北京,5,4分,易)在2x1x5的展开式中,x的系数为()A.-40B.40C.-80D.80答案D2x1x5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k·1xk=C5k25-k(-1)kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,则x的系数为C5223(-1)2=80.故选D.2.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41答案B(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,a0+a2+a4=12×(1+34)=41.故选B.3.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案AT3=C62x4i2=-15x4,故选A.易错警示易误认为i2=1而致错.4.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案D(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为Cn3,Cn7,Cn3=Cn7,得n=10.从而有C100+C101+C102+C103+C1010=210,又C100+C102+C1010=C101+C103+C109,奇数项的二项式系数和为C100+C102+C1010=29.评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.5.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7答案C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为Cnn2,所以Cnn2=15,即Cn2=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).6.(2015课标理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C52C31=30,故选C.7.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10答案C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.8.(2014湖南理,4,5分)12x2y5的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20答案A展开式的通项为Tk+1=C5k12x5k·(-2y)k=(-1)k·22k-5C5kx5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为(-1)3·22×3-5 C53=-20,故选A.评析本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.9.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案C在(1+x)6的展开式中,xm的系数为C6m,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为C4n,故f(m,n)=C6m·C4n.从而f(3,0)=C63=20, f(2,1)=C62·C41=60, f(1,2)=C61·C42=36, f(0,3)=C43=4,故选C.10.(2013课标理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案D由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为C52,当r=1时,x2的系数为C51·a,所以C52+C51·a=5,a=-1,故选D.11.(2013辽宁理,7,5分)使3x+1xxn(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7答案BTr+1=Cnr(3x)n-r·x32r=Cnr·3n-r·xnr32r=Cnr·3n-r·xn5r2(r=0,1,2,n),若Tr+1是常数项,则有n-52r=0,即2n=5r(r=0,1,n),当r=0,1时,n=0,52,不满足条件;当r=2时,n=5,故选B.12.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168答案D(1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为C82·C42=28×6=168,选D.13.(2013课标理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8答案B由题意得:a=C2mm,b=C2m+1m,所以13C2mm=7C2m+1m,13·(2m)!m!·m!=7·(2m+1)!m!·(m+1)!,7(2m+1)m+1=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.14.(2012湖北理,5,5分)设aZ,且0a<13,若512 012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12答案D512 012+a=(52-1)2 012+a=522 012+C2 0121×522 011×(-1)+C2 0122 011×52×(-1)2 011+(-1)2 012+a能被13整除,只需(-1)2 012+a=1+a能被13整除即可.0a<13,a=12,故选D.评析本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.15.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)1x215的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3答案D由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+C51×(-1)4=-2+5=3,故选D.16. 在的展开式中，项的系数为_【答案】【解析】展开式的通项公式，令可得，则项的系数为.17.(2021北京,11,5分)x31x4的展开式中常数项是. 答案-4解析Tr+1=C4r(x3)4-r1xr=(-1)rC4rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以x31x4的常数项为T3+1=C43(-1)3=-4.18.(2022新高考,13,5分)1yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答). 答案 -28解析(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86=28,x3y5的系数为C85=56,因此1yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86C85=-28.19.(2022浙江,12,6分)已知多项式(x+2)(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=,a1+a2+a3+a4+a5=. 答案 8;-2解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=C43(-1)3+2C42(-1)2=8.对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,得a0=2×(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.20.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示). 答案21解析本题主要考查二项展开式.(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为C72=7×62=21.21.(2016天津理,10,5分)x21x8的展开式中x7的系数为.(用数字作答) 答案-56解析Tr+1=C8rx16-2r(-x)-r=(-1)-rC8rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3C83=-56.易错警示本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.评析本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.22.(2015天津,12,5分)在x14x6的展开式中,x2的系数为. 答案1516解析x14x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r14xr=14rC6rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为C62×142=1516.23.(2015重庆理,12,5分)x3+12x5的展开式中x8的系数是(用数字作答). 答案52解析二项展开式的通项为Tr+1=C5r(x3)5-r·12xr=12rC5r·x153rr2,令15-3r-r2=8,得r=2,于是展开式中x8的系数为122×C52=14×10=52.24.(2015课标理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=. 答案3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12f(1)-f(-1),12×(a+1)×16=32,a=3.评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.25.(2014安徽理,13,5分)设a0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=. 答案3解析根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得Cn1·1a=3,Cn2·1a2=4,即n1=83a,n=3a,解得a=3.26.(2014课标理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案) 答案-20解析由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·C87xy7-y·C86x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为C87-C86=C81-C82=8-28=-20.27.(2014课标理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案) 答案12解析Tr+1=C10rx10-rar,令10-r=7,得r=3,C103a3=15,即10×9×83×2×1a3=15,a3=18,a=12.28.(2013浙江理,11,4分)设二项式x13x5的展开式中常数项为A,则A=. 答案-10解析展开式通项为Tr+1=C5r·(x)5-r13xr=C5r(-1)rx5256r.令52-56r=0,得r=3.当r=3时,T4=C53(-1)3=-10.故A=-10.29.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=. 答案2解析T3+1=C43a1x3=4ax3,4a=8,a=2.评析本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.30.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,a5为实数,则a3=. 答案10解析由于f(x)=x5=(1+x)-15,所以a3=C53(-1)2=10.评析本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.31.(2012大纲全国理,15,5分)若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为. 答案56解析由Cn2=Cn6得n=8,Tr+1=C8rx8-r·1xr=C8rx8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,故所求系数为C85=C83=56.评析本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.32.(2016课标,14,5分)(2x+x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案) 答案10解析Tr+1=C5r(2x)5-r·(x)r=25-rC5r·x5r2,令5-r2=3,得r=4,T5=10x3,x3的系数为10.思路分析利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求解x3的系数.方法总结写出二项展开式的通项,化简通项,解出满足题意的r的值,代入通项是解决此类问题的通法.33.(2016山东,12,5分)若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=. 答案-2解析Tr+1=a5-rC5rx1052r,令10-52r=5,解之得r=2,所以a3C52=-80,a=-2.
