2025版新高考版高考总复习数学专题四导数及其应用 导数的概念及运算.docx
2025版新高考版高考总复习数学专题四导数及其应用专题四导数及其应用4.1导数的概念及运算五年高考考点导数的运算及几何意义1.(2020课标理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1答案B2.(2019课标,文7,理5,5分,易)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D3.(2021新高考,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D4.(2020课标理,10,5分,易)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12答案D5.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y=2x1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为. 答案y=5x+26.(2019天津文,11,5分,易)曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为. 答案x+2y-2=07.(2018天津文,10,5分,易)已知函数f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为. 答案e8.(2022新高考,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,. 答案y=1ex;y=-1ex(不分先后)9.(2022新高考,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是. 答案(-,-4)(0,+)10.(2021新高考,16,5分,中)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1)和点B(x2, f(x2)处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM|BN|的取值范围是. 答案(0,1)11.(2022全国甲,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13.因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x121)x2x13,y=x2+a有且仅有一组解,即方程x2-(3x12-1)x+2x13+a=0有两个相等的实数根,从而=(3x12-1)2-4(2x13+a)=04a=9x148x136x12+1.(1)若x1=-1,则4a=12a=3.(2)4a=9x148x136x12+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在13,0和(1,+)上单调递增,在,13和(0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h13=2027,所以h(x)-4,所以a-1.解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)·(x-x1),即y=(3x12-1)x-2x13,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,x22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(x22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-x22+a,因为表示同一直线方程,所以3x121=2x2,2x13=x22+a,则(3x12-1)2-8x13=4a4a=9x148x136x12+1.下面同解法一.三年模拟综合基础练1.(2024届江苏苏州中学月考,4)已知函数f(x)=x4-3x,则limx0f(12x)f(1)x=()A.-2B.2C.2eD.-2e答案A2.(2024届陕西榆林中学期中,3)下列求导运算正确的是()A.x+1x'=1+1x2B.(log2x)'=1xln2C.(3x)'=3x·log3eD.x2ex'=2x+x2ex答案B3.(2023湖南长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点P(3, f(3)处的切线方程是y=-2x+7,则f(3)-f '(3)=()A.-2B.2C.-3D.3答案D4.(2024届江苏苏州联考期中,3)设f '(x0)为函数f(x)在x0处的导数,则满足f '(1)<f '(2)<f '(3)的函数f(x)的图象可能是()答案D5.(2023山东济南模拟,3)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2xf '(e)+ln x(e为自然对数的底数),则f '(e)等于()A.1eB.1C.1eD.-1答案C6.(2023江苏无锡中学测试,3)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则()A.g'(-1)<0<f '(-1)B.0<f '(-1)<g'(-1)C. f '(-1)<0<g'(-1)D. f '(3)>g'(3)答案B7.(2023山东潍坊三模,6)若P为函数f(x)=12ex3x图象上的一个动点,以P为切点作曲线y=f(x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是()A.0,23B.2,23C.23,D.0,223,答案D8.(多选)(2024届山东菏泽模拟,9)若曲线f(x)=xsin x-1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则()A. f '(x)=sin x-xcos xB. f '(x)=sin x+xcos xC. f '()=-D.a=-2答案BCD9.(2024届湖南湘潭期末,13)已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=t,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为mm/min. 答案1410.(2023天津南开中学模拟,10)已知f '(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=f '(1)ln(x+1)+ex,则f '(0)=. 答案2e+111.(2024届湖南雅礼中学模拟,13)已知曲线y=x2-ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1也相切,则a=. 答案1综合拔高练1.(2024届江西联考期中,6)若函数f(x)=cos x+aln|x|+bx2+c满足f '2=2,则f '2=()A.2B.2C.2D.2答案B2.(2024届江苏南京一中模拟,6)已知a=2,b=log23,c=e2,设曲线y=ln x3-x3在x=k,k>0处的切线斜率为f(k),则()A. f(c)<f(b)<f(a)B. f(a)<f(c)<f(b)C. f(c)<f(a)<f(b)D. f(a)<f(b)<f(c)答案A3.(2023江西赣抚吉十一校联考,11)若函数f(x)=3x+1x-3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=-12x+2互相垂直,则实数t=()A.1eB.e2C.1e或2eD.1e或4e答案D4.(多选)(2024届湖北武汉校考,9)下列求函数的导数正确的是()A.ln(2x+1)'=22x+1B.(e5x-4)'=e5x-4C.(2x1)'=12x1D.cos2x+3'=2sin2x+3答案ACD5.(多选)(2023山东滨州模拟,10)若曲线y=(x+a)e2x(e为自然对数的底数)有两条过坐标原点的切线,则a的取值可以是()A.-3B.-2C.0D.1答案AD6.(多选)(2024届江西九江模拟,9)可能把直线y=32x+m作为切线的曲线是()A.y=-1xB.y=cos xC.y=ln xD.y=ex答案ACD7.(多选)(2023安徽滁州模拟,9)已知曲线y=f(x)在(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在(2,6)处的切线重合,则()A. f(2)=3B. f '(2)=3C. f '(0)=3D.曲线y=f(x)在(2,3)处的切线方程为y=3答案ACD8.(2024届江苏镇江期中,16)已知函数f(x)=ex的图象与直线y=kx+2k相切,则k=. 答案1e9.(2024届江苏南京外国语中学期末,15)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1和y=ex-1的公切线,则实数b的值是. 答案010.(2024届湖南衡阳八中月考,11)已知a,b为正实数,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切,则1a+2b的最小值是. 答案811.(2024届广东广州期末,15)已知函数f(x)在R上满足2f(x)=f(2-x)+x2+4x-4-sin x,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是. 答案7x-3y-4=012.(2024届山东济南莱芜一中期中,14)若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0距离的最小值为. 答案22
