2025版新高考版高考总复习数学二次函数、幂函数（十年高考）.docx
3.4二次函数、幂函数考点1 二次函数1.(2023天津,15,5分)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为. 答案(-,0)(0,1)(1,+)解析f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,即方程ax2-2x=|x2-ax+1|有两个不等实根,即函数g(x)=ax2-2x与h(x)=|x2-ax+1|的图象有两个交点.(1)当a2-40,即-2a2时,x2-ax+10恒成立,h(x)=|x2-ax+1|=x2-ax+1,f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1,当a-1=0,即a=1时, f(x)有一个零点,不合题意;当a-10,即a1时,=(a-2)2+4(a-1)=a2,当a2=0,即a=0时, f(x)有一个零点,不合题意;当a2>0,即a0且a1时, f(x)有两个零点.-2a2且a0且a1.(2)当a<-2时,-1<2a<0,a2<-1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图.设y=h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2,x1x2=1,y=h(x)图象的对称轴为直线x=a2,且a2<-1,x1<x2<0.令k(x)=x2-ax+1,则k2a=4a2-2+1<0,2a<x2<0由k2a<g2a可知x2在2a右侧,由图可得,当a<-2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个不同的交点.(3)当a>2时,0<2a<1,a2>1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图.设y=h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2,k2a=4a2-2+1<0,x1<2a,x1x2=1,a2>1,0<x1<2a.g(x)的二次项系数a>2,k(x)的二次项系数为1,g(x)的图象的开口小于k(x)的图象的开口.由图可得,当a>2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个交点.综上,a的取值范围为(-,0)(0,1)(1,+).2.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=ax+1,x<a,(x2)2,xa.若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为. 答案 12(0,1中任意一个实数都可以,答案不唯一);1解析当a<0时, f(x)=-ax+1在(-,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在a,+)上的最小值为0,所以f(x)不存在最小值.当a=0时, f(x)=1,x<0,(x2)2,x0,此时f(x)存在最小值,最小值为0.当0<a1时, f(x)=-ax+1在(-,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.因为a(0,1,所以1-a20,1),所以f(x)>0.而f(x)=(x-2)2在a,+)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最小值.当a>1时, f(x)=-ax+1在(-,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在a,+)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R上不存在最小值.综上,a的取值范围为0,1,a的最大值为1.考点2幂函数1.(2023天津,3,5分)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c答案Df(x)=1.01x单调递增,f(0.5)<f(0.6),即a<b.g(x)=x0.5单调递增,g(1.01)>g(0.6),即a>c,b>a>c,故选D.2.(2016课标,6,5分)已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A因为a=243=423,c=2513=523,函数y=x23在(0,+)上单调递增,所以423<523,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以425<423,即b<a,所以b<a<c,故选A.3.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案B因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在0,+)上为增函数,由题意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因为log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选B.4.(2013课标文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-,+)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)答案D由2x(x-a)<1得a>x-12x,令f(x)=x-12x,即a>f(x)有解,则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.评析本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键.
