直线的方程讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx
直线与圆专题1 - 直线的方程大纲解析主要考点有：直线的倾斜角和斜率；直线的位置关系；直线方程的几种形式。知识梳理1. 直线的倾斜角与斜率1. 直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴的_与直线l_所成的角叫做直线的倾斜角。并规定：直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°，直线的倾斜角的取值范围是_。2. 直线的斜率：把一条直线倾斜角的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示。直线倾斜角与斜率k的关系式为_。当k=0时，直线平行于x轴或者与x轴重合；当k>0时，直线的倾斜角为_。当k<0时，直线的倾斜角为_；倾斜角为90°的直线没有斜率。3. 斜率公式：直线上两点、，当时，直线的斜率_,当x1x2时，直线的斜率为_。2. 直线方程的几种形式（1） 点斜式：设直线l经过点，且斜率为，则方程_称为直线方程的点斜式。当直线的斜率不存在时，不能够用点斜式来表示，此时直线方程为_。（2） 斜截式：直线方程由_和_确定，所以方程y=kx+b被称为直线方程的斜截式。斜率不存在时，直线方程的斜截式不存在。（3） 两点式： 经过点P1（x1,y1），P2（x2,y2）（x1x2，y1y2）的直线方程为_ _，称为直线方程的两点式。使用直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0.（4） 截距式：直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线方程称为直线方程的截距式。应用截距式的前提是斜率存在且不为0.（5） 一般式：二元一次方程（A,B不同时为0）表示的直线方程称为直线方程的一般形式。当B0时，可变形为 ，它表示一条斜率为_且在y轴上截距为_的直线；当B=0时，为直线_ _。考点透析考点1 倾斜角与斜率的概念确定平面直角坐标系中一条直线的位置的几何元素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可，倾斜角和斜率分别从形和数的角度刻画了直线相对于x轴正方向的倾斜程度。例1 若经过点和的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是_。例2 设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点逆时针方向旋转45°，得到直线l1,则直线l1的倾斜角为 （ ）A. B. C. D. 当时为；当时，为变式2-1 直线绕着它上面一点沿逆时针旋转15°,则旋转后的直线l2的方程是( ) ABCD变式2-2 直线绕原点逆时针旋转90°，再向右平移一个单位，所得到的直线为（ ）ABCD例3 直线的倾斜角是 （ ）ABCD变式3-1 直线的倾斜角的范围是_。变式3-2 过原点和点的直线的倾斜角为45°，则a的值为 （ ）A1B0C-1D-2考点2 斜率公式直线的斜率公式是研究直线方程与性质的重要工具，使用时要注意所给两点横坐标是否相等，当不等时才能用公式求直线的斜率。例1 直线过点且不与轴垂直，且与端点为，的线段有交点，的斜率的取值范围为 变式1-1 直线过点且不与轴垂直，且与端点为，的线段有交点，的斜率的取值范围为 变式1-2 直线过点且不与轴垂直，且与端点为，的线段有交点，的斜率的取值范围为 例2 直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）AB或C或D或变式2-1 直线l过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C.D.例3 已知，三点共线，则的值为 。变式3-1 已知，三点共线，则的值为 。变式3-2 已知，三点共线，则的值为 。例4 直线l过（m,n），（n,m）两点，其中mn，mn0则（ ）Al与x轴垂直Bl与y轴垂直Cl过原点和第一，三象限Dl的倾斜角为135°考点3 直线的方程直线的方程用得最多的点斜式，斜截式和两点式，最后结果要求化为一般式。解题时，选择不同的形式会使解题方法有很大不同，且难易程度差别也较大。除一般式外，其他形式都要注意斜率不存在的情况，避免解题中不必要的失误。1. 点斜式例1 过点且斜率为的直线的方程为_ _变式1-1 过点且斜率为的直线的方程为_ _ _变式1-2 过点且斜率为的直线的方程为_ _变式1-3 过点（2,0）且以为方向向量的直线方程为_。例2 直线与端点为，的线段相交，则的取值范围是 变式2-1 直线与A（2,3），B（-3,5）的线段相交，则a的取值范围是（ ） A B C D 变式2-2 直线不过第二象限，则的取值范围为_。2. 斜截式斜截式是我们以后在解析几何中最常见的直线方程形式，它表示直线的斜率为 ，在轴上的截距为 例3 随着值的改变，直线恒过哪个点？ 3. 两点式例4 经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的直线方程为（ ）AB. C. D. 例5 过点和的直线方程为 变式5-1 过点和的直线方程为 变式5-2 过点和的直线方程为 变式5-3 经过点A（-4，2m-1），B（m,-3）的直线的斜率为-1，则直线AB的方程为（ ） AB CD4. 截距式例1 直线l经过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程。变式1-1 直线l经过点（2,1），且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程。例2 函数的图像恒过定点A，若点A在直线（m,n>0）上，则的最小值是_。变式2-1 经过点P（1,4）的直线在两个坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）Ax+2y-6=0 B2x+y-6=0Cx-2y+7=0 Dx+2y-7=0例6 过P（-1,2）的直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，若P恰为AB的中点，求直线l的斜率及方程。变式6-1 过的直线与轴，轴分别交于，两点，若恰为的中点，求直线的斜率及方程。变式6-2 过的直线与轴，轴分别交于，两点，若恰为的中点，求直线的斜率及方程。5. 一般式例1 直线关于直线x轴对称的直线方程为_。变式1-1 直线关于直线轴对称的直线方程为_。变式1-2 直线关于直线x轴对称的直线方程为_。例2 如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 （ ）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限变式2-1 如果，且，那么直线不通过（ ）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限6. 直线的五种表现形式的综合例1 下列四个命题中的真命题是 （ ）A经过点的直线都可以用方程表示B经过任意两个不同的点P1（x1,y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）表示C不经过原点的直线都可以用方程表示D经过点A（0，b）的直线都可以用y=kx+b表示
