二次根式知识点典型例题习题 .doc

21.1 二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 二次根式的特点：（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。（2）被开方数 a0，即必须是非负数。（3）a 可以是数，也可以是式。（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。 (2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式：(a0) 相关例题1. 二次根式的概念例题一： 下列各式中， 二次根式的个数是（）考点： 二次根式的概念 分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可解答： 解：3a，有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点变式一:下列各式中，一定是二次根式的有()个。解：被开方数a有可能是负数，不一定是二次根式； 被开方数y+z有可能是负数，不一定是二次根式； 被开方数一定是非负数，所以一定是二次根式； 被开方数一定是正数，所以一定是二次根式； 被开方数一定是非负数，所以一定是二次根式； 被开方数有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3个，故选C 点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数2. 二次根式中字母的取值范围的基本依据 例题二：函数y=中自变量x的取值范围是 _   考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解 解答： 解：依题意，得x30， 解得x3 点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数变式二：若式子有意义，则x的取值范围是_    考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可 解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+10，即x1， 又因为分式的分母不能为0， 所以x的取值范围是x1且x0 点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子（a0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零3. 二次根式的相关等式例题三：对任意实数a，则下列等式一定成立的是（  ）   A  B  C  D 考点： 二次根式的性质与化简 专题： 计算题 分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断 解答： 解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a为正数时不成立，故本选项错误； C、，故本选项错误 D、故本选项正确 故选D 点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键练习题 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、2、当x是多少时，在实数范围内有意义？3、当x是多少时，+在实数范围内有意义？4、下列式子中，是二次根式的是（ ） A- B C Dx 5下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D 6已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A5 B C D以上皆不对 7形如_的式子叫做二次根式 8面积为a的正方形的边长为_9负数_平方根 10、计算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2课后作业 1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？3若+有意义，则=_ 4.使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数 5. 已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值6、计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 练习题与课后作业答案练习题1、 解：二次根式有：、（x>0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、2、 解：由3x-10，得：x， 当x时，在实数范围内有意义3、 解：依题意，得 由得：x- 由得：x-1 当x-且x-1时，+在实数范围内有意义4A 5D 6B 7（a0） 8 9没有10、解：（1）因为x0，所以x+1>0 （）2=x+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9作业题1设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x= 2依题意得：，当x>-且x0时，x2在实数范围内没有意义3. 4B 5a=5，b=-46、（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=×6= （4）（-3）2=9×=6 (5)-621.2二次根式的乘除法知识点1. 二次根式的乘法 2. 二次根式的除法有两种常用方法：（1） 利用公式： （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。3. 化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用（3）将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。相关例题二次根式的乘法及其化简例4计算 （1）× （2）× （3）× （4）× 分析：直接利用·（a0，b0）计算即可 解：（1）×=（2）×=（3）×=9（4）×= 变式四 化简（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=·（a0，b0）直接化简即可 解：（1）=×=3×4=12 （2）=×=4×9=36 （3）=×=9×10=90 （4）=×=××=3xy （5）=×=3二次函数的除法及其化简例题五 计算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b>0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=×=2（3）=2（4）=2变式五 化简： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b>0）就可以达到化简之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）=练习题 1计算的结果是（ ） A B C D2阅读下列运算过程：， 3分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 4已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_5. 已知，且x为偶数，求（1+x）的值6. 观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 答案 1A 2C3(1) ;(2) ;(3) 45.分析：式子=，只有a0，b>0时才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因为x为偶数，所以x=8 解：由题意得，即 6<x9 x为偶数 x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）=当x=8时，原式的值=66. 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解：原式=（-1+-+-+-）×（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001课后作业 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_3.已知，且x为偶数，求（1+x）的值 4有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 5计算 （1）·（-）÷（m>0，n>0） （2）-3÷（）× （a>0）6已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a·=（a-1） 7若x、y为实数，且y=，求的值答案 1x 2- 3.分析：式子=，只有a0，b>0时才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因为x为偶数，所以x=8 解：由题意得，即 6<x9 x为偶数 x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）= 当x=8时，原式的值=6 4设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，得：（x）2+x2=（3）2，4x2=9×15，x=（cm），x·x=x2=（cm2）5（1）原式-÷=-=-=- （2）原式=-2=-2=-a6不正确，正确解答：因为，所以a<0，原式-a·=·-a·=-a+=(1-a) 7 x-4=0，x=±2，但x+20，x=2，y= .21.3二次根式的加减法知识点1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。2. 二次根式加减运算的步骤： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式。（2） 找出其中的同类二次根式。（3）合并同类二次根式。 3. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用。 相关例题同类二次根式例题七 计算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12变式七 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 当x=，y=3时， 原式=×+6=+3注意 （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并二次根式的加减计算: 例题八 （1）（+）× （2）（4-3）÷2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解：（1）（+）×=×+× =+=3+2 解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-变式八 已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 =2 - b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+ （a+b）x=+2ab+ （a+b）x= a+b0 x=a+b原式=4x+2=4（a+b）+2二次根式的混合运算例题九 下列运算正确的是（）AB CD考点：二次根式的混合运算。专题：计算题。分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案解答：解：A5，故此选项错误；B443，故此选项错误；C÷3，故此选项错误；D×6，故此选项正确故选：D点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待，变式九 计算：考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂分析：（1）各项化为最简根式、去绝对值号、去括号，然后进行四则混合运算即可；解答：（1）解：原式=点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键在于首先对各项进行化简，然后在进行运算练习题1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。4. 已知，则。5. 计算：. . . . 答案 1.B 2.A3. ； 4. 10；5. ；课后作业4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 317. 计算及化简：. . . . 18. 已知：，求的值。答案 1.C 2.C 3.C 4.C 5. ；6. 5； 二次根式单元练习题一、选择题1使有意义的的取值范围是（ ）2一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A）（B）（C）（D）3若，则等于（ ）（A）0 （B） （C） （D）0或4若，则化简得（ ）（A） （B） （C） （D）5若，则的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）6已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）7已知下列命题：； ； 其中正确的有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个8若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）9当时，化简等于（ ）（A）2 （B） （C） （D）010化简得（ ）（A）2 （B） （C） （D）二、填空题11若的平方根是，则12当时，式子有意义13已知：最简二次根式与的被开方数相同，则14若是的整数部分，是的小数部分，则，15已知，且，则满足上式的整数对有_16若，则17若，且成立的条件是_ 18若，则等于_ 三、解答题1 9计算下列各题：（1）； （2）20已知，求的值 21已知是实数，且，求的值.22若与互为相反数，求代数式的值.23若满足，求的最大值和最小值.参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）解：A、=，计算正确；B、+，不能合并，原题计算错误；C、÷=2，计算正确；D、=2，计算正确故选：B2.解：若腰长为2，则有2×25，故此情况不合题意，舍去；若腰长为5，则三角形的周长=2×5+2=10+2故选：B3.解：x+y=2a，xy=a（a1），x，y均为负数，0，=2故选：D解：ab0，a+b0，a0，b0=，被开方数应0a，b不能做被开方数，（故错误），=1，=1，（故正确），÷=b，÷=÷=×=b，（故正确）故选：B5.解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则mkn故选D6.解：原式=2+1=3故选C点评：此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键7.解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误；B、D、开平方是错误的；C、符合合并同类二次根式的法则，正确故选C8.解：2=23=1故选B9.解：原式=当（a3）2=0，即a=3时代数式的值最小，为即3故选B二、填空题10.解：由题意得，2x0且x0，解得x2且x0故答案为：x2且x0点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数11.解：x1=+，x2=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（+）22（+）（）=122=10故答案为：1012.解：由a1+b1+c1=+2+2+1+2=3（+1），a2+b2+c2=9（+1），an+bn+cn=3n（+1），an+bn+cn2014×（+1）（+）=2014（+1），3n2014，则36201437，n最小整数是7故答案为：713.解：由题意得x29=0，解得x=±3，y=4，xy=1或7故答案为1或7三、解答题14.解：原式=46×1+=431+=15.解：原式=54+45=016.解：原式=13+4×=13+22+，=117.解：原式=（）21+23=2118.解：原式=，当x=时，x+10，可知=x+1，故原式=；19.解：（1）验证：；（2）或验证：20解：原式=，当时，原式=点评：此题考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等