二次根式及一元二次方程复习及练习 .doc
二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如（_0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如是二次根式；（2）形如（0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式中的被开方数，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足0.2.二次根式的基本性质（1）_0（_0）；（2）_（_0）；（3）；（4）_（_0，_0）；（5）_（_0，_0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_.4.二次根式的乘、除法则：（1）乘法法则：·=_（_0，_0）；（2）除法法则：_（_0，_0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_后，如果_相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_，然后把_进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_，第二步是_，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再_，最后_，有括号的先_内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例1 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ）A. B. C. D.方法总结：成立的条件是0，而在化简时，先要判断的正负情况.3 二次根式的非负性例3 已知，则的值为（ ）A.15 B.15 C. D.方法总结：二次根式（0）具有双重非负性，即0、0.4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D.方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.5 二次根式的运算例5 计算×_.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值例6 若，则的值是_.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。例1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（ ）A、 B、 C、 D、2、一元二次方程的一般形式： 二次项： ，一次项： ，常数项： 。 二次项系数： ，一次项系数： 。例2、（1）、方程x(x+4)=8x+12的一般形式是 ；二次项是 一次项是 ，常数项是 。（2）. 关于x的一元二次方程是一元二次方程，则满足（ ）A. B. C. D.为任意实数（3）、若方程是关于x的一元二次方程，则 （ ）A Bm=2 Cm= 2 D（4）、下列方程中,常数项为零的是( ) A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12； C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程的解法 1、因式分解法 移项：使方程右边为0 因式分解：将方程左边因式分解；适用能因式分解的方程方法：一提，二套，三十字，四分组 由AB=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2、直接开平方法 适用无一次项的方程3、配方法 移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移项要变号） 同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方开平方：注意别忘根号和正负 方程：解两个一元一次方程4、公式法 将方程化为一般式 写出a、b、c 求出， 若b2-4ac0，则原方程无实数解 若b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式求解 若b2-4ac0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式求解。例4、（1）、若关X的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围（ ）A.k4,且k1 B.k4, 且k1 C. .k4 D. k4（2）. 已知一元二次方程已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 2（3）. 关于x的一元二次方程x2kx1=0的根的情况是( )A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根 D、没有实数根（4）.关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）A、 B、 C、或 D、（5）.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )A.k>- B.k- 且k0 C.k- D.k> 且k0例5、(1)利用因式分解法解下列方程(x2) 2(2x-3)2 (2)、利用开平方法解下列方程 4（x-3）2=25 (3)、利用配方法解下列方程 (4)、利用公式法解下列方程3x 222x240 2x（x3）=x3 3x2+5(2x+1)=05、根与系数的关系： 例5、（1）.已知是方程的两个根，则等于_.（2）、已知一元二次方程的两根为、，则 （3）、已知，是方程的两实数根，则的值为_（4）已知方程两根的平方和比两根的积大21，求的值。 6、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数）（1）二次三项式的因式分解若一元二次方程的两个实数根为x1，x2，则二次三项式在实数范围内可分解因式写成：当0，二次三项式在实数范围内分解因式为： 当=0，二次三项式在实数范围内分解因式为： 当0，二次三项式在实数范围内不能分解因式（2）一元二次方程的实际应用二、典型例题精讲与练习1、填空题：（1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是（2）已知方程的一个根为-2，则m= ，它的另一个根是（3）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是2、在实数范围内将下列二次三项式分解因式：（1） (2) (3)3、已知关于x的一元二次方程没有实数根，试判断关于x的一元二次方程根的情况，并说明理由。4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根。5、已知m，n为实数，且，求及的值？6、求证：不论k为何值，关于x的方程总有两个不相等的实数根。7、一元二次方程有一个解为0，求的值。8、一元二次方程的实际应用例6、（1）、某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率是，则列出的方程是（）（A）（B）（C）（D）（2）、原价元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的百分比都为，那么下列各式中正确的是（ ） ； ； ； 。（3）、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（4）.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？（5）.关山超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元?（1）一种笔记本电脑，原来的售价是15 000元，经过连续两年的降价，今天每台售价为12 150元，每年降价的百分率相同.（1）求每年降价的百分率是多少？（2）如果吴云是在去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少元？（6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信.已知全公司共发出短信870条，求该公司员工的人数.（7）如图，某单位需要建一个面积为1 200平方米飞矩形仓库，计划利用一段50米长的旧墙，新墙只围三边，已知每建造1米新墙需要用500元，建造顶棚等其他费用为1万元，设当被利用的旧墙长度为 米时，仓库的总建设费用为万元.(1)求关于的函数解析式及其定义域.(2)当建设费用为6万元时，求被利用的旧墙的长度是多少米？(8)今年来由于受到国际石油市场的影响，汽油的价格不断上涨.请你根据下列两位的对话，帮助小明计算一下2006年5月份汽油每升的价格.2006年5月份的汽油价格四2005年5月份汽油价格的1.6倍，用150元给汽车加的油量比2005年少18.75升.2006年5元份的汽油每升价格是多少元呢？二次根式、一元二次方程的解法综合练习一、选择题 1、下列各式一定是二次根式的是 ( )A B C D 2、下列根式中属最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D.3、下列计算正确的是 ( )A. B. C. D.4、下列计算 错误 的是 ( )A. B. C. D. 5、下列方程为一元二次方程的是 ( )A. B. C. D.6、式子的取值范围是 （ ） A. x1 且 X 2 B.x>1且x 2 C. x 2 D. x 17、方程的左边配成完全平方式后所得的方程为 ( )A B C D以上答案都不对8、若是关于x的一元二次方程，则 （ ）Aa0 Ba1 Ca 1 Da =19、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）A若x2=4，则x=2 B .若3x2=6x，则x=2 C的一个根是1，则k=2D若分式 的值为零，则x=2或x=010、关于x的一元二次方程的根的情况是 （ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根D无法判断11、一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 512、某厂今年一月份的产量为20吨, 第一季度的总产量共85吨,设平均每月增长率是x, 根据题意所列的方程为 ( )A、20 x 2 =85 B、20（1+x）=85 C、20（1+x）2 =85 D、20 + 20（1+x）+ 20（1+x）2 =8513、 摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是 （ ）A. x（x1）182； B. x（x1）182；C. 2x（x1）182 D. x（x1）182AB14、方程x29x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A12 B12或15C15 D不能确定15、如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A9 B10 C D16三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是 （ ）A、11 B、13 C、11或13 D、11和1317.若，则（ ） A2 B. 4 C.4或2 D.4或2二、填空题1、计算：= 。2方程化为一般形式为 ，一次项系数是 。3. 如果最简二次根式与是同类根式，那么 。4. 若< 2，化简的正确结果是 _。5. 比较大小： （填“”或“”）6. 方程的解是 ；方程的解是_。7、在实数范围内分解因式 ；8、已知是方程的一个根，则_。9、已知方程x24x30的两根分别为x1、x2，则x1 + x2 ， = 。10. 若x、y为实数，且，则的值为_ 11. 12、已知关于x的一元二次方程（12k）x2x1=0有实数根，则k的取值范围是_13 观察分析下列数据，寻找规律： 0，3，2，3，那么第10个数据应是 .14. 把一元二次方程3x22x3=0化成3（x+m）2=n的形式是 ；若多项式x2ax+2a3是一个完全平方式，则a= 15. 当x= 时，既是最简二次根式，被开方数又相同。三、解答题：1、计算：（1）、（2）、 （3）、（23）（2）（2） （4） （5） （6）2、解方程（每小题5分，共20分）. （1）、 （2）、（3）、； （4）、 （5） （6）（7）（8）3先化简，再求值：（ ）÷，其中 x=1，y=1. （7分）4. （本题10分）已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值5、（本题8分）观察下列等式： ，；从计算结果中寻找规律，并利用这一规律计算：7、拓展题 （每题记8分,共8分)(1)、一元二次方程的一个根是，且、满足，请问=2是该一元二次方程的根吗？(2)、若关于的方程有两个不相等的实数根，求K的取值范围。(3)、已知关于x的方程（a-1）有两个实数根，求的取值范围。(4)已知代数式-2x2+4x-18用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数 当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？8已知：，求的值.9（8分）、观察下列各式：，请你将猜想：(1) , （2） .(3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n（n1）的代数式表达出来:
