七大函数,七大性质 .doc

七大函数 1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质 1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹一次函数（正比例函数）1、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，即：y=kx （k为常数，k0） 则此时称y是x的正比例函数。2、一次函数的性质：（1） 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2） 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。（3) k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限； 当b0时，直线必通过三、四象限。 当b=0时，直线通过原点。 (4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰二次函数1函数叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2根与系数的关系-韦达定理（1）若一元二次方程中，两根为，。 求根公式， 补充公式 。 韦达定理，。（2）以，为两根的方程为（3）用韦达定理分解因式3任何一个二次函数都可配方为顶点式：，性质如下：（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。（2）最大（小）值 当，函数图象开口向上，有最小值，无最大值。 当，函数图象开口向下，有最大值，无最小值。（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根不等式的解集 叁反比例函数1、定义：一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x是自变量，y是x的反比例函数；（2）自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；（3）反比例函数有三种表达式：（）， （）， （定值）（）。（4）函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征： 反比例函数（）的符号图像 定义域和值域，；即（，0）U（0，+），即（，0）U（0，+）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。肆指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且*2实数指数幂的运算性质（1）· （2） （3） 均满足（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中定义域为xR2、指数函数的图象和性质条件a>10<a<1图像定义域xR xR值域y0y0单调性在R上单调递增在R上单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（0，1）过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；伍对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数， 记作：（ 底数， 真数， 对数式）；2两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ·； ； 注意：换底公式 （，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论 （1）； （2）（三）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2、对数函数的性质：条件a>10<a<1图像定义域x0 x0值域RR单调性在R上递增在R上递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（1，0）过定点（1，0）指数函数与对数函数 的比较记忆表1指数函数对数数函数定义域值域图象性质过定点过定点减函数增函数减函数增函数陆幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义, 并且图象都过点（1，1）；（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸； 当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴3、幂函数的图像 幂函数（1) 幂函数（2) 幂函数（3) 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点柒三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象1、定义域2、值域3、最值当时，；当时，当时， ；当时， 既无最大值也无最小值4、周期性5、奇偶性奇函数偶函数奇函数6、单调性在上，是增函数；在上，是减函数在上，是增函数；在上，是减函数在上，是增函数7、对称性对称中心对称轴对称中对称轴对称中心无对称轴三角函数（记忆）1、 同角三角函数的基本关系式： ， ， ， ， 注意：提高解题速度。勾股数（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）2、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”。 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 积化和差 公式sin·cos=sin(+)+sin(-)，cos·sin=sin(+)-sin(-)cos·cos=cos(+)+cos(-)，sin·sin= -cos(+)-cos(-)3、三角函数公式：两角（和与差）的三角函数关系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sin半角 公式，=倍角 公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2升幂 公式1+cos=，1-cos=1±sin=()21=sin2+ cos2，sin=降幂公式sin2，cos2sin2+ cos2=1，sin·cos=三倍角公式 ；和差化积 公式sin+sin= sin-sin=cos+cos=cos-cos= -tan+ cot=tan- cot= -2cot2， 1±sin=()21+cos=， 1-cos=三角恒等变换：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍。； ； ；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： （4） 幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。常用形式转换（1）； （2） （3）= （4）（5） （6）（7） （8）cos20°cos40°cos80° = （9），其中1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2、函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。图像的平移1、对函数yAsin(xj)k (A0, 0, j0, k0),其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1,伸长；A1,缩短 (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由的变化引起的1，缩短；1,伸长 (3)相位变换(横向平移变换)：是由的变化引起的j0,左移；j0，右移(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0,下移4 由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。2、由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。3、对称轴与对称中心：对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。4、 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；5、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。6、五点法作y=Asin（x+）的简图： 五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）1、角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、 弧度与角度互换公式： 1rad°57.30°=57°18 1°0.01745（rad）2、弧长公式：. 扇形面积公式：3、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ； .4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）5、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT.6、注意要点：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.当·；·.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数。（错误说法） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的 必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要）， 二是满足奇偶性条件， 偶函数：， 奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例：是奇函数，是非奇非偶（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）不是周期函数； 为周期函数（）； 是周期函数（如图）； 为周期函数（）； 的周期为（如图）。 注：并非所有周期函数都有最小正周期。 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x0时的相位）（当A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做 振幅变换 或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到ysin x的图象，叫做 周期变换 或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做 相位变换 或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。三角函数解三角形常用公式1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径， 则有2、正弦定理的变形公式：，； ； ，； 3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，6、设、是的角、的对边，则：若，则； 若，则； 若，则高中数学函数知识点梳理1. 函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.注：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数；如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.2. 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数是偶函数，则； 若函数是偶函数，则.注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数； 两个函数与 的图象关于直线对称.注：若,则函数的图象关于点对称； 若,则函数为周期为的周期函数.3. 多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称 .(2)函数的图象关于直线对称 .4. 两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.(4)若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象； 若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.5. 互为反函数的两个函数的关系.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，. 7. 几个函数方程的周期(约定a>0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5) ,则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.8. 分数指数幂 (1)（，且）. (2)（，且）.9. 根式的性质（1）.（2）当为奇数时，； 当为偶数时，.10. 有理指数幂的运算性质(1). (2). (3).注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式 . 对数的换底公式 (,且,且, ). 推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1); (2); (3).注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若,则函数(1) 当时,在和上为增函数.(2) 当时,在和上为减函数.推论：设，且，则 （1）. （2）. 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数； f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇； f(-x)÷f(x)=1是偶； f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.（1） 若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数 常用性质： 1是既奇又偶函数； 2奇函数若在处有定义，则必有； 3偶函数满足； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称； 5除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 （2）奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6 任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且 总有则称在区间M上单调递增 总有则称在区间M上单调递减 应用：（一）常用“定义法”来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-同增异减（右图） 3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。（自己证明） （推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期 （3） 若；则是周期函数，2是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性1、函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 02、函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 3、函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)4、若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数， 且2| ab|是其一个周期。二不同函数对称性1、函数y = f (a+x)与y = f (bx)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称2、互为反函数的两个函数关于直线y=x对称