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七、线性变换习题课1复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。证明：R上：有= 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而 ，故A不是C上线性空间C的线性变换。由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。2利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2 设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0）证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1 =BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3 设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10 存在使=E. A是双射. A在基下的矩阵A可逆有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.证明:证法一:“” ,若=0,有B()=0,即=0, =0,即线性无关.“” 线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()=故,从A可逆.证法二:利用双射“” A是双射,则0=A() 得0=(0对应0) 故,线性无关.“” 由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利用矩阵A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5 设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组基为,则为V的一组基.“” A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r, 和分别为1和2的基,故.“” ,有dimV=dim,=(),故为AV的一组基,即线性无关,A可逆.4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念. 为V的一组基, () =()A, ()=()X为另一组基,有 ()=()例6 在空间Pxn中,是线性变换,求在基,下的矩阵.证明: 首先由ex.1.5)知,是线性变换,是线性变换,故是线性变换. 其次,只要求出,用表示,就可得A. =(1)=1-1=0, =- = = 所以, (,)=(,), 所求矩阵为.例7 设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为,1).求在基()下的矩阵;2).求在基()下的矩阵,其中k;3).求在基()下的矩阵.证明:1). = = = = ()=()所求矩阵为。又可()=()=（）故所求矩阵为A2)= ()又()=()故所求矩阵为A=A3). = = = = 所求矩阵为又()=()故所求矩阵为A = A 例8 ,在任一组基下矩阵都相同,则是数乘变换.证明: 要证在任一组基下矩阵是数量阵. 设在基下下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,()=()X为V的另一组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性, A为数量阵.事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得 于是,由P.204 ex.7 3), A为数量阵,从而为数量变换.例9 证明:下面两个矩阵相似,其中是1,n的一个排列:, .证明: 曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另一组基,此基下的矩阵为B.将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法. 线性变换矩阵A特征多项式特征值特征向量有限维例11 设是线性变换的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量,证明: 不是的特征向量.证明:只要证 若有这样的存在,则 = 而属于不同的特征值,线性无关,故,矛盾.将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(0)作比较, 是的属于的两个特征向量,则当0时, 是的一个特征向量(属于).例12 证明:如果以V中每个非零向量为特征向量,那麽是数乘变换.分析: 每个非零向量都是特征值k的特征向量 每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个 证明:若,有都是的特征向量. 若是分别属于两个不同的特征值,那麽由上题, 即不可能是的特征向量,矛盾. 故,有是属于的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是,又=k0=0,故. 例13. 可逆,则1). 有特征值,则不为0;2). 是的特征值,则-1是的特征值.证法一:1).设是的特征值,是属于的特征向量,则. 因可逆, -1存在,且-1L(V),有 , 即,而,有. 2).由1), -1是的特征值. 3).的特征向量是的特征向量.证法二:当V是有限维时,设在基下的矩阵为A,则由可逆,A可逆.1).若是的特征值,则0=与A可逆矛盾.2).若是的特征值,则,且即-1是的特征值,而,故-1是的特征值.(注:一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.) 特殊变换的特征值例14 设,若,称为对合变换,求的特征值.证明: 设是的特征值, 是相应的特征向量,有, ,而,故P，即若有特征值只能是1或-1. 则则确有特征值1或-1.证法二：又,若是的特征值,则-1是的特征值.且若是的属于的特征向量，则是的特征向量，必有=-1，=. ,则的特征值只能是1,0;若则,即有特征值1;时,有特征值1;当的秩<n时,0也是的特征值.例15 设dimV=n, ，证明：是对合变换时必可对角化。分析：的特征值至多有两个1和-1，从而不好利用第一个充分条件。设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n；即(E-A)X=0的基础解系个数+（-E-A）X=0的基础解系个数=n；即 r(E-A)+r(-E-A)=n.证明：设为V的一组基，且在此基下的矩阵为A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后一个等式由Chap.4.补3.P.208. 设r(E-A)=r0,则r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性无关解; (-E-A)X=0的基础解系有r个线性无关解.即的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故有n个线性无关特征向量,从而可对角化.1. 由(E-A)(-E+A)=0,有,若,则=0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是.2. 幂等变换,可对角化,也可仿此证.例16 设是4维空间V的一组基，在此基下的矩阵为.1).求在基, 下的矩阵;2).求的特征值与特征向量;3).求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵.证明:1).= =S易知从而在下的矩阵为B=S-1AS=.2). 的特征多项式为=故的特征值为0,1,0.5P.解方程组(E-B)X=0=0:BX=0, =0因为,得基础解系.的属于0的特征向量为= 其中不全为0.=1: (E-B)X=0, =0解得,得基础解系,的属于1的特征=向量为=其中不为0.=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,得基础解系.的属于0.5的特征向量为=其中不为0.3).由2).所得4个特征向量,线性无关,可作为V的一组基,在此基下的矩阵为,而由到这组基的过渡阵为,且.例17 设是4维线性空间V的一组基,已知线性变换在此基下的矩阵为1).求在以下基下的矩阵:,2).求的核与值域.3).在的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求在此基下的矩阵.4).在中选一组基扩充为V的基,并求在此基下的矩阵.证明:1).由基到的过渡矩阵为 ,在 下的矩阵为2).,设() 0=()=()A A=0, =0解此齐次线性方程组得 所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从而 是的一组基,即=. 因dim=4-dim=4-2=2,而=,的坐标列为A的列,且A的前2列线性无关,从而线性无关, 即=.3).由(),及故向量组()=()=()Q线性无关,即是V的一组基,此基由的一组基扩充而成,其中Q为由到的过渡阵.在下的矩阵为(其中后两列是0因为中元被作用后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)4).()=() ,而故向量组()=()=()P线性无关,是V的一组基,由的基扩充而成,由到的过渡阵为P,在此基下的矩阵为 (后两行为0因为任一向量被作用后都在中,由线性表出).例18 设,证明:1).与有相同的值域当且仅当;2). 与有相同的核当且仅当.证明:1).“”：故存在，于是 “”： ，即，同理 ， 故。 2). “”：即 故同理 “”： 有 同理,故例19 设是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,表示由W中向量的像组成的子空间,证明:dim()+dim()=dimW分析:定理11 dim()+dim()=dimV的证明中,取的基,扩充为V的基.证明:取的一组基,将它扩充为W的一组基 , 即W=L(,)由于故 W=L(,)=L()若有 即存在使得=故有即线性无关，dim W=m-r=dimW-dim()附注：dim()+dim()=dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。例20 设为n维线性空间V的线性变换,证明:的秩的秩+的秩-n.分析:chap4补10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.证法一: 设在基下的矩阵分别为A,B,则的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.补10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得证.证法二:注意到的秩=dim,可用定理11.由定理11和补9, 秩(AB)=dim=dim-dim()而,dim()dim故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.例21 设,W是子空间,若可逆,证明:W也是-子空间.注7.8.1 在证时,有人认为可逆,从而是一一对应,故既单(=0,=0)又满(),从而,不必考虑有限维,这是错误的: 在间一一对应,不是在间一一对应.反例:V=Px=L(1,x,x2,x3,),W=f(x2)x2|f(x)=L(x2,x4,x3,) 显然可逆(因是一一对应),但如.另在间单,dimW有限,因而在间满.例22. 设V是复数域上n维线性空间,证明:1).如果是的一个特征值,那麽是的不变子空间; 2).至少有一个公共特征向量.证明:1). 是子空间, ,故使得 所以, 2).因为V是C上的线性空间, 至少有一个特征值,设为的特征值,由1), 为子空间.令,则有特征值,设为,则存在0使得,故为的公共特征向量.注7.8.2 此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.例23 设证明:1).W是子空间,则W=V; 2).0是子空间,则; 3).是子空间,则或.证明:1).由题意,()=() 若,W为子空间,有 2).令,则 故 又由得 =如此继续, 设中第一个非零的为,则得.3).若,但,矛盾.例24 可逆的,为上三角阵.分析:A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.证明:存在可逆,为若当形矩阵,故()=是上三角阵,即A相似于一个上三角阵
