《离散数学》试题及答案 .doc

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《离散数学》试题及答案 .doc

一、填空题 1 设集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 则A - B_3_; r(A) - r(B) _3,1,3,2,3,1,2,3_ .2. 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |r(A×A)| = _3. 设集合A = a, b, B = 1, 2, 则从A到B的所有映射是_a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1);_, 其中双射的是_a3, a4._4. 已知命题公式GØ(P®Q)R，则G的主析取范式是_(PØQR)_.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为_12_，分枝点数为_3_.6 设A、B为两个集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 则从AÇB_4_; AÈB_1, 2, 3, 4_;AB _1, 2_ .3. 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是_自反性；对称性；传递性_.8. 设命题公式GØ(P®(QÙR)，则使公式G为真的解释有_(1, 0, 0)_，_ _(1, 0, 1)_, _(1, 1, 0)_.9. 设集合A1,2,3,4, A上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 则R1·R2 = _(1,3),(2,2),(3,1)_,R2·R1 =_(2,4),(3,3),(4,2)_ _,R12 =_(2,2),(3,3)_.4. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |r(A´B)| = _2m´n_.11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = x | -1x1, xÎR, B = x | 0x < 2, xÎR,则A-B = _x | -1x < 0, xÎR_ , B-A = _x | 1 < x < 2, xÎR_ , AB = _x | 0x1, xÎR_ , .5. 13. 设集合A2, 3, 4, 5, 6，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为_(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)_. 6. 14. 设一阶逻辑公式G = "xP(x)®$xQ(x)，则G的前束范式是_$x(ØP(x)Q(x)_.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_21_条边才能把G变成完全图。16. 设谓词的定义域为a, b,将表达式"xR(x)$xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是_(R(a)R(b)(S(a)S(b)_.17. 设集合A1, 2, 3, 4，A上的二元关系R(1,1),(1,2),(2,3), S(1,3),(2,3),(3,2)。则R×S_(1, 3),(2, 2)_, R2_(1, 1),(1, 2),(1, 3)._.二、选择题1 设集合A=2,a,3,4，B = a,3,4,1，E为全集，则下列命题正确的是( C )。(A)2ÎA (B)aÍA (C)ÆÍaÍBÍE (D)a,1,3,4ÌB.2 设集合A=1,2,3,A上的关系R(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)，则R不具备( D ).(A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)反对称性1234563 设半序集(A,)关系的哈斯图如下所示，若A的子集B = 2,3,4,5,则元素6为B的( B )。(A)下界 (B)上界(C)最小上界 (D)以上答案都不对4 下列语句中，( B )是命题。(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？5 设I是如下一个解释：Da,b, 则在解释I下取真值为1的公式是( D ).(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G$xP(x), H"xP(x),则一阶逻辑公式G®H是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.8 设命题公式GØ(P®Q)，HP®(Q®ØP)，则G与H的关系是( A )。(A)GÞH (B)HÞG (C)GH (D)以上都不是.9 设A, B为集合，当( D )时ABB.(A)AB(B)AÍB(C)BÍA(D)ABÆ.10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则R具有( B )。(A)自反性 (B)传递性(C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。(A)aÎa,b,c (B)aÍa,b,c(C)ÆÎa,b,c (D)a,bÎa,b,c12 命题"xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( A ).(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( A )条边可以得到树.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为( D ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12，R为整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。(1) (2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2. 设集合A1, 2, 3, 4，A上的关系R(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y, 求 (1) 画出R的关系图；(2) 写出R的关系矩阵.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. 设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,试求复合映射st，ss, sj, jt，sjt. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. 设I是如下一个解释：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) "x$y P (y, x).(1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R为A上整除关系。(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；(3) 写出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.1)(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. 设命题公式G = Ø(PQ)(Q(ØPR), 求G的主析取范式。G = Ø(PQ)(Q(ØPR)= Ø(ØPQ)(Q(PR)= (PØQ)(Q(PR)= (PØQ)(QP)(QR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(ØPQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. (9分)设一阶逻辑公式：G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)，把G化成前束范式.G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(x)ØQ(y)R(z)9. 设R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元关系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)；(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.(1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (PQ)(ØPQR) (2) H = (P(QR)(Q(ØPR)G(PQ)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)m6m7m3å (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(ØPR)(PQ)(QR)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)(PQR)(ØPQR)(PQØR)(ØPQR)(PQR)m6m3m7å (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. 设R和S是集合Aa, b, c, d上的关系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 试写出R和S的关系矩阵；(2) 计算RS, RS, R1, S1R1.(1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四、证明题1. 利用形式演绎法证明：PQ, RS, PR蕴涵QS。证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PRP(2) ØRPQ(1)(3) PQP(4) ØRQQ(2)(3)(5) ØQRQ(4)(6) RSP(7) ØQSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC).证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3. (本题10分)利用形式演绎法证明：ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD。证明：ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD(1) AD(附加)(2) ØABP(3) BQ(1)(2)(4) ØCØBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD.4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：A(AB) = (AB)B .4. 证明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)Æ(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)Æ= AB所以：A(AB) = (AB)B.参考答案一、填空题1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .7. a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1); a3, a4.8. (PØQR).9. 12, 3. 10. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 11. 自反性；对称性；传递性.12. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).13. (1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).14. 2m´n.15. x | -1x < 0, xÎR; x | 1 < x < 2, xÎR; x | 0x1, xÎR.16. 12; 6.17. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).18. $x(ØP(x)Q(x).19. 21.20. (R(a)R(b)(S(a)S(b).21. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、选择题 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A.15. D三、计算证明题1. (1)(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(3, 2)P(2, 3)= 10= 0. (2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. (1)(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = Ø(PQ)(Q(ØPR)= Ø(ØPQ)(Q(PR)= (PØQ)(Q(PR)= (PØQ)(QP)(QR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)= (PØQR)(PØQØR)(PQR)(PQØR)(ØPQR)= m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(x)ØQ(y)R(z)9. (1) r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图:11. G(PQ)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)m6m7m3å (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(ØPR)(PQ)(QR)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)(PQR)(ØPQR)(PQØR)(ØPQR)(PQR)m6m3m7å (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.13. (1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四证明题1. 证明：PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PRP(2) ØRPQ(1)(3) PQP(4) ØRQQ(2)(3)(5) ØQRQ(4)(6) RSP(7) ØQSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 证明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3.证明：ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD(1) AD(附加)(2) ØABP(3) BQ(1)(2)(4) ØCØBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 ØAB, ØCØB, CD蕴涵AD.5. 证明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)Æ(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)Æ= AB所以：A(AB) = (AB)B.

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