2024全国甲卷-文数试题+答案.pdf
绝密绝密 启用前启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学甲卷文科数学 使用范围使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用2 B橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,则 =1,2,3,4,5,9,=+1 =()(A)1,2,3,4(B)1,2,3,4(C)1,2,3,4(D)1,2,3,4【参考答案】A【详细解析】因为,所以 =1,2,3,4,5,9,=+1 =0,1,2,3,4,8 ,故选(A).=1,2,3,42.设,则 )=2i =(A)2(B)2(C)2(D)2【参考答案】D【详细解析】因为,所以,故选(D).=2i =23.若实数 满足约束条件(略),则 的最小值为(),=5(A)5(B)12(C)-2(D)72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点:和,经检验都符合约(0,-1)、(32,1)(3,12)束条件.代入目标函数可得:,故选(D).min=-724.等差数列 的前 项和为,若 9=1,3+7=()(A)-2(B)73(C)1(D)29【参考答案】D【详细解析】令,则,故选(D).=09=9=1,=19,3+7=295.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(）(A)14(B)13(C)12(D)23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有 8 种可能,故选(B).=824=136.已知双曲线 的左、右焦点分别为,4)、,且经过:2222=1(0,0)1(02(0,-4)点,则双曲线 的离心率是 )(-6,4)(A)135(B)137(C)2(D)3【参考答案】C【详细解析】,故选(C).=|12|=27.曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为()=6+3(0,-1)(A)1(B)32(C)12(D)32【参考答案】A【详细解析】因为,所以,故选(A).=65+3=3,=3 1,=1213 1=168.函数 的大致图像为()()=-2+(e e)sin【参考答案】B【详细解析】选(B).9.已知,则 )cos cos sin=13tan(+4)=(A)3(B)23-1(C)-3(D)13【参考答案】B【详细解析】因为,所以,故选cos cos sin=3tan =1-33,tan(+4)=tan +11-tan=23 1(B).10.直线过圆心,直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心,直径.11.已知已知 是两条不同的直线，是两个不同的平面:(1)若,则、,;(2)若,则;(3)若 与 可能异面,也可能相交,也可/=,/,/,能平行;(4)若 与 和 所成的角相等,则,以上命题是真命题的是()=,(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(2)(3)(D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在 中,内角 所对边分别为,若,则 ,=32=94sin +sin =()(A)23913(B)3913(C)72(D)31313【参考答案】C【详细解析】因为,所以.由余弦定理可得:=3,2=94sin sin =49sin2 =132=2,即:,所以+2 =942+2=134,sin2 +sin2 =134sin sin =1312(sin +sin)2,故选(C).=sin2 +sin2 +2sin sin =74,sin +sin =72二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.略 14.函数 在 上的最大值是 ()=sin 3cos 0,【参考答案】2【详细解析】,当且仅当 时取等号.()=sin 3cos =2sin(3)2=5615.已知,则 .1,1log8 1log 4=-52=【参考答案】64【详细解析】因为,所以,而 1log8 1log 4=3log2 12log2 =-52(log2 +1)(log2 6)=0,故.1log2 =6,=6416.曲线 与 在 上有两个不同的交点,则 的取值范=3 3=-(1)2+(0,+)围为.【参考答案】(-2,1)【详细解析】令,则,设 3 3=-(1)2+=3 3+(1)2()=3 3+(在 上递增,在 上递减.因为曲线 1)2,()=(3+5)(1),()(1,+)(0,1)=3 与 在 上有两个不同的交点,所以 的3=-(1)2+(0,+)(0)=1,(1)=-2取值范围为,1).(-2三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17 题 第 21 题为必考题,每个考题考生必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)已知等比数列 的前 项和为,且.2=3+1 3(1)求 的通项公式;(2)求数列 的通项公式.【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为,所以,两式相减可得:2=3+1 32+1=3+2 32+1,即:,所以等比数列 的公比,又因为=3+2 3+13+2=5+1=5321=32,所以 3=51 31=1,=(53)1;(2)因为,所以.2=3+1 3=32(+1 1)=32(53)118.(12 分)题干略.【详细解析】(1),没有 的把握;2=150(70 24-26 30)296 54 50 100 +1.65(1-)15019.(12 分)如图,已知,/,/,=2 =4,=10,为 的中点.=23,(1)证明:平面;/(2)求点 到 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意:,而 平面 平面,所以 /,=,平面;(2)取 的中点,连结,则,而,故,=3,=3=23.因为,所以 设点 到 ,=233=2,=10 ,=10.平面 的距离为,所以,故点 到 =13 =13 ,=4310=2305 的距离为.230520.(12 分)已知函数.()=(1)-ln +1(1)求 的单调区间;()(2)若 时,证明:当 时,恒成立.2 1()e 1【参考答案】见解析 若 的减区间为,无增区间;0,()00 1()1()0()(0,1)区间为;(1,+)(2)因为,所以当 时,2 1e 1()=e 1(1)+ln 1e 1 2+ln.令 ,则.令,则+1()=e 1 2+ln +1()=e 1 2+1()=()()=在 上递增,所以 在 上递增,e 112(1,+)()(1)=0()=()(1,+)(,故 在 上递增,即:当 时,恒)(1)=0()(1,+)()(1)=0 1()0)(132 轴.(1)求椭圆 的方程;(2),过 的直线与椭圆 交于 两点,为 的中点,直线 与 交于,证(4,0),明:轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆 的左焦点为,则.因为 轴,所以 1|1|=2,|=32 1,解得:,故椭圆 的方程为:;=52,2=|1|+|=42=4,2=2 1=324+23=1 可得:,结合上式321+421=123(2)2+4(2)2=1223 1+21+1 21-+4 1+21+1 21-=12可得:,则,故 5 22+3=0.(4,0),(1,0),(52,0)=325-22=325 22=-2=1轴.21)(12+21)=2122 2221=(4+4213)22(4+4223)21=4(2 1)(2+1)=4,即:,则(2 1)(12+21)12+21=2+1,221=51 32.(4,0),(1,0),(52,0),故 轴.=325-22=31251 212=1 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将所、选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 中,以坐标原点 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .=cos +1(1)写出 的直角坐标方程;(2)直线 (t 为参数)与曲线 交于 两点,若,求 的值.=+、|=2【参考答案】见解析【详细解析】(1)因为,所以,故 的直角坐标方程为:=cos +12=(cos +1)22,即:;+2=(+1)22=2+1(2)将 代入 可得:=+2=2+12+2(1)+2 1=0,|=2|1 2|=,解得:.16(1-)=2=34选修 4-5:不等式选讲(10 分)实数 满足.,+3(1)证明:;22+22 +(2)证明:.|22|+|22|6【解析】(1)因为,所以;+322+22(+)2 +(2)|22|+|22|22+22|=|22+22(+)|=22+22(+).(+)2(+)=(+)(+1)6
