湖北沙市中学2024年高二下学期6月月考数学试题 含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司1 20232024 学年度学年度下下学期学期 2022 级级 6 月月考数学试卷 考试时间：2024 年 6 月 13 日 一、一、单选题单选题1已知函数3()2f xxx=+，则0(12)(1)limxfxfx+=（）A5 B10 C15 D20 2已知随机变量13,2B，则532E+=（）A32 B92 C4 D7 3设某医院仓库中有 10 盒同样规格的X光片，已知其中有 5 盒、3 盒、2 盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110，115，120，现从这 10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（）A0.08 B0.1 C0.15 D0.2 4已知()()11,23P AP AB=，则()P B A=（）A16B13C14D235甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有（）A20 种 B16 种 C12 种 D8 种 6 已知6270127(1)(2)xxaa xa xa x+=+，则12345623456aaaaaa+=（）A722 B729 C-7 D-729 7如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 O出发，每次向左移动的概率为32，向右移动的概率为31，若该质点每次移动一个单位长度，记经过 5次移动后，该质点位于 X 的位置，则(0)=（）A24350B24352C92D81178若关于 x 的不等式()2eelnxa xxx+恒成立，则实数 a的最大值为（）湖北沙市中学2024年高二下学期6月月考数学试题 含答案 学科网（北京）股份有限公司 2 A1 B12 e Ce2 D2e 二、二、多选题多选题 9关于函数()2ln2xf xa xbx=+，下列说法正确的是（）A若()f x存在极值点，则240ba B若0a，则()f x有且只有一个极值点 C若()f x有两个极值点，则0ab 10 已知编号为 1，2，3 的三个盒子，其中 1号盒子内装有两个 1 号球，一个 2号球和一个 3 号球；2 号盒子内装有两个 1号球，一个 3号球；3号盒子内装有三个 1 号球，两个 2号球.若第一次先从 1 号盒子内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A在第一次抽到 2号球的条件下，第二次抽到 1号球的概率为12 B第二次抽到 3号球的概率为1148 C如果第二次抽到的是 3号球，则它来自 1号盒子的概率最大 D如果将 5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放 1个，则不同的放法有 180种 11下列说法正确的是（）A函数()2sinf xxx=在区间0,的最小值为33 B函数()321313f xxxx=+的图象关于点81,3中心对称 C已知函数()12lnf xaxxx=，若212xx时，都有()()2121121f xf xxxx x成立，则实数a的取值范围为()1,+D若elnaxax恒成立，则实数a的取值范围为1,e+三、三、填空题填空题 12用模型ekxyc=拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，其变换后得到线性回归方程20.5zx=+，则c=_.13一个笔袋内装有 10 支同型号签字笔，其中黑色签字笔有 7 支，蓝色签字笔有 3 支，若从笔袋内每次随机取出 1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取 5次，记取出的签字笔个数为 X，则()E X=_ 14已知()()2e0 xbg xaxaax=，若存在()01,x+，使得()()000g xgx+=，则ba的取 学科网（北京）股份有限公司 3 值范围是_.四、解答题四、解答题 15在活动中，初始的袋子中有 5个除颜色外其余都相同的小球，其中 3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过()n n+N次抽取后，袋中红球的个数为nX.（1）求2X的分布列与期望；（2）证明()5nE X为等比数列，并求()nE X关于n的表达式.16南澳县海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布(32,16)N（1）购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据如下：人工投入增量 x（人）2 3 4 6 8 10 13 年收益增量 y（万元）13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y与 x的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得 y与 x的线性回归方程：4.111.8yx=+；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：yb xa=+的附近，对人工投入增量 x 做变换，令tx=，则yb ta=+，且有772112.5,38.9,()()81.0,()3.8iiiiityttyytt=（i）根据所给的统计量，求模型中 y关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量 学科网（北京）股份有限公司 4 回归模型 模型 模型 回归方程 4.111.8yx=+yb xa=+721()iiiyy=182.4 79.2 附：若随机变量2(,)ZN，则(33)0.9974PZ时，()fx是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；（3）()222 e4exxg xxa x=+，10,ea，当()f x，()g x曲率均为 0时，自变量最小值分别为21,xx，求证：221eexx 学科网（北京）股份有限公司 高二年级 6 月月考数学答案 1-8：BDAB；BADD 9.BCD 10.ABC 11.ABD 12.e 13.218 14.()1,+15.【解】（1）2X的可能取值为 2，3，4.()222425525P X=，()223333355555P X=+=，()232645525P X=，则2X的分布列为（略），故()2436772342552525E X=+=.（2）若第1n+次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是 5，则这种情况发生的概率是()5nE X，此时红球的个数为()nE X；若第1n+次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是()15nE X，此时红球的个数为()1nE X+.故()()()()()()14111555nnnnnnE XE XE XE XE XE X+=+=+，()()1415nnE XE X+=+，则()()14555nnE XE X+=，所以()5nE X是公比为45的等比数列.故()()2224484455352555nnnnE XE X=，即()4355nnE X=+.16.【解】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量()32,16N，则32,4=，由正态分布的对称性可知，()111(20)1(2044)1(33)1 0.99740.0013222PPP=，即()()772211182.479.2iiiiyyyy=模型的2R小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好 当16x=时，模型的收益增量的预测值为21.31614.421.3 4 14.470.8y=（万元），这个结果比模型的预测精度更高、更可靠 17.【解】（1）()f x的定义域为()0,+，()1axfxx=，若0a，则 0fx恒成立，()f x在()0,+上单调递增；若0a，则由()10fxxa=，当10,xa时，0fx；当1,xa+时，()0fx，()f x在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减 （2）()()2ln1ln11x xa xxf xxx=+，令()()2ln1g xx xa x=，()1x，()ln1 2gxxax+=，令()()ln1 2h xgxxax=+，()12axh xx=若0a，()0h x，()gx在)1,+上单调递增，()()11 20gxga=，()g x在)1,+上单调递增,()()10g xg=，从而()ln01xf xx+不符合题意 若102a，()gx在11,2a上单调递增，从而()()11 20gxga=，()g x在)1,+上单调递增,()()10g xg=，从而()ln01xf xx+不符合题意 若12a，()0h x在)1,+上恒成立，()gx在)1,+上单调递减，()()11 20gxga=，()g x在)1,+上单调递减,()()10g xg=，()ln01xf xx+综上所述，a 的取值范围是1,2+学科网（北京）股份有限公司 18.【解】（1）易知的所有可能取值为0,1,2,3 此时()0353381056C CPC=，()12533815156C CPC=，()215338301525628C CPC=，()30533810535628C CPC=，所以的分布列为（略）则()115155150123565628288E=+=.（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件 A，记“输入的问题有语法错误”为事件 B，记“ChatGPT 的回答被采纳”为事件 C，则()0.9P A=，()0.1P B=，()|0.5P C B=，()|0.85P C A=.()()()()()()()|P CP CBP CAP B P C BP A P C A=+=+0.1 0.50.9 0.850.815=+=.（ii）若 ChatGPT 的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为()()()()()()|0.9 0.85153|0.815163P ACP A P C AP A CP CP C=.19.【解】（1）当0a=时()223ln,02f xxxxx=，可得()2 ln32(ln1)fxxxxxxx=+=，令()0fx=，可得ex=，当0ex时，()0fx时，()0fx，所以当ex=为()f x在极小值点，又()2lnfxx=，所以()e2lne2f=，所以()()()23322222e221 0 1efKf=+；（2）由()2323ln32af xxxxx=，可得()222 ln32 ln2fxxxxaxxxxxax=+=，令()22()2 ln32 ln2h xfxxxxaxxxxxax=+=，则()2ln2h xxax=，令()0h x=时，可得ln xax=，令ln()xxx=，可得21 ln()xxx=，当0ex，ln()xxx=单调递增，当ex 时，()0 x，ln()xxx=单调递减，则max1()ex=，所以10ea时，()2ln20fxxax=有解，且有两解13,x x且 学科网（北京）股份有限公司 131exxa时，()2ln20fxxax=无解，所以()fx无极值点，所以当10ea时，()fx存在极值点，所以()()()32201fxKfx=+；（3）由题意可得()222 e4exxg xxa x=+，可得()2(1)e4e2xxgxxax=+，要()g x，()f x曲率为 0，则()()0gxfx=，即2ln222 e0 xxaxax=+=，可得ln xax=，2exax=，所以10ea时，ln()xxx=有两解13,x x，131exx，由（2）可得11ln0 xax=，33ln0 xax=，可得1313lnlnxxaxax+=+，1313lnlnxxaxax=要证明213ex x，即证明13lnln2xx+，也就是13()2a xx+因为1313lnlnxxaxx=，所以即证明131313lnln2xxxxxx+，即1313132()lnxxxxxx+，令13xtx=，则01t，于是2(1)ln1ttt+,故函数()f t在(0,1)上是增函数，所以()(1)0f tf=，即2(1)ln1ttt成立 又因为2aa，则222323lnlneeexxxxxx=，3ex，所以2221113eeexxxxx x=，