江苏省常州高级中学江苏省锡山高级中学2023-2024学年第二学期高二年级5月联考数学答案.pdf

高二数学综合练习三高二数学综合练习三的参考答案的参考答案 一、单选题 1-4 CDCB,5-8 ADCC 7、【详解】函数()xxfxab=+(0,0ab且1,1)ab，()lnlnxxfxaabb=+，令()()g xfx=，则()()()22lnln0 xxgxaabb=+恒成立，故()lnlnxxfxaabb=+在()0,+上单调递增，要想()xxfxab=+在()0,+上单调递增，只需(0)lnln0fab=+，即只需1ab，对 A，5ln1.2ab=，令()1lnh xxx=，1x，则()1110 xhxxx=在(1,)+上恒成立，故()1lnh xxx=在(1,)+上单调递增，故(1.2)(1)0hh=，即0.2ln1.2，则 5ln1.25 0.21ab=，A 错误；对 B，ln15ln16ln160.2ln15ln21554ab=，B 错误；对 C，0.21.8eab=，令()e1xxx=，(1,0)x，则()e10 xx=在(1,0)x 上恒成立，故()e1xxx=在(1,0)x 上单调递减，故(0.2)(0)0=，即0.2e10.20.8=，故0.21.8e1.8 0.81.441ab=，C 正确 对 D，0.20.8eab=，令()()1exq xx=，(0,1)x，则()()e1ee0 xxxqxxx=+=恒成立，故()()1exq xx=在(0,1)上单调递减，故(0.2)(0)1qq=，即0.210.8eab=，D 错误；故选：C 二、多选题 9.ABD 10.CD 11.ABD 11、【详解】对于 A，若曲线在各点处的曲率均不为 0，显然()0K x，由()0K x 知()0K x，由于曲线在0 xx=处的曲率为()0K x，曲率圆的半径为()01K x，所以曲率圆的半径等于曲率的倒数.而曲率大于 0，所以曲率越大，曲率圆越小，A 正确；#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#对于 B，若sinyx=，直接计算知()()()()()()333222222sinsin1cos11cosyxxK xxyx=+，所以322sin121211cos2K=+，从而函数sinyx=在2x=处的曲率为 1，从而函数sinyx=在2x=处的曲率半径为 1 的倒数，即 1，B 正确；对于 C，若lnyx=，直接计算知()()()()2233332222222211111111yxxxK xxyxx=+，这里0 x.所以x处的曲率圆半径()()()32211xR xK xx+=，从而我们有()()()332223232221 1111 133 312 213 3222 222xxxxR xK xxxxx+=，所以圆C的半径一定大于 2，不可能以 2 为最小值，C 错误；对于 D，若lnyx=，在 C 选项的过程中已经计算得知()()3221xK xx=+，现在如果曲线lnyx=在()1212,x xxx处的弯曲程度相同，则()()12K xK x=，故()()123322221211xxxx=+，所以()()221233221211xxxx=+，即()()332212221211xxxx+=.设21xa=，22xb=，则ab，,0a b，()()3311abab+=，将()()3311abab+=两边展开，得到22113333aabbab+=+，从而()()221130ababab+=.故()()()()()()()221110333baabababababababababab=+=+=+，而ab，故()130abab+=，这意味着1323ababab=+，从而()()3232112312322abab+=+.定义函数()3223g xxx=+，则()12gabg，由于0ab，函数()3223g xxx=+在()0,+上递增，#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#故12ab，所以22121212x xx xab=，D 正确.故选：ABD.三、填空题 12、5,4)e 13、3 14、16 13,81 4 12、【详解】作出sin ,02()e,0 xxxf xx=的图象如图，可知：231xx+=，453xx+=，10 x ，所以()()()()()()15123451111144 exiiix fxxxxxxfxxfxx=+=+=+，令()()4 e,0 xg xxx=+，当4x时，()0g x；当40 x 时，()0g x.且()()5 exgxx+=，当5x 时，()0gx，()g x在(),5上单调递减；当5x0 时，()0gx，()g x在()5,0上单调递增.所以()()5min15eg xg=，且()()04g xg=，所以()51iiix fx=的取值范围为51,4e.故答案为：51,4e.13、【详解】因为()32 21fxxx=+，所以()32 21fxxx=+，则()()2f xfx+=，得函数()f x关于点(0,1)M中心对称，显然该正方形ABCD的中心为M，#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#由正方形性质可知，ACBD于M，且|AMBMCMDM=，不妨设直线AC的方程为1(0)ykxk=+，则直线BD的方程为11yxk=+，设1(A x,1)y，2(B x,2)y，则1(Cx,12)y，2(Dx,22)y，联立直线AC方程与函数()yf x=得312 21ykxyxx=+=+，即3(2 2)0 xkx+=，212 2xk=+，同理2212 2xk=，又21221|1|0|,|1|0|AMkxBMxk=+=+，2211(1)(2 2)(1)(2 2)kkkk+=+，即22112 2()0kkkk+=，化简得211()2 2()20kkkk+=，12kk=，()()2212112 22 22 272 2273x xkkkk=+=+=+=，123x x=四、解答题 15、（1）()0(2)(1)0(0)f xxmxm 当102m时，解集为1(2,)m；当12m=时，解集为；当12m 时，解集为1(,2)m.6 分（2）当3x 时，由()4f xx得2(3)(2)xmx x有解，9 分 令30tx=，则3xt=+，2(3)222233(2)(3)(1)2 344xtyx xtttt=+，当且仅当3t=时取等号，12 分 所以，(,23m.13 分#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#16、一次试验后，I 号盒中的球有以下 3 种可能组成：不变（记为事件0A）；3 白 2 黑（记为1A）；1 白 4黑（记为2A）。又设事件,A B C分别表示自 I，II，III 号盒中取走的是白球。（1）3 个盒中球都保持不变为事件000A B C，所以，00023433242()()()0.33655555525P A B CP ABCP ABC=+=+=5 分（2）012;AACAC AAC AAC=+=，2()5P A=，233212()()()()()555525P BP A P B AP A P B A=+=+=，6 分 12413387()()()()()255255125P CP B P C BP B P C B=+=+=，7 分 1342318()()()()()()555525P C AP BC AP BC AP ABCP ABCP A=+=+=+=，8 分 21328()()()555525P C AP BC AP BC A=+=+=，9 分 所以，02183860()()()()()525525125P AP A P C AP A P C A=+=+=，11 分 13851()()()()(1)525125P AP ACP A P C A=，13 分 221814()()()()(1)525125P AP ACP A P C A=，所以，I 号盒中的球的组成保持不变的可能性最大。15 分 17、（1）3 分()(1),(,)()(1)()(1)()()()(1)rk nknP XrpP Xkn XnP XknpP Xkn XnpP XkP XnP Xnp+=+=（2）Y的所有可能取值为2,3，且11*()(1)(1),2,kkP Ykpppp kkN=+.4 分 232312()2(2)3(3)4(4)2(1)3(1)4(1)2(1)3(1)4(1)()()E YP YP YP Yp pppppppppppE YE Y=+=+=+=+=+2341(1)()2(1)3(1)4(1)p E Ypppppp=+由错位相消法，得23411()2(1)(1)(1)(1)1pE Ypppppp=+=+7 分#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#同理，2()1pE Ypp=+，1211()()()13()12ppE YE YE Yppp=+=+=时取等号 9 分（3）记12(),()EE XEE Z=法 1：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是2E，即总的试验次数为21E+；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为 2,；若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为22E+。Z 21E+22E+2 P 1p(1)pp 2p 2222(1)(1)(1)(2)2Ep Epp Ep=+，解得221()pE ZEp+=.15 分 法 2：期望1E表示首次出现成功，当下一次再成功时，即有连续两次成功，则总试验次数为11E+，概率为p；当下一次不成功时，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是2E，即总的试验次数为121EE+，概率为1p。所以，2112(1)(1)(1)Ep Ep EE=+，又12211,pEEpp+=.15 分 18、（1）320 xye+=；3 分（2）21ln3,ln432+）；7 分（分离参数做）（3）易得函数()lnf xxx=在1(0,)e上递减，在1(,)e+上递增，所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点11(,)ee与(0,0)及(1,0)的连线，即()h xx=与1()(1)1l xxe=。设两割线与直线1()yb be=交点的横坐标分别为34,x x。解方程可得3443,(1)1,1xb xebxxbe=+=+，当1(0,)xe时，ln(ln1)0,()()xxxxxf xh x+=+；当1(,1)xe时，111ln(1)ln(1)11xxxxxeex=，令11()ln(1)1m xxex=，#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#2(1)1()(1)exm xex=，()m x有最小值，而1()(1)0mme=，所以()0m x，()()f xl x.113422()()()()()()h xf xh xl xf xbl x=，根据单调性，可得1324,xx xx，所以，21431xxxxbe=+，不等式左侧证明完毕。12 分 不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是3xe=和1x=时的两条切线，切线32yxe=和1yx=与yb=的交点分别为356,12bexxb+=+.同理可得32165322ebxxxx+=，17 分 综上可知，3213212ebbexx+.19、（1）2()31211p xxx=+，1444 3 11 120=，()p x有两个零点12,x x，所以，122 3()3p xxx=，而()1p x=，从而()()p xp x；3 分（2）注意到()(1)(ln)1af xxxx=+有零点1x=,因此(n1)laxg xx=+没有零点或者零点只能为1x=.由22111()xgxxxx=可知()g x在(0,1)上递减,在(1,)+上递增,故0(1)g,解得1a.8 分（3）由（2）可知()g x在(0,1)上递减,在(1,)+上递增,且(1)1ga=.当1a时,()f x只有一个零点1x=,故()0f x=,而110a,不等式成立;10 分 当1a 时,注意到(1)0,()10aagg ee=可知()g x在(1,)+上存在一个零点2xx=.又由于)(2aag eae=,令2()xxxe=,有2()xxe=,故()x在 在(0,ln 2)在 上递减,在(ln2,)+在 上递增,故(ln2)22ln22(1 ln2)02aea=,因此()g x在(0,1)上存在一个零点1xx=.由以上讨论可知,()f x有三个零点,从小到大依次为12,1,xx.12 分 下证:121 1xx,即证122xx+.#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#注意到1122l101l0nnaxxaxx+=+,两式相减可得221112lnxxxxxx=.令211txx=,故1(1)lntttx=,即1211,lnlntxttxtt=.因此只要证明：)11lnn2(1ltttttt+,即证02ln1ttt+.令(n1)2lxm xxx=+,有2222110(1)()xmxxxx=,故()m x在(0,)+上递减,、故02 n(1)l1mttt+=,不等式成立.15 分 因此1()1f xx=.而0(1)lngaa=,故11xa,因此()1()1af x.17 分#QQABAQwUggCoAIIAAQgCEwUyCkEQkBGACYgGRAAMoAABABFABAA=#