专题30 极坐标与参数方程的应用（解析版）.pdf

方法技巧专题 30极坐标与参数方程的应用一、极坐标与参数方程的应用知识框架二、极坐标与参数方程的应用题型分析【一】轨迹方程的问题【一】轨迹方程的问题一、极坐标方程一、极坐标方程1圆的极坐标方程圆的极坐标方程若圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆方程为220cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r：r；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：2acos；(3)当圆心位于(,)2M a，半径为 a：2asin.2直线的极坐标方程直线的极坐标方程若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过(,)2M b且平行于极轴：sin b.二、参数方程直线、圆、椭圆的参数方程1.例题【例 1】在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C，半径3r，Q点在圆C上运动以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且:2:3OPPQ，求动点P轨迹的极坐标方程【解析】（1）由已知得，圆心(6,)3C的直角坐标为(3,3 3)C，3r，所以C的直角坐标方程为22(3)(3 3)9xy，所以圆C的参数方程为33cos3 33sinxy（为参数）（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为26(cos3sin)270，即212 sin()276，设,P，1,Q，根据:2:3OPPQ，可得1:2:5，将152代入C的极坐标方程，得225120 sin()10806，即动点p轨迹的极坐标方程为225120 sin()10806【例 2】在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为22cos,2sinxy（为参数），以点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）过极点O作直线与圆C交于点A，求OA的中点所在曲线的极坐标方程.【解析】（1）圆C的参数方程为22cos,2sinxy（为参数），转换为直角坐标方程为：2224xy，转换为极坐标方程为：4cos.（2）过极点O作直线与圆 C 交于点 A，设OA的中点坐标为00,，所以00,2A，所以0024cos，即002cos，所以OA中点所在的曲线的极坐标方程为2cos【例 3】已知圆 C 经过点 P)3,2(，圆心 C 为直线sin)3(3与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程【解析】解法 1 在直线的极坐标方程sin)3(3中，令0，得2，所以 C(2，0)因为POC 是边长为 2 的正三角形，所以圆 C 的半径 r2.因为圆 C 经过极点 O，所以圆 C 极坐标方程为4cos.解法 2 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为 y 3x2 3，P 的直角坐标为(1，3)，令 y0，得 x2，所以 C(2，0)，所以圆 C 的半径 PC（21）2（0 3）22，所以圆 C 的方程为(x2)2(y0)24，即 x2y24x0，所以圆 C 的极坐标方程为4cos.2.巩固提升综合练习【练习 1】（2019 年高考全国卷理数）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M 在曲线:4sinC上，直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为 P（1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程【解析】（1）因为00,M 在C上，当03时，04sin2 33来源:Z|xx|k.Com由已知得|cos23OPOA设(,)Q 为l上除P的任意一点在RtOPQ中，cos()|23OP，来源:学科网ZXXK经检验，点(2,)3P在曲线cos()23上所以，l的极坐标方程为cos()23（2）设(,)P，在RtOAP中，|cos4cos,OPOA即 4cos因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,4 2 所以P点轨迹的极坐标方程为4cos,4 2 来源:学*科*网【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P)4,22(，圆心为直线sin(3)3与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程【解析】在直线方程sin(3)3中，令0，得2，所以圆心为 C(2，0)在POC 中，由余弦定理，得圆 C 的半径 rCP2.圆 C 经过极点，其极坐标方程为4cos.【练习 3】（2019 年高考全国卷理数）如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在 M 上，且|3OP，求 P 的极坐标【解析】（1）由题设可得，弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos 所以1M的极坐标方程为2cos(0)4，2M的极坐标方程为32sin()44，3M的极坐标方程为32cos()4（2）设(,)P，由题设及（1）知若04，则2cos3，解得6；若344，则2sin3，解得3或23；若34，则2cos3，解得56综上，P的极坐标为(3,)6或(3,)3或2(3,)3或5(3,)6【二】转化中的应用问题【二】转化中的应用问题来源:学科网一、极坐标的转化问题一、极坐标的转化问题互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度互化公式为xcos，ysin，2x2y2，tan yxx0直角坐标方程化极坐标方程可直接将 xcos，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos，sin 的整体形式，然后用 x，y 代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性二、参数方程的消参问题二、参数方程的消参问题1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用 x(或 y，或 x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如 sin2cos21，sec2tan21，t1t2t1t24 等2消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量 x，y 的影响，否则易扩大变量的取值范围(2)参数方程中变量 x，y 就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量 x，y 的取值范围【例 1】已知曲线 C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2sin.()把 C1的参数方程化为极坐标方程；()求 C1与 C2交点的极坐标(0,02)【解析】()将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程25)5()4(22yx，即016108:221yxyxC.将cos,sinxy代入01610822yxyx得016sin10cos82.所以1C的极坐标方程为016sin10cos82.()2C的普通方程为0222yyx.由2222810160,20 xyxyxyy解得1,1xy或0,2.xy所以1C与2C交点的极坐标分别为(2,)4，(2,)2.【练习 1】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13,1xtyt (t为参数)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos（）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（）若直线l与曲线C交于,P Q两点，求POQ【解析】解法一：（）由13,1,xtyt 得l的普通方程为313xy，又因为cos,sin,xy，所以l的极坐标方程为cos3 sin13（或2 sin()136）由2 cos得22 cos，即222xyx，所以C的直角坐标方程为2220 xyx（）设,P Q的极坐标分别为 1122,，则12POQ，由cos3sin13,2cos,消去得2coscos3 sin13，化为cos23sin23，即3sin 262，因为02，即 72+666，所以263，或2263，即12,12,4或12,4,12所以12=6POQ解法二：（）同解法一（）曲线C的方程可化为2211xy，表示圆心为1,0C且半径为 1 的圆6 分6 分将l的参数方程化为标准形式31,2112xtyt (其中t为参数)，代入C的直角坐标方程为2220 xyx得，22313112 10222ttt，整理得，20tt，解得0t或1t 设,P Q对应的参数分别为12,tt，则121PQtt所以3PCQ，又因为O是圆C上的点，所以26PCQPOQ。解法三：（）同解法一（）曲线C的方程可化为2211xy，表示圆心为1,0C且半径为 1 的圆又由得l的普通方程为3130 xy，则点C到直线l的距离为32d，.所以22 11PQd，所以PCQ是等边三角形，所以3PCQ，又因为O是圆C上的点，所以26PCQPOQ。【三】最值、几何意义的综合问题【三】最值、几何意义的综合问题1.距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值：-用“参数法”（1）曲线上的点到直线距离的最值问题（2）点与点的最值问题“参数法”：设点-套公式-三角辅助角设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设套公式：利用点到线的距离公式辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一2.面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题3.几何意义及其综合应用：(1)极坐标中，利用,的几何意义解决问题(2)参数方程中，利用参数的几何意义解决问题1.例题【例 1】已知点(,)P x y是圆2220 xyy上的动点.(1)求2xy的取值范围；(2)若0 xya恒成立，求实数a的取值范围.解析（1）由圆的方程222xyy得2211xy，安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨8得cos0,21 sinxy 为参数，。则22cos1 sin5sin1xy 可得2xy的取值范围是51,51。（2）若0 xya恒成立，则min0 xya，因为1 sincos2sin14xyaaa ，所以min21xyaa，故210a，得21a。所以a的取值范围是21,+。【例 2】已知在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2222+2xtyt(t为参数）在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C的方程为221cossin22aapa，0,2a（）求曲线2C直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；（）若曲线1C、2C交于 A、B 两点，定点P(0,-2)，求PAPB的最大值【解析】（）将cos,sinxy代入，得222122xyaxaya，配方得，222()()222aaxya，表示以(,)2 2a a为圆心，22a 为半径的圆（）将曲线1C的参数方程代入2C的直角坐标方程，得221(2 22)2202ta taa，由参数的几何意义，PAPB21 21222t taa，因为0,2a，故2122242aa，即PAPB4【例 3】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13232xtyt(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2 3sin.()写出C的直角坐标方程；安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨9()P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.【解析】()由22 3sin,2 3 sin得，从而有2222+2 3,+33xyyxy所以.()设13(3t,t),C(0,3)22P+又，则22213|PC|331222ttt，故当t=0 时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为(3,0).【例 4】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos12sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成MON，且满足2MON，求MON面积的最大值.【解析】（1）可知曲线C的普通方程为22(3)(1)4xy，所以曲线C的极坐标方程为22 3 cos2 sin0，即4sin()3.（2）由（1）不妨设1(,)M，2(,)2N 12(0,0)，121128|sin()sin()|4|sin(2)|4223233MONSOM ON，所以MON面积的最大值为 4.【名师点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程的相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.【例 5】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为25)6(22yx（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数）,l与C交于BA,两点，10AB，求l的斜率【解析】（）由25)6(22yx，得2212110 xyx，因为222,cosxyx，所以C的极坐标方程为011cos122.安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨10（）设BA,对应的极径分别为12,，则212 cos110得212 cos110，121212cos,11 ，所以22121212()4144cos44AB，由|10AB 得2315cos,tan83，所以l的斜率为153或1532.巩固提升综合练习【练习 1】在平面直角坐标系xOy中，设(,)P x y是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值.解析解析点(,)P x y是椭圆2213xy上的一个动点，则3cossinxy（为参数），0,2，则3cossinxy2sin()3，0,2，故max()2xy.【练习 2】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy，(为参数)，直线l的参数方程为41xatyt(t为参数).(1)若1a ，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为2219xy.当1a 时，直线l的普通方程为430 xy.由2243019xyxy解得30 xy或21252425xy.从而C与l的交点坐标为(3,0)，21 24(,)25 25.(2)直线l的普通方程为440 xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad.当4a时，d的最大值为917a.由题设得91717a，所以8a；当4a 时，d的最大值为117a.由题设得11717a，所以16a .综上，8a 或16a .【练习 3】在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为82xtty (t为参数)，曲线C的参数方程为222 2xsys(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【解析】直线l的普通方程为280 xy.因为点P在曲线C上，设2(2,2 2)Pss，从而点P到直线l的的距离2222|24 28|2(2)45(1)(2)sssd，当2s 时，min4 55d.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值4 55.【练习 4】已知直线11:3xtlyt（t为参数），曲线13cos:2sinxCy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系（1）求曲线1C的极坐标方程，直线1l的普通方程；（2）把直线1l向左平移一个单位得到直线2l，设2l与曲线1C的交点为M，N，P为曲线1C上任意一点，求PMN面积的最大值【解析】【解析】（1）把曲线13cos:2sinxCy消去参数可得22321xy，令cosx，siny，代入可得曲线1C的极坐标方程为22 3 cos4 sin60把直线11:3xtlyt 化为普通方程31yx（2）把直线1l向左平移一个单位得到直线2l的方程为3yx，其极坐标方程为3联立22 3 cos4 sin603所以23 360，所以12123 3 6，故212121243 圆心到直线2l的距离为232122d，圆上一点到直线2l的最大距离为13122，所以PMN面积的最大值为133 33224S【练习 5】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt（t为参数，0），以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设1,0A，直线l交曲线C于M，N两点，P是直线l上的点，且211APAMAN，当AP最大时，求点P的坐标【解析】【解析】（1）（t为参数）消去参数可得tan1yx，直线l的普通方程为tan1yx由4cos可得24cos，将222xy，cosx代入上式可得2240 xyx，曲线C的直角坐标方程为2240 xyx（2）设直线l上的三点M，N，P所对应的参数分别为1t，2t，t，将1cossinxtyt 代入2240 xyx，整理得22 cos30tt，则122costt，123t t ，1t与2t异号，由211APAMAN，得1212121212211tttttttt tt t，122212121 222 330cos34t ttttttt t，当cos0，即2时，t最大，此时AP最大，且max3t，此时3t ，代入1cossinxtyt 可得此时点P的坐标为1,3或1,3三、课后自我检测1在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy(为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()2 24.()写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；()设点 P 在1C上，点 Q 在2C上，求|PQ的最小值及此时 P 的直角坐标.【解析】()1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40 xy.()由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为2C是直线，所以|PQ的最小值，即为P到2C的距离()d的最小值，|3cossin4|()2|sin()2|32d.当且仅当2()6kkZ时，()d取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为3 1(,)2 2.2已知曲线1C的参数方程是sin3cos2yx(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在2C上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(.()求点A、B、C、D的直角坐标；()设P为1C上任意一点，求2222|PDPCPBPA的取值范围.【解析】(1)点,A B C D的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636点,A B C D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)(2)设00(,)P xy；则002cos()3sinxy为参数222222004416tPAPBPCPDxy23220sin32,523已知在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为3cos,21sin.2xtyt（t为参数，为倾斜角）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2cos()4（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l经过的定点P的坐标；（2）设直线l与曲线C相交于两点A B、，求点P到A B、两点的距离之和的最大值【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为22(1)(1)2xy，直线l过定点31(,)22P（2）将直线l的参数方程代入22(1)(1)2xy，得23(cossin)02tt设点A B、对应的参数分别为12tt、，则12(cossin)tt，1 232t t ，因为1 20t t，所以1212PAPBtttt2121 24ttt t2cossin67sin2因此，当4时，PAPB有最大值2 24【2019 年高考全国卷理数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值【解析】（1）因为221111tt，且2222222214()()121(1)yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx l的直角坐标方程为23110 xy（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）C上的点到l的距离为4cos()11|2cos2 3sin11|377当23 时，4cos()113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为75在极坐标系中，已知点?，圆?的方程为?cos?，求过点?且与圆?相切的直线的极坐标方程。【解析】以极点为坐标原点，以极轴为?轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则点?的直角坐标为?0?，圆?的方程?cos?的直角坐标方程为?，即?，当过点?的直线斜率不存在时，即直线方程为?0 时，满足与圆?相切；当过点?且与圆?相切的直线斜率存在时，设斜率为?，则直线方程为?，即?0，因为直线与圆?相切，所以?，解得?，所以此时所求的直线方程为?0，所以过点?且与圆?相切的直线的极坐标方程为?和?cos?sin?0。6已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt(t为参数).()写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；()过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求|PA的最大值与最小值.【解析】2cos.().3sin.xy（I）曲线C的参数方程为为参数60.lxy直线 的普通方程为2()cossinl曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为来源:学,科,网54cos3sin6.5d2 545sin()6,tan.sin3053dPA则其中 为锐角，且22 5sin.5PA 当(+)=-1时，取得最大值，最大值为2 5sin()1.5PA当时，取得最小值，最小值为7 已知抛物线2:4C yx，点(,0)M m在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于,A B两点，O为坐标原点.(1)若1m 时，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)若存在直线l使得|,|,|AMOMMB成等比数列，求实数m的取值范围.【解析】（1）若m=1 时，M0,1，直线l的斜率为 1，则直线l的方程为1 xy,设1,1yxA,22,yxB,圆心001,yxO，联立方程142xyxy，消去y建立x的一元二次方程得0162 xx，所以621xx，AB过焦点（1,0）,所以8221xxAB，那么以AB为直径的圆的方程为162322yx.（2）设直线l的参数方程为atmxatycossin（t为参数），代入抛物线方程中得：atmatcos4sin22，即04cos4sin22matat，amt t221sin4，且BMOMAM,成等比数列，则BMAMOM2,即amm22sin4，得am2sin4，,0a，故m 4.因此实数m的取值范围为,4.8在直角坐标系xOy中，曲线1C：cos,sin,xtyt(t为参数，t0)其中0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：2sin，3C：2 3cos.()求2C与3C交点的直角坐标；()若1C与2C相交于点 A，1C与3C相交于点 B，求|AB的最大值.【解析】()曲线2C的直角坐标方程为2220 xyy，曲线3C的直角坐标方程为222 30 xyx.联立222220,2 30,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy所以2C与1C交点的直角坐标为(0,0)和3 3(,)22.()曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0.因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(2 3cos,).所以2sin2 3cosAB4 in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4.9在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足|16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值.【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为1(,)1(0).由椭圆知|OP，14|cosOM.由|16OMOP得2C的极坐标方程4cos(0).因此2C的直角坐标方程为22(2)4(0)xyx.(2)设点B的极坐标为(,)B(0)B.由题设知|2OA，4cosB，于是OAB面积1|sin2BSOAAOB4cos|sin()|332|sin(2)|3223.当12 时，S取得最大值23.所以OAB面积的最大值为23.10在极坐标系中,O 为极点,半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为(2,)3.（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）在以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l的参数方程为tytx232211（t 为参数），直线l与圆 C 相交于 A，B 两点，已知定点)2,1(M,求|MA|MB|。【解析】（1）设(,)P 是圆上任意一点，则在等腰三角形COP中，OC=2，OP=,|3COP，而1|cos2OPOCCOP所以，4cos()3即为所求的圆 C 的极坐标方程。（2）圆 C 的直角坐标方程为22x1)(3)4y（，即：2222 30 xyxy将直线 l 的参数方程112322xtyt （t 为参数）代入圆 C 的方程得：2t(32 3)34 30t，其两根12tt、满足1234 3t t 所以，|MA|MB|12|34 3t t