2021年全国乙卷理科数学高考试卷(原卷+答案).pdf

1/19绝密绝密启用前启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）（全国乙卷）（适用地区：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西）理科数学理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）一、单选题一、单选题1设2346zzzzi，则z（）A1 2iB1 2iC1 iD1i2已知集合21,Ss snnZ，41,Tt tnnZ，则ST=（）ABSCTDZ3已知命题:,sin1pxx R命题:qx R|e1x，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpq CpqDpq4设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A11f xB11f xC11f xD11f x5在正方体1111ABCDABC D中，P 为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A2B3C4D66将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60 种B120 种C240 种D480 种7把函数()yf x图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()f x（）A7sin212xxBsin212xC7sin 212xDsin 212x2/198在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于74的概率为（）A79B2332C932D299魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB（）A表高 表距表目距的差表高B表高 表距表目距的差表高C表高 表距表目距的差表距D表高 表距-表目距的差表距10设0a，若xa为函数 2fxa xaxb的极大值点，则（）AabBabC2abaD2aba11设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足|2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A2,12B1,12C20,2D10,212设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c 则（）AabcBbcaCbacDcab第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）二、填空题二、填空题13已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30 xmy，则 C 的焦距为_14已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则_15记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b _16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）3/19三、解答题三、解答题17某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值19记nS为数列 na的前 n 项和，nb为数列 nS的前 n 项积，已知212nnSb4/19（1）证明：数列 nb是等差数列;（2）求 na的通项公式20设函数 lnfxax，已知0 x 是函数 yxf x的极值点（1）求 a；（2）设函数()()()xf xg xxf x证明:1g x 21已知抛物线2:20C xpy p的焦点为F，且F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4（1）求p；（2）若点P在M上，,PA PB是C的两条切线，,A B是切点，求PAB面积的最大值22在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为 1（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程23已知函数 3f xxax（1）当1a 时，求不等式 6f x 的解集;（2）若 f xa，求 a 的取值范围5/19参考答案参考答案1C【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设zabi，则zabi，则234646zzzzabii，所以，4466ab，解得1ab，因此，1zi.故选：C.2C【分析】分析可得TS，由此可得出结论.【详解】任取tT，则41221tnn，其中nZ，所以，tS，故TS，因此，STT.故选：C.3A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin1x，所以命题p为真命题；由于0 x，所以|e1x，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，pq、pq、pq为假命题.故选：A4B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xf xxx ，对于 A，2112f xx 不是奇函数；对于 B，211f xx是奇函数；对于 C，21122f xx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；6/19对于 D，2112f xx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5D【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,BC PC PB，因为1AD1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB 平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCB D，1111BBB DB，所以1PC 平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为 2，则111112 2,22BCPCD B，1111sin2PCPBCBC，所以16PBC.故选：D6C【分析】先确定有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选 2 人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C 种不同的分配方案，故选：C.【点睛】7/19本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7B【分析】解法一：从函数()yf x的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx，即得2sin34fxx，再利用换元思想求得()yf x的解析表达式；解法二：从函数sin4yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yf x的解析表达式.【详解】解法一：函数()yf x图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx的图象，根据已知得到了函数sin4yx的图象，所以2sin34fxx，令23tx,则,234212ttxx,所以 sin212tf t,所以 sin212xf x；解法二：由已知的函数sin4yx逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到sin212xy的图象，即为 yf x的图象，所以 sin212xf x.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是x的变换，图象向左平移a个单位，对应x替换成xa,图象向右平移 a 个单位，对应 x 替换成xa,牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的 k 倍，对应解析式中x替换成xk.8B【分析】8/19设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y，则实验的所有结果构成区域为,01,12x yxy，设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为7,01,12,4Ax yxyxy，分别求出,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y，则实验的所有结果构成区域为,01,12x yxy，其面积为1 11S 设事件A表示两数之和大于74，则构成的区域为7,01,12,4Ax yxyxy，即图中的阴影部分，其面积为13323124432AS ，所以 2332ASP AS故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A对应的区域面积，即可顺利解出9A【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出【详解】如图所示：由平面相似可知，,DEEHFGCGABAHABAC，而DEFG，所以9/19DEEHCGCGEHCGEHABAHACACAHCH，而CHCEEHCGEHEG，即CGEHEGEGDEABDEDECGEHCGEH+表高 表距表高表目距的差故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出10D【分析】结合对a进行分类讨论，画出 fx图象，由此确定正确选项.【详解】若ab，则 3f xa xa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.依题意，xa为函数 2fxa xaxb的极大值点，当0a 时，由xb，0f x，画出 fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.当0a 时，由xb时，0f x，画出 fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.10/19综上所述，2aba成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.11C【分析】设00,P xy，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设00,P xy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值12B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a 与 c，b 与 c 的大小关系，将 0.01 换成x,分别构造函数 2ln 1141f xxx,ln 12141g xxx，利用导数分析其在 0 的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c，b 与 c 的大小关系.【详解】2222ln1.01ln1.01ln 1 0.01ln 1 2 0.01 0.01ln1.02ab,所以ba;下面比较c与,a b的大小关系.记 2ln 1141f xxx,则 00f,21 412211 411 4xxfxxxxx，11/19由于2214122xxxxxx所以当 0 x0 时,214120 xx,所以 0gx,即函数 g x在0,+)上单调递减，所以 0.0100gg,即ln1.021.041,即 bc;综上，bca,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.134【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解【详解】由渐近线方程30 xmy化简得3yxm，即3bam，同时平方得2223bam，又双曲线中22,1am b，故231mm，解得3,0mm（舍去），2223142cabc，故焦距24c 故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键1435【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出【详解】因为1,33,41 3,34ab，所以由abb可得，3 1 34 340，解得35故答案为：35【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,ax ybxy，12/19121200aba bx xy y，注意与平面向量平行的坐标表示区分152 2【分析】由三角形面积公式可得4ac，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin324ABCSacBac，所以224,12acac，所以22212cos122 482bacacB ，解得2 2b（负值舍去）.故答案为：2 2.16（答案不唯一）【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为，如图所示，长方体1111ABCDABC D中，12,1ABBCBB，,E F分别为棱1 1,BC BC的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥EADF.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.17（1）221210,10.3,0.036,0.04xyss；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.13/19（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.8 10.3 10 10.29.99.8 10 10.1 10.29.71010 x，10.1 10.4 10.1 10 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.510.310y，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s.（2）依题意，20.32 0.152 0.152 0.0225yx，0.0360.0422 0.007610，2212210ssyx，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18（1）2；（2）7014【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设2BCa，由已知条件得出0PB AM ，求出a的值，即可得出BC的长；（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）PD 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz，设2BCa，则0,0,0D、0,0,1P、2,1,0Ba、,1,0M a、2,0,0Aa，则2,1,1PBa，,1,0AMa ，14/19PBAM，则2210PB AMa ，解得22a，故22BCa；（2）设平面PAM的法向量为111,mx y z，则2,1,02AM ，2,0,1AP ，由111120220m AMxym APxz ，取12x，可得2,1,2m，设平面PBM的法向量为222,nxy z，2,0,02BM ，2,1,1BP ，由222220220n BMxn BPxyz ，取21y，可得0,1,1n r，33 14cos,1472m nm nmn ，所以，270sin,1 cos,14m nm n ，因此，二面角APMB的正弦值为7014.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.19（1）证明见解析；（2）3,121,21nnann n.【分析】（1）由已知212nnSb得221nnnbSb,且0nb，取1n,得132b,由题意得121222221 2121nnnbbbbbbb,消积得到项的递推关系111221nnnnbbbb,进而证明数列 nb是等差数列;15/19（2）由（1）可得nb的表达式,由此得到nS的表达式,然后利用和与项的关系求得3,121,21nnann n.【详解】（1）由已知212nnSb得221nnnbSb,且0nb，12nb,取1n,由11Sb得132b,由于nb为数列 nS的前 n 项积，所以121222221 2121nnnbbbbbbb,所以112112122221 2121nnnbbbbbbb，所以111221nnnnbbbb,由于10nb所以12121nnbb，即112nnbb,其中*nN所以数列 nb是以132b 为首项，以12d 为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列 nb是以132b 为首项，以12d 为公差的等差数列，3111222nnbn,22211nnnbnSbn,当 n=1 时，1132aS,当 n2 时,121111nnnnnaSSnnn n,显然对于 n=1 不成立,3,121,21nnann n.【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前 n 项和与项的关系，数列的前 n 项积与项的关系，其中由16/19121222221 2121nnnbbbbbbb,得到112112122221 2121nnnbbbbbbb，进而得到111221nnnnbbbb是关键一步；要熟练掌握前 n 项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.201；证明见详解【分析】（1）由题意求出y，由极值点处导数为 0 即可求解出参数a；（2）由（1）得ln 1()ln 1xxg xxx，1x 且0 x，分类讨论0,1x和,0 x，可等价转化为要证 1g x，即证ln 1ln 1xxxx在0,1x和,0 x 上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由 n1lafxaxfxx，lnxyaxxayxfx，又0 x 是函数 yxf x的极值点，所以 0ln0ya，解得1a；（2）由（1）得 ln 1fxx，ln 1()()()ln 1xxxf xg xxf xxx，1x 且0 x，当0,1x时，要证ln 1()1ln 1xxg xxx，0,ln 10 xx，ln 10 xx，即证ln 1ln 1xxxx，化简得1ln 10 xxx；同理，当,0 x 时，要证ln 1()1ln 1xxg xxx，0,ln 10 xx，ln 10 xx，即证ln 1ln 1xxxx，化简得1ln 10 xxx；令 1ln 1h xxxx，再令1tx，则0,11,t，1xt，令 1lng tttt ，1ln1lng ttt ，当0,1t时，0gx，g x单减，假设 1g能取到，则 10g，故 10g tg；当1,t时，0gx，g x单增，假设 1g能取到，则 10g，故 10g tg；综上所述，ln 1()1ln 1xxg xxx在,00,1x 恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为 0 可求参数a，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.21（1）2p；（2）20 5.【分析】17/19（1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；（2）设点11,A x y、22,B x y、00,P xy，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出AB以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB面积的最大值.【详解】（1）抛物线C的焦点为0,2pF，42pFM，所以，F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4 142p，解得2p；（2）抛物线C的方程为24xy，即24xy，对该函数求导得2xy，设点11,A x y、22,B x y、00,P xy，直线PA的方程为1112xyyxx，即112x xyy，即11220 x xyy，同理可知，直线PB的方程为22220 x xyy，由于点P为这两条直线的公共点，则10102020220220 x xyyx xyy，所以，点A、B的坐标满足方程00220 x xyy，所以，直线AB的方程为00220 x xyy，联立0022204x xyyxy，可得200240 xx xy，由韦达定理可得1202xxx，1204x xy，所以，222222001212000001414164422xxABxxx xxyxxy，点P到直线AB的距离为2002044xydx，所以，23002222000002041114442224PABxySAB dxxyxyx，2222000000041441215621xyyyyyy ，由已知可得053y ，所以，当05y 时，PAB的面积取最大值3212020 52.【点睛】18/19方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值22（1）2cos1 sinxy，（为参数）；（2）2cos()433或2cos()433.【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C的普通方程为22(2)(1)1xy，所以C的参数方程为2cos1 sinxy，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)yk x，即140kxyk，由圆心到直线的距离等于 1 可得2|2|11kk，解得33k ，所以切线方程为3334 30 xy或3334 30 xy，将cosx，siny代入化简得2cos()433或2cos()433【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.23（1）,42,.（2）3,2.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简 fxa，由此求得a的取值范围.【详解】（1）当1a 时，13f xxx，13xx 表示数轴上的点到1和3的距离之和，则 6f x 表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，当4x 或2x 时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于 6，数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于 6 得到所对应的坐标的范围是4x 或2x，所以 6f x 的解集为,42,.19/19（2）依题意 f xa，即3axax 恒成立，333xaxxaax，当且仅当30axx时取等号，3minf xa,故3aa，所以3aa 或3aa，解得32a .所以a的取值范围是3,2.【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法解含有两个绝对值，且其中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.