2-37th复赛模拟4.pdf

清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 4 4一、（40 分）将质量为?的薄圆形纸片沿其一条直径对折，而后使得两个半圆部分相互夹角为?t?.然后将半圆弧的部分向下，放置在足够粗糙的桌面上使其立起.(1)判断平衡的稳定性；(2)求上述微扰下纸片往复运动的周期.二、（40 分）一轻绳跨过定滑轮的两端，一端挂着质量为?的重物，另一端和一线密度为?的软链连接.开始时软链全部静止在地上，重物亦静止，后来重物开始下降，并将软链向上提起.(1)软链最后可提起多高？(2)再到达最高点后，软链开始回落.请定性分析软链能否全部回落到桌面，同时计算在回落到最低处时软链的高度.三、（40 分）半径为?、质量为?的匀质薄圆盘被一根弹性系数为?的轻弹簧连接于竖直墙上，连接点位于圆盘中心.弹簧平行于地面，圆盘可在足够粗糙的地面上做无滑滚动，开始时圆盘静止，弹簧处于原长.(1)求出圆盘在当前平衡位置附近小幅振动的周期；(2)圆盘处于平衡位置时，在圆盘上挖一半径为?的小圆孔，圆孔中心距圆盘中心为?，如图所示.求此时圆盘小幅振动的周期(3)若地面与圆盘的摩擦系数为?，为了维持纯滚动，圆盘质心的最大振幅为多少？四、（40 分）阿尔法粒子产生的电流(1)考虑两个处于真空中的无穷大电极板，电极之间以一条短导线相连.假设两电极之间距离为?=?mm.一个由放射性原子核释放出的带电量为?n 的阿尔法粒子从左侧电极缓慢进入此区域.该粒子以?=?t?m/s 的速度匀速向右侧电极运动，并最终停在电极处.请计算导线中电流与时间的关系.另一阿尔法粒子同样穿过电极之间的间隙，速度大小与上述相同，但沿着与垂直于电极方向呈?角的方向，计算导线中电流与时间的关系.（忽略导线中的电感）(2)假设电极为外侧的半径为?=?mm 无穷长圆柱形壳和轴处的无穷长细导线组成，且两电极间仍用短导线相连.此时阿尔法粒子由轴处圆柱状细导线电极释放出，求导线中电流与时间的关系?五、（40 分）巨分子链热力学(1)一维随机行走，每一步随机向左或向右行走一个单位，试求走了?步之后落在?位置可能行走方式的数目?t?(2)试在?的情况下，化简上述，并证明它等同于高斯分布.参考公式，当?很大时，有?除=?n?(3)三维巨分子链可看成三维随机行走，并且不考虑不能互相交叉的限制.巨分子链的熵取决于分子链末端相对于开始端的位置矢量?，每一段分子链的长度为?，试根据玻尔兹曼熵的定义导出巨分子链的熵的表达式.已知可以写成?tht?=?t?th?t?不考虑分子链内能的变化，体系的温度为?，试求为了保持分子链末端处于?处所需要施加的力.六、（50 分）普朗克公式(1)频率为?的光子气体处于温度为?的平衡态，则光子数满足玻尔兹曼分布，即光子数为?的概率为?=n?t?其中?为归一化常数.请写出?的表达式，并求出频率为?的光的平均能量.(2)某个光子的位置可用?tht?表示，动量可用?t?ht?表示.三个位置坐标和三个动量坐标合在一起可以构成一个六维的空间，这个空间称为光子的相空间.则光子的每一种状态在相空间中可以用一个点来表示；体积为?，频率落在?d?范围内的光子可能出现的状态构成相空间中的一块区域.求此区域的体积.(3)在相空间中取一小块体积元?h?h?=t?，若两个状态所对应的点都落在这个体元中，不确定性原理将使得我们无法区分这两个状态.既然无法区分，这实际上就是一个状态.对于光子，其又有自旋这一内部自由度.这使得在相空间中的每一个态对应光子的两个态.请求出频率落在?d?范围内的光子的态的个数，进而计算光子气体能量密度的谱分布，即单位体积内频率落在?d?范围内的光子气体能量?t?d?.此公式也称为普朗克公式.(4)黑体辐射可以看作是光子气体通过一个小孔的泄流.请由此求出：频率落在?d?范围内的光子，在单位时间内穿过单位面积的总能量?t?d?.这个公式也称为普朗克黑体辐射公式.（如果使用泄流的公式，请先证明）.(5)利用普朗克公式证明斯特藩-玻尔兹曼玻尔兹曼常量?=?t?.级数求和公式：?=?=?t(6)由维恩位移定律，绝对黑体的温度?与该温度下辐射本领最大值相对应的波长?的乘积为一常数，即?=，其中 称为维恩常数.请利用普朗克公式证明维恩常数 =t?t?t?/?.七、（30 分）水中的气泡在寒冷天气中，如果用玻璃环接上一杯冷的自来水,就会发现杯中的水看起来比较“混浊”.这是因为水的减压和升温导致水中溶解的气体释放出来，形成了微小的气泡.在本题中，我们来计算水中气泡的大小.在如图所示的装置中，有一个带有玻璃壁的矩形水池，一束细激光束垂直于水池的一个面进入水箱，在相邻面用照相机拍照.当有一个气泡进入激光束时，设法拍摄了五张气泡的照片，依次编号为?，拍摄过程中不断地使照机机散焦（与聚焦相反）.照相机镜头具有“内聚焦”设计，所以散焦意味着改变焦距同时保持透镜的位置不变，如图所示.照相机与气泡的连线垂直于激光束，气泡完全在激光束内。五张气泡的照片如下图所示.请计算出该气泡的直径.你可能会用到的参数如下：水的折射率为?=?，激光波长为?=?nm，照相机的镜头可以看成一个焦距为?=?tcm、孔径为?=?cm 的薄凸透镜（整个散焦过程中焦距的改变量小于?t%），气泡到镜头的距离为?=?tcm（严格来说是由于折射产生的气泡的虚像到镜头的距离，如图所示）.提示：照相机拍到的照片与双缝干涉的图像一致，但本装置中显然没有类似的狭缝存在，然而两个相干的点光源也可以形成类似的图像，你可以假定这样的图像是由气泡的作用产生的两个点光源引起的.同时，由于图像的衬比度比较大（最小值非常暗），因此可以得出结论，到达透镜的激光几乎均来自这两个点光源，并且它们具有几乎相同的亮度.