1-37th复赛模拟7标答.pdf

2020 年暑期刷题班培训专用清北学堂清北学堂第第 37 届全国中学生物理竞赛复赛模拟届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题试题 7参考答案参考答案可能用到的数学公式和物理常数：?俰?t?t?俰?th?俰?t?俰?t?俰曲线曲率半径公式：?俰?俰?俰?俰?一（30分）一根空心的细管被弯成了半径为?的圆环，圆环直立在光滑的水平地面上，底部与一滑块固连，设圆环和滑块的总质量为?。在圆环的管腔中有一个质量为?的小球，可以在管腔内无摩擦地运动，初始时刻，小球被放置在管腔的最高点，圆环和小球均保持静止，随后小球受到微小扰动沿着右方管腔滑下，已知：当小球相对圆心?转过角度?t时，圆环的向左移动速度达到最大，试求出1.?和相应的圆环的最大向左移动速度2.此处的曲率半径参考答案及评分标准（1）相对运动关系：?则有：?cos?cos?sin?水平方向动量守恒：?cos?机械能守恒，取环心为势能 0 点：2020 年暑期刷题班培训专用?匠?匠?cos?解得：?匠?cos?sin?匠?cos?h?cos?h?h?sin?达到速度最大值意味着水平加速度为?，牛二和牛三：?所以：?匠cos?所以：?cos?sin?cos?cos?对应：?t 匠?（2）小球的绝对速度为：?匠?cos?sin?h?h?sin?设?与竖直方向夹角为?，则：tan?cot?得到：sin?cos?sin?此时小球只受到重力，加速度为：?sin?匠sin?曲率半径为：?cos?sin?cos?h?h?sin?代入数据：?t?t?2020 年暑期刷题班培训专用二（36 分）如下图所示，真空中有两个彼此平行、无限长的圆柱，半径分别是 R1 和R2，柱轴相.距为 L（L 大于 R1+R2）1.当这个体系带电时，会有两个等效的带电位置。请你通过尺规作图的方法找出等效的带电位置（电像）A和B2.求出体系单位长度的电容量?参考答案及评分标准：1.（12分）两圆公切线的中点为圆心，公切线长度为直径作圆，和两圆圆心的连线的交点就是电像的位置，证明如下：?t?t?t?t?t同理可以证明另一对三角形是相似的，所以：?t?t?这和电像法要求的反演条件相同，证毕；公切线怎么作，方法不唯一（6分）另解：先做第二问，然后每一段都画出来并详细说明（12分）2.（24分）设?t?则有：?t解得（小根）：?t?t同理：?t?t由圆柱形系统的电像的结论（程稼夫教材有）：?t电势差为：?ln?ln?t所以电容为：?ln?ln?t2020 年暑期刷题班培训专用三（30分）一小球半径为?，质量为?，在粗糙的平面上作纯滚动，角速度为?，在距离其不远的地方有一个竖直的墙面。已知球和墙面碰撞的恢复系数为?，摩擦因数为?，重力加速度为匠1.求出球心能够达到的最大的高度?2.假设地面是绝对粗糙的（即球和地面发生碰撞以后，接触点相对地面速度变为0，对于非纯滚的状态会回到纯滚状态）球落地以后发生一系列后续碰撞，其质心速度在竖直方向的分量会不断的减小并趋向于0，求出最终状态下求的质心速度?和转动角速度?（不考虑多次弹墙的复杂情况）3.若地面的摩擦因数是?，恢复系数为?，重新回答2中问题参考答案及评分标准：（1）纯滚动时：?碰撞弹回：?与墙壁碰撞，所以：?考察是否会发生纯滚动，若不能，则有：?角动量定理为：?冲量定理为：?并且要求：?这意味着：?体?反之，则碰撞结束时刻，已经与墙壁无相对运动：?解得：?分别最高的高度为：?t?匠?匠?2020 年暑期刷题班培训专用（2）和地面碰撞满足角动量守恒：?分别得：?tt?（3）与前面一样，考虑每次相对地面接触点的角动量守恒，最终达到纯滚动状态。-2四（40分）月亮何时成为我们地球的同步卫星？科学观测表明，月亮当前正在以每年0.038m的速率离开地球，同时，带来的效应为地球的自转角速度不断减缓。当地球的自转角速度与月亮绕地球公转的角速度相同时，月亮便成为了地球的同步卫星。我们想要探究何时月亮成为地球的同步卫星，将地球-月亮体系视作宇宙中孤立的体系，与外界完全隔绝，已知地球的质量为ME，月球的质量为MM，月球当前轨道半径为R，地球半径为r，月球的自身半径可以忽略不计。1.试求出当前地球自转角速度的变化率2.由于潮汐阻尼带来的力矩正比于?，试求出月亮将过多久成为地球的同步卫星（Rt为t时刻的地月间距离）参数：地球质量?数?俰?t?匠，月球质量MM=7.35?匠，地月当前的距离?俰?t?，万有引力常数?俰?匠?参考答案：（1）地月体系在宇宙中孤立，由角动量守恒：?数?数?数?数?数?（?）?由质心的定义可以知道：ME?数?rEC?t由（3），（4）可以解得：rEC?数?rMC?数?数?（）2020 年暑期刷题班培训专用我们将地月体系的角动量写作地球自转角动量和公转角动量之和，由角动量定理可得：dLE?数?数?数?h?dLBIN?数?数?对于月球的圆形轨道而言，万有引力提供向心力，可得：GME?数?数?故（8）可以化为：?数?数?GhME?h?|?带入（7），得到：dE?t?数?数?俰t?t?（2）先考虑最终角速度的求解，末态角动量可以写作：L?数?数?f?数?数?数?数?数?数?数?数?h?利用现有参量将（12）的右边进行简化：L?数?数?数?数?数?G?（?）求解这个高次方程，带入已知参量，得到：f?俰?t另一个解不符合题意（比现有地球自转角速度大），故舍弃由题设，可以将力矩写作：t?数?数?GhME?数?数?GhME?|?将上式化简得到：?|?（?）积分可得：T?h?|?（?）由开普勒第三定律：2020 年暑期刷题班培训专用?G?f?俰?m?（?）带入得到：T?俰?y?（?）评分标准：第（1）问共 21 分，（1）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）各 2 分，（2）1 分；第（2）问 19 分，（12）（13）各 2 分，（14）3 分（含讨论的 1 分），（15）（或（16）3 分，（17）（18）（19）各 3 分五（32 分）如图所示，墙上靠着一个圆环，设圆环与水平方向成 45角，并且假设圆环与地面是光滑地接触，设圆环的质量为?，环与墙之间的摩擦因数为?1.在环右端与OA?成 60角的方位粘连一个质量也为?的质点，求证：系统无法保持平衡2.接上一问，在圆环下端施加水平面内作用?，使得系统在图（a）所示的平面内保持平衡，试给出?与?之间的关系3.实际上只施加?仍然无法保证空间内系统的平衡，而受到作用力的 A 点可以因为其具有之转动趋势实现一个扭矩?t?t?（其中，FA?t?t?，?为环平面的单位法向量）试给出?该满足的条件2020 年暑期刷题班培训专用参考答案及评分标准：（1）考察关于?t?轴的力矩：M?t?匠?显然系统无法保持平衡2 分（2）建立如图所示的空间直角坐标系以方便讨论：?Fx?N?N?匠?N?匠?t?联立解得：?t?匠?N?t?匠?得到：?t?匠?对应?双曲线，体?椭圆，?抛物线12 分(3)关于 A 点重新写空间力系的力矩平衡方程：?t?匠?t?tR?mg?t?mgR?MOA?匠?MF?2020 年暑期刷题班培训专用M?t?匠?由于题设带来的扭矩为：?t?匠?力矩平衡方程：?t?匠?t?匠?恒等式?匠?t?匠?t?匠?解得：Fx?t?匠?Fy?t?匠?t?匠?解得：Fy?t?匠?代入略?六（50分）在水平面上有一根质量为?，长度为?的光滑均匀刚性细长杆，它可以以无摩擦地绕过中心固定的竖直轴旋转。在杆周围有与转轴平行的匀强磁场?，其方式垂直于纸平面，把质量为?，电量为?的光滑带电小圆环套在杆上，杆和环没有电荷转移1.求出?使得环在杆上任意位置均可以静止2.设杆的初始角速度为?，再设开始时环静止在转轴位置，受到微小扰动以后离开轴线沿着杆运动，试问：是否存在可能性使得环不脱离杆？若存在，请你求出?应该满足的条件；若不存在，试求出环离开杆前的瞬间，杆的角速度、角加速度以2020 年暑期刷题班培训专用及环的加速度3.若初始角速度变为?，为了保证此后圆环的轨迹不变，?应该如何改变？4.选取特定的足够大的?，是否可能导致开始时环静止在转轴位置，受到微小扰动以后离开轴线沿着杆运动，之后脱离杆，再返回杆这样一个过程？若存在，请你给出的最小可能取值，若不存在，请说明理由。参考答案及评分标准：（1）洛伦兹力提供向心力：?（2）洛伦兹力不足以提供向心力：?所以要求：?洛伦兹力不做功，所以：?其中：?洛伦兹力的力矩为：?那么系统对于转轴的角动量定理写作：?积分得到：?所以我们得到守恒量：?因此有：?设存在瞬间使得?，我们记这样的?，那么机械能守恒变为：?正则角动量守恒变为：?2020 年暑期刷题班培训专用消去?，得到：?解得：?直接检查?如果能在环上停留（临界情况），那么：?解出：?这是矛盾的再计算，当?的情况下，系统的角速度为：?t?t?代入机械能守恒中，求出圆环的径向速度：?t?t?为了到达?，?至少为：?对应的洛伦兹力力矩为：?t?因此：?t?圆环的径向加速通过动力学方程为：?t?横向加速度为：?t?t?t?（3）轨迹相同意味着：?2020 年暑期刷题班培训专用是前后一致的，我们解出：?容易看出：?（4）设?，则：?t?t?t?t?t?t?那么离开圆环后，作圆周运动的曲率半径为：?t?t?t?那么?t?t?t?t?t?t?相应地张角：?arctan?arctan?t?t?所以要求：?arctan?t?t?t?arctan?t?t?arctan?t?t?上述方程是无解的2020 年暑期刷题班培训专用七（30分）地球上有很多的雪山，积雪终年不化的高度我们称为雪线的高度。试根据绝热大气模型，求出：1.每上升?，大气温度的变化量，空气摩尔质量为?俰?匠?2.若地表的平均温度为?，请你求出绝热大气模型下，雪线的高度3.对于湿润空气而言，上述估算不成立，设大气中水蒸气的摩尔浓度-温度变化率为?俰?t?，水蒸气的汽化热为?俰t?匠，试重新估计雪线的高度参考答案及评分标准：理想气体状态方程为：?t?对理想气体状态方程取全微分：?t?由热力学第一定律：?t?联立可得：?t?把?代入，得到：?tt?压强随着高度的关系：?匠?再有理想气体状态方程：?t?t?得到：?t匠?tt?t?匠?积分可得：t?t?匠?代入数据：t?雪线的高度为：?俰?由于水蒸气的凝结导致了系统不再绝热，加入水蒸气的放热项?为摩尔浓度：?t?全部代入可得：?t?t?t匠?t?t?匠?t利用链式法则：2020 年暑期刷题班培训专用?t?t?所以温度关于高度的微元关系为：?t?匠?t?所以：t?t?匠?代入数据得到雪线的高度：?俰?八（32 分）如下图所示，考虑一个加速器装置，在 a，b 极板间加入匀强电场 E，粒子源位于 a 板的中央，已知板的间距为 d，在 a，b 板外，存在匀强磁场 B 使粒子偏转，在加速之前，认为粒子的速度可以忽略不计，电场是可以控制方向的，使得每次粒子进入电场中都能获得加速的效果。在解答过程中，狭义相对论效应不可以忽略，你也不必考虑极板的边缘效应，以及粒子飞出去的可能性，粒子的质量为 m，电荷为 q，为了简化运算，引入参量匠=数?/?1.求出地面参考系中粒子加速N圈之后的速率和所要消耗的时间2.加速N圈之后的粒子和波长为的光子发生对头碰撞，如果光子的能量相比碰撞之前有所增加，则称：发生一次逆康普顿散射，求出发生逆康普顿散射的情况下的N的最小值参考答案：1.由动量定理：数?dmv?2020 年暑期刷题班培训专用得到：?匠?地面系中，有：c?d?匠?积分可得：t?匠?匠?t再积分：?Nd?匠?匠?解得：t?匠?匠?t?匠?对于在磁场中偏转的过程，由动量定理：?加速 n 次以后，由能量守恒：?数?t?mc?得到：n?数?地面参考系中，转 2N 圈要的时间为:t?匠?匠?总耗时：T?匠?匠?匠?t?匠?2.我们可以写出能量动量守恒：?t?t?发生逆康普顿散射的条件是：?体?t带入可以解出：2020 年暑期刷题班培训专用数?hc?得到：N?数?评分标准：本题 32 分，（1）-（16）式各 2 分