2-37th复赛模拟5.pdf

清北学堂清北学堂第第 3 37 7 届全国中学生物理竞赛届全国中学生物理竞赛复赛复赛模拟试题模拟试题 5 5180180 分分钟钟 320320 分分可能用到的数学公式：可能用到的数学公式：?t?t?t?h?t?th?tt?曲线曲率半径公式：曲线曲率半径公式：?一（50 分）一宇宙飞船围绕着地球做匀速圆周运动，设其轨道半径为?，地球的半径为?，设地球的质量为?，宇宙飞船的质量为?，设其燃料舱占据了宇宙飞船的质量的?倍，发动机点火时，能够将燃料以相对飞船以?向后（或者向前）喷出，从喷射开始到喷射结束，时间经历极为短暂，飞船尚不能在地球参考系中转动过一定的角度。（由于喷射仍然为连续过程，不得视作瞬间喷气）（1）若现在飞船迅速向后喷气直至燃料舱内燃料耗尽，试求出飞船之后的轨迹，并给出其能够逃离地球引力圈的条件（2）若现在飞船迅速向前喷气直到燃料舱内燃料耗尽，试求出飞船之后的轨迹，并给出其能够逃离地球引力圈的条件（3）对于给定参数，R?，若飞船试图达到离地球中心最远的点并能够返回地球表面，试设计喷气方案完成上述飞行目标，并给出到达远点和返回两种轨道的轨道离心率?（万有引力常数为：G?6?67?）二（40 分）如下图所示，一光滑水平杆上，有一质量为?的圆环，圆环上系着一根质量可以忽略的不可伸长的绳子，绳子的另一端挂有质点，质量为?，重力加速度为?，将绳子拉至与水平面平行，然后释放（1）若圆环固定，求出绳子与水平夹角?时，绳子中的张力?（2）若圆环非固定，求出绳子与水平夹角?时，绳子中的张力?（3）求出绳子中张力大小的最大值，并给出此时绳子与水平夹角三（40 分）假定地球形成时同位素238U 和235U 已经存在，但不存在它们的衰变产物。238U和235U 的衰变被用来确定地球的年龄 T。（1）同位素238U 以 4.50109年为半衰期衰变，衰变过程中其余放射性衰变产物的半衰期比这都短得多，作为一级近似，可忽略这些衰变产物的存在，衰变过程终止于铅的同位素206Ph。用238U 的半衰期、现在238U 的数目238N 表示出由放射衰变产生的206Pb 原子的数目206n。（运算中以 109年为单位为宜）（2）类似地，235U 在通过一系列较短半衰期产物后，以 0.710109年为半衰期衰变，终止于稳定的同位素207Pb。写出207n 与235N 和235U 半衰期的关系式。（3）一种铅和铀的混合矿石，用质谱仪对它进行分析，测得这种矿石中铅同位素204Pb，206Pb和207Pb 的相对浓度比为 1.00：29.6：22.6。由于同位系204Pb 不是放射性的，可以用作分析时的参考。分析一种纯铝矿石，给出这三种同位素的相对浓度之比为 1.00：17.9：15.5。已知比值238N：235N 为 137：1，试导出包含 T 的关系式。（4）假定地球的年龄 T 比这两种钢的半衰期都大得多，由此求出 T 的近似值。（5）显然上述近似值并不明显大于同位素中较长的半衰期，但用这个近似值可以获得精确度更高的 T 值。由此在精度 2以内估算地球的年龄 T。四（40 分）一洛埃镜其镜面宽度为?，一缝光源在镜面左侧，离镜面边缘?，比镜面高?；接受屏在镜面右侧，离镜面边缘?，设光波波长为?h?。（1）求出屏幕上条纹间距?，和屏幕上出现的条纹数量?。（2）若缝光源向上平移使其到镜面的高度发生改变，试说明条纹会发生怎么样的变化，条纹数量会发生怎么样的变化。（3）引入衬比度函数?，设缝宽度为?，屏幕到狭缝的距离为?，试求出屏幕上光强的分布函数?，以及衬比度?。（设单位长度的缝在屏幕上的干涉平均强度为?，干涉的衬比度为?）五（40 分）如图，在竖直向下的匀强磁场中，有一对无限长的光滑平行导轨，导轨的电阻可以忽略，间距为 d，在导轨上架着两根电阻棒，质量分别为m?和m?，电阻分别为r?和r?.在导轨的末端，有一电容为 C 的电容器。现在，从 t?开始记，电阻棒的速度分别为v?和v?，若棒子之间发生碰撞，视作相互穿过。求出末态两根棒子的速度?和?，以及相对位移?。六（40 分）如图所示，一固定的气缸由上下两个相互连通的圆筒构成，上部圆筒的体积为Vm，其中有一个质量为?m，面积为?S 的薄活塞 A，下方的圆筒足够长，其中有一个质量为 m，面积为 S 的活塞 B。两圆筒由一细而短的管道相连通，两活塞均可在各自的圆筒内无摩擦地上下滑动，活塞 A 的上方有 1mol 的理想气体，活塞 AB 之间盛有某种理想气体，活塞B 下方与大气相连通。开始时整个系统处于平衡态，A 上方理想气体的温度为T?，已知该理想气体每摩尔的内能 U?cT，其中 C 为常量，T 为热力学温度，活塞 B 下方的大气压强为p?，设气缸壁，活塞，管道均不导热，然后通过置于上部圆筒顶部的电热丝 L 对活塞 A 上方的气体缓慢加热，设在整个加热过程中传递给 A 上方的热量为Q?，试问达到平衡时，A 上方的气体温度?多少？七（70 分）建立一个平面直角坐标系，在空间中有一个沿着 y 方向的匀强电场和沿着 z 方向的匀强磁场，已知电场强度为E?，磁感应强度为B?，在坐标的原点处以速度v?沿着 x 方向发射一带电粒子，粒子的质量为 m，带电量为 q，重力不要考虑（1）不考虑相对论效应，试给出粒子的轨迹方程（2）考虑相对论效应，试给出在B?的情形下粒子的轨迹方程（3）考虑相对论效应，试给出粒子的轨迹方程（4）如图所示.在真空的弱引力环境中，有沿着竖直方向的电场和两根彼此平行的电线杆，假设图中一切线度都足够大，在电线杆同以高度处的两端固定一条质量足够大的软绳，绳长为?，并且悬点的绳子切向和竖直方向成角.已知其单位长度带电量为（小于 0）.软绳受到连续不断的引力波使得其在竖直方向上长度变为原来的倍（不考虑引力波在水平方向上的长度影响）.此时在软绳的底部套上一静质量为 m0的圆环，电量为 q0.施加一个大小为 P0的冲量，已知P?m?c?;Eq?l?p?ccot证明：任意时刻环和绳之间的相互作用力为 0