第二届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案(非数学类).pdf

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类，第二届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类，2010）答案）答案 一、（本题共 5 小题，每小题各 5 分，共 25 分）计算下列各题（要求写出重要步骤）（1）设，其中)1()1)(1(22naaaxn+=L1|s101+=nnsxnIsndxxesnI),2,1(!1L=+nsnInn211sI=解：解：，所以2222ygxg+)1(),(rfyxg=22yxr+=（4）设函数有二阶连续导数，)(tf，求)1(3)1(5226222rfrxrrfrxxg=)1(1)1(32rfrxrxrrfxg=，解：解：，)1(3)1(5226222rfryrrfryyg=，所以)1(1)1(1342222rfrrfrygxg+=+（5）求直线：与直线：=00zyx132142=zyx1l2l的距离 解：解：在上任取一点，上任取一点)0,(ttA)3,12,24(+sssB1l2l，2222)3()12()24(|),(+=ststsABtsf，设=+=+=+=+=0644)12(2)24(206442)3(2)12(4)24(8tstststftsststssf=230ts，219),(min=tsf由于的最小值存在，又只有一个驻点，所以),(tsf),(tsf，那么 238),(min=tsf直线与直线的距离为1l2l 二、（本 题 15 分）设 函 数在)(xf),(+上 具 有 二 阶 导 数，且，0)(xf0)(lim=xfx，0)(lim=+xfx，且存在一点，使得证明：方程在0)(0=xfx0)(xf)(xf),(+证明：证明：因为，所以在上单调增加，又，0)(1=xf0)(lim=+xfx，所以存在1x),(+，使得，在上单调),(1x)(xfx减少，在上单调增加，是最小值，),(1+x)(1xf0)()(01=)1(4322tdxyd+=)()yf x=其中()t具有二阶导数，曲线()yt=22132tuyedue=+1t=与在出相切，求函数()t )1(43)1(2)(2)()1(23322tttttdxyd+=+=2)1(3)()()1(tttt+=+，解：解：，3113)(2+=etett，2)31(21)(23+=tetett 四、（本题 15 分）设证明：10,nnnkaSa=k1nnnaS+=（1）当1收敛；时，级数1nnnaS+=（2）当1，且时，级数)(nSn发散+=+=+mnniiinmnSaDD211+mnnSS)(nSn因为，存在，使得Nm，1nnnaS+=由柯西准则，发散，即级数nD发散 五、（本题 15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)+=的直线，均匀椭球2222221xyzabc+,，其中（0密度为 1）绕 旋转 lcbacba1222=+，当1=时，0=，最大，lI)(15422maxbaabcI+=当1=时，0=，最小，lI)(15422mincbabcI+=六、（本题 15 分）设函数)(x具有连续导数，在围绕原点的任意光滑简单闭曲线上，曲线积分C+Cyxdyxxydx24)(2的值为常数 0)(224=+Lyxdyxxydx1)2(22=+yxL；（）设为正向曲线，证明：（）求函数)(x的表达式；+Cyxdyxxydx24)(2（）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 xy o M N a 1 3L上任取两点 M、N,围绕原点作闭曲线(如图)，解解：（1）在记弧，弧13CMMaN=21CMMaN=21CCL=，则0)(2)(2)(221242424=+=+CCLyxdyxxydxyxdyxxydxyxdyxxydx（2）由（1）的证明方法可知，在半平面内积分与路径 0yyPxQ=，则 无关，得：22423422432422425224224)()()(4)()()(4)()(22)(4)(2yxxyxxxxyxxxyxxyxxyxyxxyyxx+=+=+=+比较等式两边，得：，=xxxxxx2)(2)(4)(22)(xx=124=+yx（3）令C为正向曲线，042)(2224=+DCCxdxdydyxxydxyxdyxxydx，这里：，最后的等号是根据对称性 124+yxD