江苏省连云港市高级中学2024年高一下学期期末数学试题含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司2024连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷2024连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷 数学试题数学试题 注意事项：注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 i 为虚数单位，若 z i=1 i，则z z=（）A 1 B.2C.12D.32.总体编号为 01，02，29，30的 30 个个体组成利用下面的随机数表选取 6个个体，选取方法是从随机数表第 1行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6个个体的编号为（）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A.02B.14C.15D.163.若向量()1,2a=，()2,3b=，则a在b上的投影向量为（）A.()8,12B.8 12,13 13 C.8 12,13 13D.4 13134.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正 4576 边形，求出圆周率约为355113，和真正值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知的近似值还可以表示成4cos38，则222 16cos 7sin 7的值为（）A.18B.8C.8D.185.设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（）.的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.若l平面，/，m，则lm B.若l，m，/lm，则 C.若l，m，则/lm D.若/l，l/，则/6.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，4 3a=，12b=，3cos2SacB=，则A=（）A.30或150 B.30 C.45 D.150 7.在长方体1111ABCDABC D中，已知2ABBC=，13AA=，E为11BC的中点，则直线CE与平面11BB D D所成角的余弦值为（）A.510 B.9510 C.55 D.2 55 8.已知点 A，B，C均位于单位圆（圆心为 O，半径为 1）上，且2,ABAB AC=的最大值为（）A.2 B.3 C.21+D.31+二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.关于复数的命题正确的有（）A.若复数12zz，则12,zz R B.若复数()211 izmm=+为纯虚数，则1m=C.若i2z=，则z的最小值为 1 D.若12=zz，则2212zz=10.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.对于任意向量a、b，有abab恒成立 B.若平面向量a，b满足22ba=，则2ab的最大值是 5 C.若向量a，b为单位向量，27ab=，则向量a与向量b的夹角为60 D.若非零向量a，b满足()0,xaybx y+=R，且a，b不共线，则0 xy=11.某市商品房调查机构随机抽取 n 名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图 1调查的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 所有市民中四居室共 300户，所占比例为13，二居室住户占16如图 2 是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取 10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）A.样本容量为 90 B.样本中三居室住户共抽取了 35户 C.据样本可估计对四居室满意住户有 110户 D.样本中对二居室满意的有 3户 12.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E，O分别为线段11AD，AC的中点，F在棱BC上.则下列命题正确的是（）A.直线1BO 直线1DC B.直线1DB 平面1ADC C.直线1/BO平面11ADC D.设直线AB与直线EF所成的角为，则25sin,23 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.13.()()1tan221tan23+的值为_ 14.中国古典神话故事白蛇传中“水漫金山寺”中金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧 60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45，O在A的北偏东60处，B在A的正东方向 41米处，且在B点测得O与A的张角为45，则慈寿塔的高度约为的的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 _米（四舍五入，保留整数）.15.一个直角梯形上底、下底分别为3cm和4cm，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm，则这个圆台的高为_.16.在边长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F，G是1111,AB AD C D的中点，那么过点 E，F，G的截面图形为_（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，AD是BAC的角平分线，AE是边 BC上的中线，点 D、E在边 BC上（1）用正弦定理证明ABBDACCD=；（2）若4360ABACBAC=，求 DE 的长 18.已知12sin13=，()3tan4=，其中，均为锐角.（1）求tan2的值；（2）求cos的值.19.如图，三棱柱111ABCABC中，E 为1BC中点，F为1AA中点 （1）求证：/EF平面 ABC；（2）若1EFBB，平面11BBC C 平面 ABC，ACBC，求证：1BB 平面 ABC 20.为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试根据测试成绩（总 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 分 100 分），将所得数据按照40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分成 6组，其频率分布直方图如图所示 （1）求图中 a 的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的 60 百分位数；（2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？21.条件cos3 sinbCbCac+=+；()cos2cosbCacB=；()sincoscoscosRBB aCcA=+（其中R为ABC的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_.（1）求角B大小；（2）若4b=，求ABC面积S的最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）22.如图，在正方形123SGG G中，E，F分别是12GG，23G G的中点，D为EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使1G，2G，3G三点重合，重合后的点记为G.（1）在四面体SEFG中，请写出不少于 3对两两垂直的平面，并证明其中的一对；（2）若正方形的边长为 4，求点G到平面SEF的距离.的 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷 数学试题数学试题 注意事项：注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效本试卷上无效.3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知 i为虚数单位，若i1 iz=，则z z=（）A.1 B.2 C.12 D.3【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求得1 iz=，进而计算可求得z z.【详解】由i1 iz=，得1 i(1 i)i1 iii iz=，则(1 i)(1 i)1 12z z=+=+=.故选：B.2.总体编号为 01，02，29，30的 30 个个体组成利用下面的随机数表选取 6个个体，选取方法是从随机数表第 1行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6个个体的编号为（）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A.02 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】结合随机数表法确定正确答案.【详解】选取方法是从随机数表第 1 行的第 3列和第 4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的个体的编号为 16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14.故选出的第 6个个体编号为 14.故选：B.3.若向量()1,2a=，()2,3b=，则a在b上的投影向量为（）A.()8,12 B.8 12,13 13 C.8 12,13 13 D.4 1313【答案】C【解析】【分析】首先求出a b、b，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为()1,2a=，()2,3b=，所以1 22 34a b=+=，222313b=+=，所以a在b上的投影向量为()28,34131312,13 13a bbbb=.故选：C 4.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正 4576 边形，求出圆周率约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知的近似值还可以表示成4cos38，则222 16cos 7sin 7的值为（）A.18 B.8 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】将的近似值代入，利用倍角公式和诱导公式进行化简即可.【详解】的近似值还可以表示成4cos38，222222 164cos3816 16cos 3816cos38 sin388sin768cos 7sin 7cos 7sin 7cos14cos14=，故选：C.5.设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（）A.若l平面，/，m，则lm B.若l，m，/lm，则 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 C.若l，m，则/lm D.若/l，l/，则/【答案】D【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判断 A、B；线面垂直的性质定理可判断 C；由面面平行的判定定理可判断 D.【详解】对于 A，因l平面，/，所以l平面，又因为m，所以lm，故 A正确；对于 B，若l，/lm，则m，又因为m，所以，故 B正确；对于 C，若l，m，则/lm，故 C正确；对于 D，若/l，l/，则可能与相交，故 D错误.故选：D.6.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，4 3a=，12b=，3cos2SacB=，则A=（）A.30或150 B.30 C.45 D.150【答案】B【解析】【分析】根据题意，由三角形的面积公式即可得到角B，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为31cossin22SacBacB=，所以3cossinBB=，即tan3B=，且()0,B，所以3B=，又4 3a=，12b=，由正弦定理sinsinabAB=可得，34 3sin12sin122aBAb=，因为ab，则12,zz R B.若复数()211 izmm=+为纯虚数，则1m=C.若i2z=，则z的最小值为 1 D.若12=zz，则2212zz=【答案】AC【解析】【分析】根据复数的分类即可判断 AB,根据复数模长的计算，结合三角函数的性质即可判断 C，根据模长公式即可判断 D.【详解】由复数定义可知，若复数12zz，则1z，2Rz，A正确；若复数21(1)izmm=+为纯虚数，则21010mm=+，则1m=，B 错误；设i(,R)zxy x y=+，22|i|(1)2zxy=+=的几何意义是z的轨迹是以(0,1)为圆心，以 2 为半径的圆，令2cosx=，12siny=+，则22224cos4sin4sin154sin1zxy=+=+=+，即|z的最小值为 1，C 正确；若12|zz=，但2212zz=不一定成立，比如121i,2izz=，则12|2zz=，22122i,2zz=，D错误 故选：AC 10.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.对于任意向量a、b，有abab恒成立 B.若平面向量a，b满足22ba=，则2ab的最大值是 5 C.若向量a，b为单位向量，27ab=，则向量a与向量b的夹角为60 D.若非零向量a，b满足()0,xaybx y+=R，且a，b不共线，则0 xy=【答案】ABD【解析】【分析】由平面向量的线性运算的几何性质可判断 A，根据模长的计算公式即可判断 B，数由夹角公式即可 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 利用模长求解 C，根据共线的性质即可判断 D.【详解】对于 A，由向量减法的三角形法则及三角形两边之差小于第三边知abab恒成立，故 A正确；对于 B，|2|2ba=，2222(2)44178cos,1785ababaa bba b=+=+=，故 B正确；对于 C，向量a，b为单位向量，|2|7ab=，2(2)7ab=，22447aba b+=，12a b=，对于 D，a，b不共线，当0 x 时，由()0,xaybx y+=R，则yabx=，此时与a，b不共线矛盾，若0y 时，此xbay=，也与a，b不共线矛盾，故0 xy=，故 D正确 故选：ABD 11.某市商品房调查机构随机抽取 n 名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图 1调查的所有市民中四居室共 300户，所占比例为13，二居室住户占16如图 2 是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取 10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）A.样本容量为 90 B.样本中三居室住户共抽取了 35户 C.据样本可估计对四居室满意的住户有 110 户 D.样本中对二居室满意的有 3户【答案】BC【解析】【分析】推导出二居室有 150户，三居室有 450户，由此利用图 1和图 2能求出结果【详解】解：如图 1 调查的所有市民中四居室共 300 户，所占比例为13，二居室住户占16，30090013=，二居室有19001506=户，三居室有 450户，由图 1 和图 2 得：在 A 中，样本容量为：900 10%90n=，故 A 正确；第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 在 B 中，样本中三居室住户共抽取了450 10%45=户，故 B错误；在 C 中，根据样本可估计对四居室满意的住户有300 40%120=户，故 C错误；在 D 中，样本中对二居室满意的有150 10%20%3=户，故 D 正确 故选：BC 12.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E，O分别为线段11AD，AC的中点，F在棱BC上.则下列命题正确的是（）A.直线1BO 直线1DC B.直线1DB 平面1ADC C.直线1/BO平面11ADC D.设直线AB与直线EF所成的角为，则25sin,23【答案】BCD【解析】【分析】根据题意作出辅助线结合线面垂直及平行的判定定理证明 A、B、C，取11BC的中点G，连接EG、EF、FG，则FEG即为直线AB与直线EF所成的角，再由锐角三角函数计算即可判断 D.【详解】对于 A：连接1AD交1AD于点M，连接1DC、OM，根据正方体的性质可得M为1AD的中点，又为AC的中点，所以1/OM DC，设正方体的棱长为2，所以()221226OB=+=，22112OM=+=，()221226B M=+=，所以11MBOB=，显然190MOB，故直线1BO与直线1DC不垂直，故 A错误；第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 对于 B：由正方体的性质可得ACBD，1BB 平面ABCD，AC平面ABCD，所以1BBAC，1BBBDB=，1,BB BD 平面11BB D D，所以AC 平面11BB D D，1B D 平面11BB D D，所以1B DAC，同理可证11B DAD，1ADACA=，1,AD AC 平面1ADC，所以直线1DB 平面1ADC，故 B 正确；对于 C：连接11AC，11B D交于点H，连接DH，由正方体性质1/OD HB且1ODHB=，所以四边形1ODHB为平行四边形，所以1/DH OB，1BO 平面11ADC，DH 平面11ADC，所以1/BO平面11ADC，故 C 正确；对于 D：取11BC的中点G，连接EG、EF、FG，因为11/EG AB，11/AB AB，所以/EG AB，则FEG即为直线AB与直线EF所成的角，即FEG=，设正方体的棱长为2，GFx=，则222215x+=，则2EG=，2224EFEGFGx=+=+，的 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以221sin441GFxEFxx=+，因为25x，所以245x，211154x，即24415x，294125x+，294125x+，22152341x+，即25sin,23，故 D 正确.故选：BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.13.()()1tan221tan23+的值为_【答案】2【解析】【分析】利用正切的和角公式进行化简求值.【详解】已知()tan22tan23tan 222311tan22tan23+=，故tan22tan23tan22tan231+=，所以()()1tan221tan231tan22tan23tan22tan232+=+=故答案为：2 14.中国古典神话故事白蛇传中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧 60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45，O在A的北偏东60处，B在A的正东方向 41米处，且在B点测得O与A的张角为45，则慈寿塔的高度约为_米（四舍五入，保留整数）.第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】30【解析】【分析】在ABO中利用正弦定理求出AO，依题意APO为等腰直角三角形，即可得到PO.【详解】由题意可得在AOB中，30OAB=，45ABO=，41AB=米，所以105AOB=，在ABO中利用正弦定理可得sinsinABAOAOBABO=，所有sin41 sin45sinsin105ABABOAOAOB=2241412241(31)30sin(6045)12322222=+，因为45PAO=，所以APO为等腰直角三角形，所以30POAO=米 故答案为：30 15.一个直角梯形上底、下底分别为3cm和4cm，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm，则这个圆台的高为_.【答案】1或7【解析】【分析】分别求出球心到两底面的距离，分类讨论可求出圆台的高.【详解】圆台的外接球的半径为 5，则圆台外接球的球心到上底面的距离为212534d=,则圆台外接球的球心到下底面的距离为221543d=,若球心在上下两底面之间，则圆台的高为347h=+=,若上下两底面在球心的同一侧，则圆台的高为431h=,综上所述：这个圆台的高为 1或 7.故答案为：1或 7.16.在边长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F，G是1111,AB AD C D的中点，那么过点 E，F，G的截面图形为_（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 _【答案】.六边形 .3 3【解析】【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.【详解】如图，分别取BC、1AA、1CC的中点为H、I、J，连接,FI IE EH HJ JG，则由正方体的结构特征可知：FIIEEHHJJGFG=，且/,/,/FIHJ IEJG FGEH，又由面面平行的性质定理可知过点 E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行，与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行，故六边形FGJHEI是正方体中过点 E，F，G的截面,所以过点 E，F，G的截面图形为六边形.因为222211112FGFDDC=+=+=，所以六边形FGJHEI是棱长为2的正六边形，如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成 6个全等的正三角形，且边长为2，故由正三角形面积公式得截面图形的面积为23623 34=.故答案为：六边形；3 3.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，AD是BAC的角平分线，AE是边 BC上的中线，点 D、E在边 BC上（1）用正弦定理证明ABBDACCD=；第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（2）若4360ABACBAC=，求 DE长【答案】（1）证明见解析 （2）1314DE=【解析】【分析】（1）由正弦定理知，sinsinABBDADBBAD=，sinsinACBDADCDAC=，结合条件可得结论；（2）由余弦定理可求得13BC=，进而利用（1）的结论可求DE.【小问 1 详解】由正弦定理知，在ABD中，sinsinABBDADBBAD=，在ADC中，sinsinACBDADCDAC=，由ADBADC+=，BADDAC=，所以sinsin,sinsinADBADCBADDAC=，所以ABBDACDC=；【小问 2 详解】在ABC中，由余弦定理可得2222cos1692 4 3 cos6013BCABACAB ACBAC=+=+=，所以13BC=，由（1）可得43BDABDCAC=，所以44 1377BDBC=，因为AE是BC边上的中线，所以11322BEBC=，所以1314DEBDBE=.18.已知12sin13=，()3tan4=，其中，均为锐角.（1）求tan2的值；（2）求cos的值.【答案】（1）120119 （2）5665 的 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】分析】（1）首先求出cos，即可求出tan，再由二倍角正切公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系求出()sin，()cos，再根据()coscos=利用两角差的余弦公式计算可得.【小问 1 详解】因为12sin13=且为锐角，所以2cos1 sin135=，所以sin12tancos5=，所以221222tan12051tan119tan21215=.【小问 2 详解】因为、均为锐角，所以22，又()3tan4=，所以02，又()()()sin3tancos4=且()()22sincos1+=，解得()3sin5=，()4cos5=（负值舍去），所以()()()coscoscoscossinsin=+541235613513565=+=.19.如图，三棱柱111ABCABC中，E 为1BC中点，F为1AA中点 （1）求证：/EF平面 ABC；（2）若1EFBB，平面11BBC C 平面 ABC，ACBC，求证：1BB 平面 ABC【第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）取BC的中点M，连接,ME MA，由已知易证四边形MEFA是平行四边形，进而可得/EFAM，可证结论；（2）由面面垂直的性质可得AC 平面11BBC C，进而可得1ACBB，结合（1）与已知可得1AMBB，进而由线面垂直的判定定理可证结论.【小问 1 详解】取BC的中点M，连接,ME MA，因为E为1BC中点，所以1/MECC且1MECC=，又F为1AA中点，11/AACC，11AACC=，所以/MEAF且MEAF=，所以四边形MEFA是平行四边形，所以/EFAM，又因为EF 平面ABC，AM 平面ABC，所以/EF平面ABC；【小问 2 详解】因为1EFBB，由（1）可知/EFAM，所以1AMBB，又ACBC，平面11BBC C 平面ABC，平面11BBC C平面ABCBC=，AC平面ABC，所以AC 平面11BBC C，1BB 平面11BBC C，所以1ACBB，又ACAMA=，,AM AC 平面ABC，所以1BB 平面ABC 20.为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试根据测试成绩（总 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 分 100 分），将所得数据按照40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分成 6组，其频率分布直方图如图所示 （1）求图中 a 的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的 60 百分位数；（2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？【答案】（1）0.025a=；60百分位数为74；（2）71 （3）88【解析】【分析】（1）由直方图区间频率和为 1求参数a；设该样本的 60百分位数为x分，由题意可得0.5(70)0.0250.6x+=，求解即可；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率0.13为对应分数即可.【小问 1 详解】由(0.0050.010.015 20.030)101a+=，解得0.025a=；设该样本的 60 百分位数为x分，因为40,50),50,60)60,70),70,80)，对应的频率分别为 0.05，0.15，0.3，0.25，所以 60百分位数在70,80)内，由题意可得0.5(70)0.0250.6x+=，解得74x=，所以 60百分位数为74；【小问 2 详解】45 0.0555 0.1565 0.375 0.2585 0.1595 0.171+=，故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；【小问 3 详解】第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为80,90),90,100对应的频率分别为 0.15，0.1，所以(90)0.0150.10.13x+=，解得88x=，故受嘉奖的学生分数不低于分88 21.条件cos3 sinbCbCac+=+；()cos2cosbCacB=；()sincoscoscosRBB aCcA=+（其中R为ABC的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_.（1）求角B的大小；（2）若4b=，求ABC面积S最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）【答案】（1）3 （2）4 3【解析】【分析】（1）若选，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1sin()62B=，可求 5,666B，进而可得B的值；若选，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos2B=，结合(0,)B，可求B的值；若选，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos2B=，结合(0,)B，可求B的值（2）由题意利用余弦定理以及基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解【小问 1 详解】若选，因为cos3 sinbCbCac+=+，由正弦定理可得sincos3sinsinsinsinBCBCAC+=+，因为sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，可得sincos3sinsinsincoscossinsinBCBCBCBCC+=+，可得3sinsincossinsinBCBCC=+，又C为三角形内角，sin0C，的 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以3sincos1BB=+，可得1sin()62B=，因为(0,)B，可得 5,666B，所以66B=，可得3B=；若选，因为cos(2)cosbCacB=，由正弦定理可得sincos(2sinsin)cosBCACB=，可得sincossincossin()sin2sincosBCCBBCAAB+=+=，又A为三角形内角，sin0A，可得1cos2B=，因为(0,)B，所以3B=；若选，因为sincos(coscos)RBB aCcA=+（其中R为ABC的外接圆半径），又由正弦定理可得2sinsinsinabcRABC=，所以cos(coscos)2bB aCcA=+，可得1sincos(sincossincos)cossin()cossin2BBACCABACBB=+=+=，又B为三角形内角，sin0B，所以1cos2B=，因为(0,)B，所以3B=【小问 2 详解】因为3B=，4b=，所以余弦定理可得22162acacacacac=+=，第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 可得16ac，当且仅当4ac=时取等号，所以ABC的面积13sin4 324SacBac=，当且仅当4bc=时，等号成立，所以ABC面积S的最大值为4 3 22.如图，在正方形123SGG G中，E，F分别是12GG，23G G的中点，D为EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使1G，2G，3G三点重合，重合后的点记为G.（1）在四面体SEFG中，请写出不少于 3对两两垂直的平面，并证明其中的一对；（2）若正方形的边长为 4，求点G到平面SEF的距离.【答案】（1）答案见解析 （2）43【解析】【分析】（1）依题意可得SGGE，SGGF，GEGF，根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）根据SEGFG SEFVV=，利用等体积法计算可得.【小问 1 详解】依题意可得平面SGE 平面GEF，平面SGF 平面GEF，平面SGE 平面SGF 证明如下：在折前正方形123SGG G中，11SGG E，33SGG F，折成四面体SEFG后，SGGE，SGGF，又GEGFG=，,GE GF 平面GEF，SG平面GEF SG 平面GEF，SG 平面SGE，平面SGE 平面GEF；因为SG 平面SGF，平面SGF 平面GEF；第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 又令正方体的边长为2，则1GFGE=，22112=+=EF，所以222EFGEGF=+，所以GEGF，SGGFG=，,SG GF 平面SGF，所以GE SGF，因为GE 平面SGE，所以平面SGE 平面SGF.【小问 2 详解】若正方形的边长为4，则2GEGF=，22422 5SESF=+=，22222 2EF=+=，所以12 222GEFS=，()()2212 22 5262SEFS=由（1）可知SG 平面GEF，所以11842333SEGFGEFVSG S=，设点G到平面SEF的距离为h，又SEGFG SEFVV=，所以8133SEFSh=，即38163h=，解得43h=