2025高考帮备考教案数学第四章　三角函数第3讲　两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式含答案.docx

2025高考帮备考教案数学第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.和、差、倍角公式的直接应用2023新高考卷T8；2021全国卷甲T9；2020全国卷T9；2020全国卷T9；2019全国卷T10本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计 2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.和、差、倍角公式的逆用与变形用2023新高考卷T7；2022新高考卷T6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷T5角的变换问题2022浙江T13；2019江苏T13学生用书P0771.两角和与差的正弦、余弦、正切公式S（±）：sin（±）sincos±cossin.C（±）：cos（±）coscossinsin.T（±）：tan（±）tan±tan1tantan（，±k2，kZ）.注意 在公式T（±）中，±都不等于k2（kZ），即保证tan ，tan ，tan（±）都有意义.2.二倍角公式S2：sin 22sincos.C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2.T2：tan 22tan1-tan2（k2且k24，kZ）. （1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）二倍角是相对的，如2是4的2倍，3是32的2倍.3.辅助角公式asin bcos a2b2sin（）（其中a0，sin ba2b2，cos aa2b2，tan ba）.规律总结1.两角和与差的正切公式的变形tan ±tan tan（±）（1tan tan ）；tan ·tan 1tantantan（）tantantan（） 1.2.降幂公式：sin21cos22；cos21+cos22；sin cos 12sin 2.3.升幂公式：cos 22cos21；cos 212sin2.4.其他常用变式sin 22tan1+tan2；cos 21tan21+tan2；tan2sin1+cos1cossin；1sin 2（sin cos ）2；1sin 2（sin cos ）2.规律总结1.积化和差cos ·cos 12cos（）cos（）；sin ·sin 12cos（）cos（）；sin ·cos 12sin（）sin（）；cos ·sin 12sin（）sin（）.2.和差化积sin sin 2sin2cos2；sin sin 2cos2sin2；cos cos 2cos2cos2；cos cos 2sin2sin2.注意 和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.1.2023北京海淀区月考若tan（512）12，则tan（6）的值为（A）A.3B.13C.3D.13解析因为tan（512）tan（6）4tan（6）11+tan（6）12，所以tan（6）3.2.已知sin 1517，（2，），则cos（4）的值为7234.解析sin 1517，（2，），cos 1sin21（1517）2817，cos（4）cos 4cos sin 4sin 22×（817）22×15177234.3.全国卷若sin x23，则cos 2x19.解析cos 2x12sin2x12×（23）219.4.易错题1+tan15°1tan15°3.解析1+tan15°1tan15°tan45°tan15°1tan45°tan15°tan（45°15°）tan 60°3 .5.若sin x3cos x2sin（x），0，则的最小值为3.解析因为sin x3cos x2（12sin x32cos x）2（sin xcos cos xsin ），所以cos 12，sin 32.因为0，所以的最小值为3.6.积化和差函数f（x）sin（x3）cos x的最小值为1234.解析因为f（x）12sin（x3x）sin（x3x）12sin（2x3）34，所以函数f（x）的最小值为1234.7.和差化积在ABC中， sin Acos Bcos C，则ABC的形状是直角三角形.解析cos Bcos C2cosBC2·cosBC22sinA2·cosBC2.因为sin Acos Bcos C，所以2sinA2cosA22sinA2·cosBC2，因为sinA20，所以cosA2cosBC2，易得A2与BC2均小于2，所以A2BC2，即ABC，所以ACB或ABC，即BB或CC，即B2或C2，所以ABC是直角三角形.学生用书P078命题点1和、差、倍角公式的直接应用例1 （1）2023新高考卷已知sin（）13，cos sin 16，则cos（22）（B）A.79B.19C.19D.79解析依题意，得sincoscossin13，cossin16，所以sin cos 12，所以sin（）sin cos cos sin 121623，所以cos（22）12sin2（）12×（23）219，故选B.（2）全国卷已知2tan tan（4）7，则tan （D）A.2B.1C.1D.2解析由已知得2tan tan+11tan7，得tan 2.方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.训练1 （1）全国卷已知（0，），且3cos 28cos 5，则sin （A）A.53B.23C.13D.59解析3cos 28cos 5，3（2cos21）8cos 5，6cos28cos 80，3cos24cos 40，解得cos 2（舍去）或cos 23.（0，），sin 1cos253.故选A.（2）2024广西玉林市联考已知cos（）13，cos cos 12，则cos（22）（B）A.79B.19C.19D.79解析由cos（）cos cos sin sin ，即1312sin sin ，可得sin ·sin 16，则cos（）cos cos sin sin121623，所以cos（22）2cos2（）12×（23）2119.故选B.命题点2和、差、倍角公式的逆用与变形用例2 （1）2023新高考卷已知为锐角，cos 1+54，则sin 2（D）A.358B.1+58C.354D.1+54解析cos 1+5412sin22，得sin2235862516（514）2，又为锐角，所以sin20，所以sin21+54，故选D.（2）2021全国卷乙cos212cos2512（D）A.12B.33C.22D.32解析解法一原式1+cos 621+cos 56232（32）232.解法二因为cos512sin（2512）sin12，所以cos212cos2512cos212sin212cos（2×12）cos632.故选D.（3）2022新高考卷若sin（）cos（）22cos（4）sin ，则（C）A.tan（）1B.tan（）1C.tan（）1D.tan（）1解析sin （）cos （）2sin （4）22sin cos （4），所以sin（4）cos sin cos（4）2sin cos （4），整理得sin（4）cos sin cos（4）0，即sin（4）0，所以4k，kZ，所以tan（）tan（k4）1.方法技巧1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tan tan tan（）·（1tan tan ）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asin xbcos x化简时，辅助角的值如何求要清楚.训练2 （1）在ABC中，C120°，tan Atan B233，则tan Atan B的值为（B）A.14B.13C.12D.53解析解法一由题意得tan（AB）tan Ctan 120°3，所以tan（AB）tanAtanB1tanAtanB3，即2331tanAtanB3，解得tan Atan B13，故选B.解法二由已知，可取AB30°，则tan Atan B33×3313，故选B.（2）2022北京高考若函数f（x） Asin x3cos x的一个零点为3，则A1； f（12）2.解析依题意得f（3）A×323×120，解得A1，所以f（x）sin x3cos x2sin（x3），所以f（12）2sin（123）2.命题点3角的变换问题例3 （1）2024山东省部分学校联考已知sin（x12）14，则cos（562x）（C）A.78B.18C.78D.18解析因为sin（x12）14，所以cos（562x）cos（62x）cos（62x）12sin2（x12）12×（14）278.故选C.（2）若tan（2）2，tan 3，则tan（）1，tan 12.解析因为tan（2）2，tan 3，所以tan（）tan（2）tan（+2）tan1+tan（+2）tan2（3）1+2×（3）1，tan tan（）1（3）1+(1）×（3）12.方法技巧角的变换问题的解题思路1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.3.常见的配角技巧：2（）（）；（）（）；（）（）；15°45°30°；42（4）等.训练3 （1）2024江苏省南通市学情检测已知sin（6）63，则sin（62） （C）A.223B.223C.13D.13解析设6t，则t6，sin t63，sin（62）sin62（t6）sin（22t）cos 2t12sin2t12×（63）213，故选C.（2）2024辽宁省辽东南协作体联考已知434，04，cos（4）35，sin（34）513，则sin（）的值为5665.解析434，04，240，3434，sin（4）1cos2（4）45，cos（34）1sin2（34）1213，sin（）cos2（）cos（34）（4）cos（34）cos（4）sin（34）sin（4）1213×35513×（45）5665.1.命题点1/2024河北石家庄模拟已知tan（），tan（）是方程x24x30的两个实数根，则sin2cos2（D）A.2B.1C.33D.2解析因为tan（），tan（）是方程x24x30的两个实数根，所以tan（）tan（）4，tan（）·tan（）3，所以sin2cos2sin(）（)cos(）（)sin（）cos（）cos（）sin（）cos（）cos（）sin（）sin（）tan（）tan（）1+tan（）·tan（）41+(3）2.2.命题点1/2023河北沧州部分学校联考1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作图作出正十七边形就要将圆十七等分，如图所示.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则cos（）cos 2cos 4cos 8的值为116.解析cos（）cos 2cos 4cos 8sin22sin·sin42sin2·sin82sin4·sin162sin8sin1616sin，易知217，所以cos（）·cos 2cos 4cos 8sin321716sin217sin（2217）16sin217sin21716sin217116.3.命题点2已知sin 223，则cos2（4） （A）A.16B.13C.12D.23解析解法一cos2（4）121cos（22）12（1sin 2）16.解法二cos（4）22cos 22sin ，所以cos2（4）12（cos sin ）212（12sin cos ）12（1sin 2）16.4.命题点3已知角，（0，），cos 33，sin（）14，则tan 16231513.解析因为，（0，），cos 33，sin（）14，所以（2，），（2，），可得sin 63，cos（）154，所以tan 2，tan（）1515.tan tan（）tan（）tan1+tan（）·tan151521+1515×216231513.5.命题点3/2023乌鲁木齐质监已知3sin cos 23，则cos（232） （B）A.1718B.89C.89D.1718解析3sin cos 2sin（6）23，设16，则sin 126，设2232，则221，所以cos 2cos（21）cos 212sin21189，故选B.学生用书·练习帮P2931.已知cos x14，x为第二象限角，则sin 2x（C）A.154B.154C.158D.158解析因为cos x14，x为第二象限角，所以sin x154，所以sin 2x2sin xcos x2×154×（14）158，故选C.2.2024重庆渝北中学模拟sin 47°sin 103°sin 43°·cos 77°（B）A.32B.32C.12D.1解析sin 47°sin 103°sin 43°cos 77°cos 43°sin 77°sin 43°·cos 77°sin（77°43°）sin 120°32.3.2024河北石家庄模拟若tan 5，则cos 2（B）A.35B.23C.35D.23解析cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21+tan2151+523.故选B.4.已知sin 223，则cos2（4）（A）A.16B.13C.12D.23解析解法一cos2（4）121cos（22）12（1sin 2）16.解法二cos（4）22cos 22sin ，所以cos2（4）12（cos sin ）212（12sin cos ）12（1sin 2）16.5.2024厦门大学附属科技中学模拟已知sin（6）cos 45，则sin（26）（A）A.725B.725C.2425D.2425解析由已知sin（6）cos sin cos6cos ·sin6cos 32sin 12cos sin（6）45，则sin（26）cos（23）12sin2（6）12×（45）2725，故选A.6.2024安徽六校联考已知cos（）13，tan ·tan 13，则cos（）（D）A.16B.16C.23D.23解析因为tan tan 13sinsincoscos，所以cos cos 3sin sin ，又cos（）13cos cos sin sin ，所以sin sin 16，cos cos 12，所以cos（）cos cos sin sin 23.故选D.7.已知，为锐角，且tan 17，cos（）255，则cos 2（C）A.35B.23C.45D.7210解析由已知为锐角，且tan 17，得到sin 210，cos 7210.由cos（）255且，为锐角，得到sin（）55，所以cos cos（）cos（）cos sin（）sin 255×721055×21031010，所以cos 22cos2 12×910145.8.2023高三名校联考已知4，32，sin 245，cos（）210，则（C）A.4或34B.4C.34D.54解析解法一因为4，所以222，又sin 2450，所以22，可得42，所以cos 21sin2235.因为32，所以254，542，所以sin（）1cos2（）7210，所以sin（）sin（）2sin（）cos 2cos（）sin 27210×（35）（210）×4522，所以34，故选C.解法二由题意，易得2（2，），（54，2），（0，54），（提示：由sin 245，4，知（4，2）得（）2（4，32），所以（4，54），结合选项可知选C.9.2023东北三省三校联考若sin（26）cos 23，则tan （C）A.33B.1C.23D.23解析由sin（26）cos 23，可得sin 2cos6cos 2sin6cos 23，所以3（12sin 232cos 2）3，即sin（23）1，解得2322k，kZ，即12k，kZ，则tan tan（12k）tan12tan（34）tan3tan41+tan3·tan4311+323.故选C.10.2024山东泰安模拟锐角，满足tan cos1sin，则（B）A.22B.22C.234D.22解析tan cos1sincos22sin22cos22sin222sin 2·cos 2（cos 2sin 2)(cos 2sin 2）（cos 2sin 2）2cos2sin 2cos 2sin 21+tan 21tan 2tan4tan 21tan 4·tan 2tan（42），又，是锐角，4422，而ytan x在（0，2）单调递增，故42，因此22.故选B.11.2024陕西咸阳模拟已知a2sin13，b3sin14，c4sin16，则（B）A.ac，ac2bB.ac，ac2bC.ac，ac2bD.ac，ac2b解析0162，0cos161，2sin132sin（2×16）4sin16cos164sin16，ac；011216132，0cos1121，sin16sin13，即sin16sin130，ac2sin134sin163sin133sin16（sin16sin13）3sin133sin163sin（14112）3sin（14112）6sin14cos1126sin142b，ac2b.故选B.12.点P0（45，35）为锐角的终边与单位圆的交点，OP0（O为坐标原点）逆时针旋转3得OP1，则点P1的横坐标为43310.解析根据三角函数的定义可得sin 35，cos 45.由于OP0逆时针旋转3得OP1，所以点P1的横坐标为cos（3）cos cos3sin sin345×1235×3243310.13.如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点，现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记MEF，则sin（4）31010.图1图2解析设DEx，则DM1，EMEA2x，在RtDEM中，D90°，DE2DM2EM2，即x212（2x）2，x34，EM54，在RtDEM中，sinDEMDMEM45，则sin 2sin（DEM）sinDEM45，sin cos （sincos）21+2sincos1+sin2355，sin（4）sin cos4cos sin422（sin cos ）22×35531010.14.条件创新设函数ycos 2x（x0）和函数ycos 10x （x0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，xn，若tan（x3） cos x4，则tan 2的值为（B）A.13B.34C.43D.3解析令cos 2xcos 10x（x0），则有10x2x2k或10x2x2n，k，nN，解得xk4或xn6，k，nN，又函数ycos 2x（x0）和函数ycos 10x（x0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，xn，所以x0，6，4，3，2，23，故x34，x43，所以tan（x3）cos x4，即tan（4）cos312，即1tan1+tan12，所以tan 13，所以tan 22tan1tan234.15.角度创新已知函数f（x）2cos（x4）cos（x4）sin x，若对任意的实数x，恒有f（1）f（x）f（2），则cos（12）14.解析因为f（x）2（22cos x22sin x）（22cos x22sin x）sin x2（12cos2x12sin2x）sin x12sin2xsin x2（sin x14）298，且f（x）对任意实数x恒有f（1）f（x）f（2），所以sin 11，sin 214.则cos 10，cos（12）cos 1cos 2sin 1sin 2sin 214.第4讲简单的三角恒等变换课标要求命题点五年考情命题分析预测能运用和、差、倍角公式进行简单的恒等变换 （包括推导出积化和差、 和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.三角函数式的化简2021新高考卷T6；2021全国卷甲T9本讲每年必考，主要考查利用三角函数的基本关系、诱导公式以及和、差、倍角公式进行化简求值.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.三角函数式的求值2022浙江T13；2021新高考卷T6；2021全国卷乙T6；2020全国卷T9；2020全国卷T9；2019全国卷T10学生用书P079命题点1三角函数式的化简例1 （1）2021全国卷甲若（0，2），tan 2cos2sin，则tan （A）A.1515B.55C.53D.153解析因为tan 2sin2cos22sincos12sin2，且tan 2cos2sin，所以2sincos12sin2cos2sin，由（0，2）得cos 0，解得sin 14，cos 154，tan sincos1515.故选A.（2）化简：2cos212tan（4）sin2（4）1.解析原式cos22tan（4）cos2（4）cos22sin（4）cos（4）cos2sin（22）cos2cos21.方法技巧化简三角函数式的方法与技巧1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向.训练1 2021新高考卷若tan 2，则sin（1+sin2）sincos（C）A.65B.25C.25D.65解析解法一因为tan 2，所以sin（1+sin2）sincossin（sincos）2sincossin （sin cos ）sin2sincossin2cos2tan2tantan2+1424+125.故选C.解法二因为tan 2，所以角的终边在第二或第四象限，所以sin25，cos15或sin25，cos15，所以sin（1+sin2）sincossin（sincos）2sincossin （sin cos ）sin2sin cos 452525.故选C.命题点2三角函数式的求值角度1给角求值例2 （1）sin 50°（13tan 10°）1.解析sin 50°（13tan 10°）sin 50°（1tan 60°tan 10°）sin 50°×cos60°cos10°sin60°sin10°cos60°cos10°sin 50°×cos（60°10°）cos60°cos10°2sin50°cos50°cos10°sin100°cos10°cos10°cos10°1.（2）sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°116.解析原式12cos 20°·cos 40°·cos 80°sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°sin160°16sin20°116.方法技巧给角求值问题的解题策略一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.注意当式子中出现12，1，32，3等数时，要考虑引入特殊角，通过“值变角”化简计算.角度2给值求值例3 （1）2022浙江高考若3sin sin 10， 2，则sin 31010，cos 2 45.解析因为 2，所以 2，所以3sin sin 3sin sin（2）3sin cos 10sin（）10，其中sin 1010，cos 31010，所以22k，kZ，所以22k，kZ，所以sin sin（22k）cos 31010，kZ.因为sin 3sin 101010，所以cos 2 12sin2 11545.（2）江苏高考已知tantan（4）23，则sin（24）的值是210.解析解法一tantan（4）tantan+11tantan（1tan）tan+123，解得tan 2或tan 13.当tan 2时，sin 22sincossin2cos22tantan2+145，cos 2cos2sin2sin2cos21tan2tan2135，此时sin 2cos 215.同理当tan 13时，sin 235，cos 245，此时sin 2cos 215，所以sin（24）22（sin 2cos 2）210.解法二tantan（4）sincos（4）cossin（4）23，则sin cos（4）23cos sin（4），又22sin（4）sin（4）cos cos（4）·sin 53sin（4）cos ，则sin（4）cos 3210，则sin（24）sin（4）sin（4）cos cos（4）sin 13sin（4）·cos 13×3210210.方法技巧给值求值问题的解题策略1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.角度3给值求角例4 （1）若sin 255，sin（ ）1010，且4， ，32，则 的值是（A）A.74B.94C.54或74 D.54或94解析因为4，所以22，2.又sin 255，所以2（2，），（4，2），所以cos 21sin22255.因为 ，32，所以 （54，2）， （2，54），所以cos（ ）1sin2（）31010，所以cos（ ）cos2（ ）cos 2cos（ ）sin 2·sin（ ）255×（31010）55×101022.又 （54，2），所以 74.（2）已知， 为锐角，且（13tan ）（13tan ）4，则 23.解析将（13tan ）（13tan ）4展开，得3（tan tan ）3（1tan ·tan ），即tantan1tantantan（ ）3，由于， 为锐角，所以0 ，故 23.方法技巧给值求角问题的解题