初一几何勾股定理 .doc

初一平面几何基础讲座之七勾股定理及其应用首都师范大学数学科学学院 周春荔 2001年3月10日由中央电视台播出的“第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛”初赛第一道试题是：“2002年将在北京召开国际数学家大会.如图1所示，这是大会的会标图案.它由四个相同的直角三角形拼成.已知直角边的长为2和3，求大正方形的面积.” 显见，大正方形面积等于四个直角三角形与中间小 （图1）正方形面积之和.每个直角三角形面积是3，四个直角三角形面积是12，中间小正方形的边长为3 2 = 1，面积是1.所以大正方形的面积是3 × 4 + 1 = 13.这道试题向广大青少年传播了2002年将在北京召开国际数学家大会的信息，并利用这道赛题向大家介绍了大会会标的图案. 其中还蕴涵着勾股定理及其具有中华特色的“弦图”证明.（一）勾股定理及其逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的度量关系.其内容是：如图2，中，则有 勾股定理的证明记载于欧几里得（公元前三世纪）的 （图2）几何原本第一卷命题47：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和.” 国外称勾股定理为毕达哥拉斯定理.它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理是欧氏几何的“拱心石”.勾股定理及其证明的内涵十分丰富.要深入研究、反复体会，对学习会大有益处. 几何原本中对勾股定理的证明，采用的是面积割补与等积变形.如图3，连接BJ，FC.过C作于D，交AB于K.则CD/AF/BE，易证. 又 ， 所以 .同法可证 故 .大家知道，中华民族是擅长数学的民族， （图3）我国也是最早发现勾股定理的国家之一我国古代三国时期的数学家赵爽，就是利用“弦图”来证明勾股定理的.图4就是中国古算书中的“弦图”.“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股 之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实.”其意思是： （图2） 设直角三角形的勾为a，股为b，弦为c，ab为两个红色直角三角形的面积，2ab为四个红色直角三角形的面积.中黄实的面积为，大正方形的面积为c2. （图4）所以 c2 = 2ab + = 2ab + a2 -2ab + b2 = a2 + b2.从而巧妙地证明了勾股定理.勾股定理的证法很多,其中文艺复兴时期的达·芬奇的证法也是很有特色的. 如图,在直角三角形ABC的三边上分别向 外作正方形ABDE，AGFC，BCMN. 求证： 证明：连接FM, 作直角三角形DEP与 角三角形ABC全等.（AC=DP，BC=EP ) 连接 NG, PC. 则 NG是六边形AGFMNB的对称轴, （图5） 所以 又六边形ACBDPE是中心对称图形, 所以 因为以A为旋转中心, 将四边形AGNB顺时针旋转与四边形ACPE重合所以 四边形AGNB的面积 = 四边形ACPE的面积. 因此 六边形AGFMNB的面积 = 六边形ACBDPE的面积. 即 注意到 , 从上式两端消去两对面积相等的直角三角形 得到 因此得证 勾股定理的逆定理也是成立的，非常有用.定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角.已知： 中，.求证：.证明：如图6，作一个直角三角形， （图6）使，根据勾股定理，就有 .与已知等式比较可知，有.所以因此有 （二）勾股定理的初步应用 例1. 智能机器猫从平面上的O点出发. 按下列规律行走：由O向东走12cm到A1，由A1向北走24cm到A2，由A2向西走36cm到A3，由A3向南走48cm到A4，由A4向东 （图9）走60cm到A5，问：智能机器猫到达的A6点与O点的距离是多少厘米？ （第九届华杯赛团体决赛口试题9） （图7）解：依规律第六次由A5向北走72cm到A6.OP =12 -36 + 60 = 36，A6P = 24 48 + 72 = 48，由勾股定理得=122×32 +122×42 =122（32+42）=122·52=602. 所以OA6 =60（cm）.即A6点与O点的距离是60厘米.例2. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科. 请小朋友求解九章算术中的一个古代问题： “今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？” （图8）白话译文：如图8，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，（图9）圆柱底面周长3尺. 葛藤生于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点. 则葛藤的长度是 尺. 解：设想将葛的根处A剪断，顶处B不动，将葛解开缠绕拉直，A点变为地面上的C点. 如图9所示. 则葛长为的斜边BC. 由AB =20，AC=21，由勾股定理得： = 841=. 所以BC =29（尺）.答：葛长29尺.例3： 如果梯形的两条对角线互相垂直.求证：对角线的平方和等于两底和的平方.证明 如图10，已知AD/BC，AC与BD相交于O,.过D作AC的平行线交BC延长线于E.则ADEC为平行四边形，CE=AD，DE=AC，在Rt中，由勾股定理得 （图10），即. 例4. 在中，O为三角形内一点，若的 面积相等，求证： 证明：如图11，作于M，于N. 由勾股定理得 所以 （图11） 由的面积相等，知 ，推知 又OMNC是长方形，ON=CM，OM=CN. 因而，同理推得 NB=2OM.于是 =例5P为矩形ABCD内一点，已知 PA=5，PB=10，PC=14. 求PD=？ 解：如图12， 由勾股定理得 ，； ，. 相加得 . 所以 （图12） =25 + 196 -100 =121. 所以PD =11.例6. 长方形的纸片ABCD，AD = 4，AB = 3，将它折叠压平，使C点与A点重合.求折痕的长度. （第7届华杯赛初一组第一试决赛试题4）解：设折痕是EF，如图13所示，EF必过长方形ABCD的两条对角线的交点O，且与AC垂直. 连（图13）接AE，CF，则AECF是个菱形.由勾股定理，可得长方形ABCD的每条对角线的长度= 设BE=x, 则 在直角三角形ABE中应用勾股定理，得 解得 所以易知，三角形FEC的面积等于，因此菱形AECF的面积为.所以 因此. 答：折痕EF的长度= 例7. 一段笔直的铁路线两侧有C，D两厂，C厂到铁路线距离CA=2km，D厂到铁路线距离DB=3km.又AB=12km.现要在铁路上设一站台P，使得C，D两厂到P站的距离之和为最小.问C，D两厂到P站的距离之和的最小值是多少？解： 如图14，CA=2，DB=3，AB=12. （图14）设P为AB上任一点，连接PC，PD， 设CD交AB于M，根据三角形不等式，所以当P与M重合时PC + PD取得最小值为CD. P站应设在CD与AB的交点M处. 过D作CA的垂线交CA的延长线于E，则CE =2+3=5，EB = AB=12.在中，根据勾股定理，（km）答：C，D两厂到P站的距离之和的最小值是13km.例8. P为正方形ABCD内一点,PA=PB=10,并且P点到CD边距离也等于10. 求正方形ABCD的面积.解：设CD中点为M，则 所以 PM = 10. （图15）延长MP交AB于N，则AN = NB.设正方形边长为2x，则AN = BN = x，PN = 2x 10.在中，由勾股定理得 化简得 即 （图16）因为 解得x = 8. 所以正方形的边长为16，面积为256.例9. 正方形纸片ABCD中, E为BC中点, 折叠正方形, 使点A与点E重合, 压平后,得折痕MN, 如右图. 设梯形ADMN的面积为S1, 梯形BCMN的面积为S2. （图17）求的值.解：如图，设AB = 2，则BE = 1. AN = NE = x. 在中，由勾股定理列得方程，解得所以AN = NE = BN=作于P.由知PN = BE = 1. （图18）例10. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中 图中阴影是草地，其余部分是水面. 那么乘游艇由点C出发，行进速度为每小时 （图19）千米，到达对岸AD最少要用 小时. 答：0.4小时. 解：连接AC，有勾股定理容易求得AC=5千米.又因为 所以三角形ACD是直角三角形，要乘游艇由 （图20）点C出发，行进速度为每小时千米，到达对岸AD所用时间最少，游艇行进路线必须最短，即为点C到AD的距离，也就是直角三角形ACD中斜边AD上的高线CH，这个高线 CH千米.所以游艇行进最少时间为小时.（三）勾股定理的综合应用 在图形的变换中运用勾股定理，使得几何证题活泼而生动、简洁且优美.例11凸五边形ABCDE中，BAE +AED =270º，BCD =90º，AB=3，BC=12，CD=5，DE=4，AE=8则五边形ABCDE的面积等于 （图21）解：作YABPE，连接PD，则BP=8，PE=3 BAE+AED =270º，PED =270º180º=90º在直角PED中，根据勾股定理求得PD = 5连接BD，在直角BCD中，根据勾股定理求得BD=13由于BP+PD=8+5=13=BD，所以点P在BD上，此时AE/BD，ABDE是个梯形，其高等于点E到BD的距离，所以 SABCDE = SABDE +SBCD= = 25.2+30=55.2.例12. P为等边内一点，已知PA = 3，PB = 4，PC = 5，求的度数，简述你的理由.证明：将绕点B顺时针旋转，到的位置.则 QC = 3. （图22）连接PQ. 则是正三角形，PQ = 4.在中，QC = 3，PQ = 4，PC = 5，所以 因此例13. 如图23，A为OQ上一点，B为OP上一点，且OA =5，OB =12，在OB上取 点A1，在AQ上取点A2.设l = AA1 + A1A2 + A2B. 求l的最小值. （图23） 分析：要求l = AA1 + A1A2 + A2B的最小值，设法将AA1 ，A1A2 ，A2B变位后与一条固定的线段相比较，利用“两点之间直线段最短”的原理来求解.再由 角为的，可以设想沿OP，OQ分别使 向角的外侧对折，造成一个的特殊角，为问题 的解答创设条件. 解：以OP所在直线为对称轴，作的轴对称图形以OQ所在直线为对称轴，作（图24） 的轴对称图形这时，A点关于OP的对称点为OQ0上的A0点，B点关于OQ的对称点为OP0上的B0点. OA0=5，OB0=12， 由对称性知 所以 l = AA1 + A1A2 + A2B = A0A1 + A1A2 + A2B0 因此 l 的最小值为的长.问题归结为：“在中，OA0=5，OB0=12，求.” 依据勾股定理得 ，因此.所以，l 的最小值为的长为13.例14. 如图，直角三角形CEF内接于正方形ABCD，E为AD边中点，且EF与EC垂直如果AB1，那么CF的长度是 （第二届两岸四地少年精英数学邀请赛笔试1试题）（图25）解：设，则，于是由勾股定理，可得：，利用CEF为直角三角形，可由勾股定理列出方程：解得，因此，于是CF=例15. 如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且APQ=90°，AQ与BP相交于点T，則的值为多少？ 答案：6：5解：令AB=1，则DP=CP=.设CQ=x，BQ=1-x （图26）由于三角形ADP、CQP、ABQ、APQ都是直角三角形，则 在中，由得 解得x =.所以，三角形ADP的面积为；三角形CQP的面积为； 三角形ABQ的面积为；三角形APQ的面积为； 根据三角形面积公式，則的值为6：5. （图27） 例16如图所示，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在DABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大. 解：弯月型AEC的面积 + 弯月型BFC的面积 半圆AEC的面积 + 半圆BFC的面积 + DABC的面积 - 半圆ABC的面积+ DABC的面积 -= + DABC的面积在中，由勾股定理得即所以，弯月型AEC的面积 + 弯月型BFC的面积 = DABC的面积.因为DABC的底AB固定，所以当高CD最大时，DABC的面积最大.因此，当C点在通过圆心，且与直径AB垂直的直线与半圆AB的交点处时，两弯月型的面积最大（图28）例17.自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F。 以BD，CD，CE，AE，AF，BF为直径分别向形外作半圆。如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6。 证明：本题考查勾股定理，圆面积等基础知识以及代数基本运算，恒等证明的能力。 证明：连接AP，BP，CP。则（图29） 所以，=两边同乘得： + ， 也就是 例18. 设M为ABC内任一点，又BD=BE，CE=CF（如图）.求证：AD=AF. 证明：连接AM，BM，CM，如图依次对各直角三角形，用勾股定理，得： （图30） 同理 所以 这道题构思巧妙，曾作为1979年中国科技大学考少年班的复试题，当时却没有一个学生能完整地解出.例19. 在长方形ABCD中，E为AB上一点. 已知AB=14，CE=13，DE=15.于F. 连接AF，BF. 则ABF的面积等于 . 答：36.96.（图31）解：先求BE. 设 则 在直角ADE与直角BCE中应用勾股定理，得 即得方程 化简得28x =140, 所以 x =5. 因此AE = 9. 再应用勾股定理，求得 进而求得矩形ABCD的面积=12×14=168，所以 设由，得方程： ，化简得30x =252, 所以 即. 因此，. 又由于， 所以 . 答：ABF的面积等于36.96. 例20. 锐角ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6.AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的高，D，E，F为垂足.求 解：设BD=x，CE=y，AF=z. 则 根据勾股定理列得关系式： （图32） 解得：；因此 ； ； 所以 注: 在ABC中，于H. 则在解题中是非常重要的数量关系.例21. （射影定理）直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高. （1）； （2）；（图33） （3）. 证明: (1)由勾股定理, 相加得 所以 . (2) (3) 这样,可以将勾股定理,平方乘法公式,有机地结合起来,利用勾股定理简单地证明了射影定理, 这对几何学习很有益处.初一平面几何基础讲座之七勾股定理漫谈（提纲）首都师范大学数学科学学院 周春荔 2001年3月10日由中央电视台播出的“第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛”初赛第一道试题是：“2002年将在北京召开国际数学家大会.如图1所示，这是大会的会标图案.它由四个相同的直角三角形拼成.已知直角边的长为2和3，求大正方形的面积.” 显见，大正方形面积等于四个直角三角形与中间小 （图1）正方形面积之和.每个直角三角形面积是3，四个直角三角形面积是12，中间小正方形的边长为3 2 = 1，面积是1.所以大正方形的面积是3 × 4 + 1 = 13.这道试题向广大青少年传播了2002年将在北京召开国际数学家大会的信息，并利用这道赛题向大家介绍了大会会标的图案. 其中还蕴涵着勾股定理及其具有中华特色的“弦图”证明.（一）勾股定理及其逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的度量关系.其内容是：如图2，中，则有 勾股定理的证明记载于欧几里得（公元前三世纪）的 （图2）几何原本第一卷命题47：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和.” 国外称勾股定理为毕达哥拉斯定理.它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理是欧氏几何的“拱心石”.勾股定理及其证明的内涵十分丰富.要深入研究、反复体会，对学习会大有益处. 几何原本中对勾股定理的证明，采用的是面积割补与等积变形.如图3，连接BJ，FC.过C作于D，交AB于K.则CD/AF/BE，易证. 又 ， 所以 .同法可证 故 .大家知道，中华民族是擅长数学的民族， （图3）我国也是最早发现勾股定理的国家之一我国古代三国时期的数学家赵爽，就是利用“弦图”来证明勾股定理的.图4就是中国古算书中的“弦图”.“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股 之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实.”其意思是： （图2） 设直角三角形的勾为a，股为b，弦为c，ab为两个红色直角三角形的面积，2ab为四个红色直角三角形的面积.中黄实的面积为，大正方形的面积为c2. （图4）所以 c2 = 2ab + = 2ab + a2 -2ab + b2 = a2 + b2.从而巧妙地证明了勾股定理.勾股定理的证法很多,其中文艺复兴时期的达·芬奇的证法也是很有特色的. 如图,在直角三角形ABC的三边上分别向 外作正方形ABDE，AGFC，BCMN. 求证： 证明：连接FM, 作直角三角形DEP与 角三角形形ABC全等.（AC=DP，BC=EP ) 连接 NG, PC. 则 NG是六边形AGFMNB的对称轴, （图5） 所以 又六边形ACBDPE是中心对称图形, 所以 因为以A为旋转中心, 将四边形AGNB顺时针旋转与四边形ACPE重合所以 四边形AGNB的面积 = 四边形ACPE的面积. 因此 六边形AGFMNB的面积 = 六边形ACBDPE的面积. 即 注意到 , 从上式两端消去两对面积相等的直角三角形 得到 因此得证 勾股定理的逆定理也是成立的，非常有用.定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角.已知： 中，.求证：.证明：如图6，作一个直角三角形， （图6）使，根据勾股定理，就有 .与已知等式比较可知，有.所以因此有 （二）勾股定理的初步应用 例1. 智能机器猫从平面上的O点出发. 按下列规律行走：由O向东走12cm到A1，由A1向北走24cm到A2，由A2向西走36cm到A3，由A3向南走48cm到A4，由A4向东 （图9）走60cm到A5，问：智能机器猫到达的A6点与O点的距离是多少厘米？ （第九届华杯赛团体决赛口试题9） 例2. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科.请小朋友求解九章算术中的一个古代问题： “今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？” 白话译文：如图8，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺. 葛藤生于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点. 则葛藤的长度是 尺. 例3： 如果梯形的两条对角线互相垂直.求证：对角线的平方和等于两底和的平方. 例4. 在中，O为三角形内一点，若的面积相等，求证： 例5P为矩形ABCD内一点，已知 PA=5，PB=10，PC=14. 求PD=？例6. 长方形的纸片ABCD，AD = 4，AB = 3，将它折叠压平，使C点与A点重合.求折痕的长度. 例7. 一段笔直的铁路线两侧有C，D两厂，C厂到铁路线距离CA=2km，D厂到铁路线距离DB=3km.又AB=12km.现要在铁路上设一站台P，使得C，D两厂到P站的距离之和为最小.问C，D两厂到P站的距离之和的最小值是多少？例8. P为正方形ABCD内一点,PA=PB=10,并且P点到CD边距离也等于10. 求正方形ABCD的面积.例9. 正方形纸片ABCD中, E为BC中点, 折叠正方形, 使点A与点E重合, 压平后,得折痕MN, 如右图. 设梯形ADMN的面积为S1, 梯形BCMN的面积为S2. 求的值.例10. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中 图中阴影是草地，其余部分是水面. 那么乘游艇由点C出发，行进速度为每小时千米，到达对岸AD最少要用 小时. （三）勾股定理的综合应用 在图形的变换中运用勾股定理，使得几何证题活泼而生动、简洁且优美.例11凸五边形ABCDE中，BAE +AED =270º，BCD =90º，AB=3，BC=12，CD=5，DE=4，AE=8则五边形ABCDE的面积等于 例12. P为等边内一点，已知PA = 3，PB = 4，PC = 5，求的度数，简述你的理由.例13. 如图，A为OQ上一点，B为OP上一点，且OA =5，OB =12，在OB上取 点A1，在AQ上取点A2.设l = AA1 + A1A2 + A2B. 求l的最小值. 例14. 如图，直角三角形CEF内接于正方形ABCD，E为AD边中点，且EF与EC垂直如果AB1，那么CF的长度是 （第二届两岸四地少年精英数学邀请赛笔试1试题）例15. 如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且APQ=90°，AQ与BP相交于点T，則的值为多少？ 例16如图所示，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在DABC外作半圆AEC和BFC.当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大. 例17.自ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F。以BD，CD，CE，AE，AF，BF为直径分别向形外作半圆。如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6。 证明：例18. 设M为ABC内任一点，又BD=BE，CE=CF（如图）.求证：AD=AF. 例19. 在长方形ABCD中，E为AB上一点. 已知AB=14，CE=13，DE=15.于F. 连接AF，BF. 则ABF的面积等于 . （图31） 例20. 锐角ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6.AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的高，D，E，F为垂足.求 例21. （射影定理）直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高. （1）； （2）； （3）.