大学物理学振动与波动习题答案 .doc

大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章 振动P17441 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间解答（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(t + )，其中A = 0.12m，角频率 = 2/T = 当t = 0时，x = 0.06m，所以cos = 0.5，因此 = ±/3物体的速度为v = dx/dt = -Asin(t + )当t = 0时，v = -Asin，由于v > 0，所以sin < 0，因此 = -/3 简谐振动的表达式为x = 0.12cos(t /3)（2）当t = T/4时物体的位置为x = 0.12cos(/2 /3) = 0.12cos/6 = 0.104(m)速度为v = -Asin(/2 /3) = -0.12sin/6 = -0.188(m·s-1)加速度为a = dv/dt = -2Acos(t + )= -2Acos(t - /3)= -0.122cos/6 = -1.03(m·s-2)（3）方法一：求时间差当x = -0.06m时，可得cos(t1 - /3) = -0.5，因此t1 - /3 = ±2/3由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(t1 - /3) > 0，因此t1 - /3 = 2/3，得t1 = 1s当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(t2 - /3) = 0，可得 t2 - /3 = -/2或3/2等由于t2 > 0，所以t2 - /3 = 3/2，可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)所需要的时间为t = t2 - t1 = 0.83(s)方法二：反向运动物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(t - /3) = 0，可得 t - /3 = /2，解得 t = 5/6 = 0.83(s)注意根据振动方程x = Acos(t + )，当t = 0时，可得 = ±arccos(x0/A)，（- < ），初位相的取值由速度决定由于v = dx/dt = -Asin(t + )，当t = 0时，v = -Asin，当v > 0时，sin < 0，因此 = -arccos(x0/A)；当v < 0时，sin > 0，因此 = arccos(x0/A)可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值如果速度等于零，当初位置x0 = A时， = 0；当初位置x0 = -A时， = 42 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；OtxabcdeA/2A图6.2（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图解答方法一：由位相求时间（1）设曲线方程为x = Acos，其中A表示振幅， = t + 表示相位由于xa = A，所以cosa = 1，因此 a = 0由于xb = A/2，所以cosb = 0.5，因此 b = ±/3；由于位相随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此b = /3由于xc = 0，所以cosc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此c = /2同理可得其他两点位相为d = 2/3，e = c点和a点的相位之差为/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为/3，时间之差应该为T/6因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta = T/6到达b点的时刻为tb = 2ta = T/3到达c点的时刻为tc = ta + T/4 = 5T/12到达d点的时刻为td = tc + T/12 = T/2到达e点的时刻为te = ta + T/2 = 2T/3（2）设振动表达式为x = Acos(t + )，当t = 0时，x = A/2时，所以cos = 0.5，因此 = ±/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以 = -/3，因此振动表达式为OxaAbcde另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程（3）如图旋转矢量图所示OtxabcdeA/2Af方法二：由时间求位相将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf = 0，根据运动方程，可得所以显然f点的速度大于零，所以取负值，解得tf = -T/12从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为ta = T/4 + tf = T/6，其位相为由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相kMmv图4.343如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动设弹簧的倔强系数k = 8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程解答（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv = (m + M)v0解得子弹射入后的速度为v0 = mv/(m + M) = 2(m·s-1)，这也是它们振动的初速度子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m + M) v02/2 = kA2/2，所以振幅为= 5×10-2(m)（2）振动的圆频率为= 40(rad·s-1)取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为x = Acos(t + )当t = 0时，x = 0，可得 = ±/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x = 5×10-2cos(40t - /2)(m)kMmhxx1x2O图4.444 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程解答物体落下后、碰撞前的速度为，物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为，这也是它们振动的初速度设振动方程为x = Acos(t + )，其中圆频率为物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则x1 = Mg/k物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x2，则x2 = (M + m)g/k取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x0 = x1 - x2 = -mg/k因此振幅为；初位相为45重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率k1k2kk(a)(b)图4.5解答（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有频率为 （2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为46 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期CRmgO解答方法一：用转动定理通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为Ic = mR2根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为I = Ic + mR2 = 2mR2当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M = -mgRsin，方向与角度增加的方向相反根据转动定理得I = M，即 ，由于环做小幅度摆动，所以sin，可得微分方程摆动的圆频率为，周期为方法二：用机械能守恒定律取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度时，重力势能为Ep = mg(R - Rcos)，绕O点的转动动能为，总机械能为环在转动时机械能守恒，即E为常量，将上式对时间求导，利用 = d/dt， = d/dt，得0 = I + mgR(sin) ，由于 0，当很小有sin，可得振动的微分方程，从而可求角频率和周期 注意角速度和圆频率使用同一字母，不要将两者混淆图4.74.7 横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度这时振动中水银的动能为，水银的势能（看作两水银面相平的状态下，从右臂移高度为y的一段水银柱到左臂，则有质量为Sry的水银升高了高度y）为Srgy2因振动中机械能守恒 常量对t求导数可得 化简 这就是简谐振动的微分方程 由此可得振动角频率 48 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置解答（1）比较简谐振动的标准方程x = Acos(t + )，可知：圆频率为 =8，周期T = 2/ = 1/4 = 0.25(s)，振幅为A = 0.1(m)，位相为 = 2/3（2）速度的最大值为vm = A = 0.8 = 2.51(m·s-1)；加速度的最大值为am = 2A = 6.42 = 63.2(m·s-2)（3）弹簧的倔强系数为k = m2，最大回复力为f = kA = m2A = 0.632(N)；振动能量为E = kA2/2 = m2A2/2 = 3.16×10-2(J)，平均动能和平均势能为Oxt=1,2,10sA= kA2/4 = m2A2/4 = 1.58×10-2(J)（4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的49 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg，振动频率v = 1.0×1014Hz，振幅A = 1.0×10-11m试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量解答（1）氢原子的圆频率为 = 2v = 6.28×1014(rad·s-1)，最大速度为vm = A = 6.28×103(m·s-1)（2）氢原子的能量为= 3.32×10-20(J)410 质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？（3）经过平衡位置时的速度解答物体的总能量为E = Ek + Ep = 0.8(J)（1）根据能量公式E = kA2/2，得振幅为= 0.253(m)（2）当动能等于势能时，即Ek = Ep，由于E = Ek + Ep，可得E = 2Ep，即 ，解得= ±0.179(m)（3）再根据能量公式E = mvm2/2，得物体经过平衡位置的速度为= ±2.53(m·s-1)4.11 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反求它们的位相差，并作旋转矢量图表示解答设它们的振动方程为x = Acos(t + )，当x = A/2时，可得位相为t + = ±/3由于它们在相遇时反相，可取1 = (t + )1 = -/3，2 = (t + )2 = /3，它们的相差为 = 2 1 = 2/3，OxA或者 = 2 = 4/3矢量图如图所示t/sx/cm501234-5x1x2图4.12412 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t曲线如图所示，求：（1）两个简谐振动的位相差；（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程解答（1）两个简谐振动的振幅为A = 5(cm)，周期为T = 4(s)，圆频率为 =2/T = /2，它们的振动方程分别为x1 = Acost = 5cost/2，x2 = Asint = 5sint/2 = 5cos(/2 - t/2)即 x2 = 5cos(t/2 - /2)位相差为 = 2 - 1 = -/2（2）由于x = x1 + x2 = 5cost/2 + 5sint/2 = 5(cost/2·cos/4 + 5sint/2·sin/4)/sin/4合振动方程为(cm)413已知两个同方向简谐振动如下：，（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向简谐振动x3 = 0.07cos(10t +)，问为何值时，x1 + x3的振幅为最大？为何值时，x2 + x3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果x以米计，t以秒计解答（1）根据公式，合振动的振幅为= 8.92×10-2(m)初位相为= 68.22°（2）要使x1 + x3的振幅最大，则cos( 1) = 1，因此 1 = 0，所以 = 1 = 0.6要使x2 + x3的振幅最小，则 cos( 2) = -1，因此 2 = ，所以 = + 2 = 1.2（3）如图所示OxAA2A1x1x2x21OxA2A3x3x22OxA3A1x11x34414 三个同方向、同频率的简谐振动为，求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到所需最短时间（A为合振动振幅）解答 合振动的圆频率与各分振动的圆频率相同 = 314 = 100(rad·s-1)各分振动的振幅为A1 = A2 = A3 =0.08m，初相为1 =/6、2 =/2、3 =5/6根据振动合成公式可得Ax = A1cos1 + A2cos2 + A3cos3 = 0，Ay = A1sin1 + A2sin2 + A3sin3 = 2A1 = 0.16(m)，合振幅为 = 0.16(m)，初位相为 = arctan(Ay/Ax) = /2合振动的方程为x = 0.16cos(100t + /2)（2）当时，可得，解得100t + /2 = /4或7/4由于t > 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125s415 将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率解答标准音叉的频率为02121v0 = 384(Hz)，拍频为v = 3.0(Hz)如果待测音叉的固有频率v2比标准音叉的频率大，则得v = v2 - v0，可能的频率是v2 = v0 + v = 387(Hz)如果待测音叉的固有频率v1比标准标准音叉的频率小，则得v = v0 v1，可能的频率是v1 = v0 - v = 381(Hz) 在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于2 = k/m，可知其频率将减小如果待测音叉的固有频率为v1，加一小块物体后，其频率v1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v2，即387Hz416 示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用电子在两个方向上的位移分别为x = Acost和y = Acos(t +)求在 = 0， = 30º，及 = 90º这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程解答根据公式，其中 = 2 1 = -/2，而1 = 0，2 = （1）当 = = 0时，可得，Oxy质点运动的轨道方程为y = x，轨迹是一条直线（2）当 = = 30º时，可得质点的轨道方程Oxy，即 ，轨迹是倾斜的椭圆（3）当 = = 90º时，可得xyO，即 x2 + y2 = A2，质点运动的轨迹为圆417 质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：，式中x和y以米(m)计，t以秒(s)计（1）求运动的轨道方程；（2）画出合成振动的轨迹；（3）求质点在任一位置所受的力解答（1）根据公式，其中位相差为 = 2 1 = -/2，Oxa=0.08yb=0.06FxFyF所以质点运动的轨道方程为（2）合振动的轨迹是椭圆（3）两个振动的圆频率是相同的 = /3，质点在x方向所受的力为，即 Fx = 0.035cos(t/3 + /6)(N)在y方向所受的力为，即 Fy = 0.026cos(t/3 - /3)(N)用矢量表示就是，其大小为，与x轴的夹角为 = arctan(Fy/Fx)418 楼内空调用的鼓风机如果安装在楼板上，它工作时就会使整个楼产生讨厌的震动。为了减小这种震动，就把鼓风机安装在有4个弹簧支撑的底座上。鼓风机和底座的总质量为576kg，鼓风机的轴的转速为1800r/min（转每分）。经验指出，驱动频率为振动系统固有频率5倍时，可减震90%以上。偌按5倍计算，所用的每个弹簧的倔强系数应多大？解答 驱动频率由于4个弹簧并联，其等效劲度系数为每个弹簧的劲度系数的4倍，即k=4k1,由可得第5章 波动P21051 据报道,1976年唐山大地震时,当地某居民曾被猛地向上抛起高,设地震横波为简谐波,且频率为,波速为,它的波长多大?振幅多大? 解答 人离地的速度 及地壳上下振动的最大速度，为地震波的振幅为地震波的波长52 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10t 0.6x) (m)（1）求波长、频率、波速及传播方向；（2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示解答（1）与标准波动方程比较：，得 2/ = 0.6，因此波长为 = 10.47(m)；圆频率为 = 10，频率为xyAOut=0t=4.2s0.51v =/2 = 5(Hz)；波速为u = /T = v = 52.36(m·s-1)传播方向沿着x轴正方向（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程y = 5×10-2sin10t = 5×10-2cos(10t /2)，振动曲线如图53 已知波的波动方程为y = Acos(4t 2x)（SI）（1）写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t = 4.2s时的波形曲线解答波的波动方程可化为y = Acos2(2t x)，与标准方程比较，可知：周期为T = 0.5s，波长 = 1m波速为u = /T = 2m·s-1（1）当t = 4.2s时的波形方程为y = Acos(2x 16.8)= Acos(2x 0.8)令y = A，则cos(2x 0.8) = 1，因此 2x 0.8 = 2k，(k = 0, ±1, ±2,)，各波峰的位置为x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,)当k = 0时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4(m)通过原点时经过的时间为t = x/u = (0 x)/u = -0.2(s)，即：该波峰0.2s之前通过了原点（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示经过t = 4s时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经t = 0.2s，波形向右移动x = ut = 0.4m，因此t = 4.2s时的波形曲线如虚线所示注意各波峰的位置也可以由cos(2x 16.8) = 1解得，结果为x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,)，取同一整数k值，波峰的位置不同当k = -8时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m54 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4tx5mABCD8m9m图7.10（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；（2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程；（3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程解答（1）以A点为坐标原点，波动方程为（2）以B点为坐标原点，波动方程为（3）以A点为坐标原点，则xB = -5m、xC = -13m、xD = 9m，各点的振动方程为，注意以B点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程x/my/m0.2Ot1=00.45t2=0.25P图5.555 一列简谐波沿x轴正向传播，在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示试求：（1）P点的振动表达式；（2）波动方程；（3）画出O点的振动曲线解答（1）设P点的振动方程为yP = Acos(t + )，其中A = 0.2m在t = 0.25s内，波向右传播了x = 0.45/3 = 0.15(m)，所以波速为u = x/t = 0.6(m·s-1)波长为 = 4x = 0.6(m)，周期为T = /u = 1(s)，圆频率为 = 2/T = 2当t = 0时，yP = 0，因此cos = 0；由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以 = -/2P点的振动表达式为yP = 0.2cos(2t - /2)（2）P点的位置是xP = 0.3m，所以波动方程为（3）在x = 0处的振动方程为y0 = 0.2cos(2t + /2)，曲线如图所示56 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅的圆频率分别为A和，波速为U，设t0时的波形曲线如图18所示。写出此波的波动方程。(y=Acon(t x/u)+x/2)求距0点分别为/8，和3/8两处质点的振动方程。求距0点分别为/8，和3/8两处质点在t0时的振动速度。解：(1) 以O点为坐标原点由图可知，该点振动初始条件为 ， 所以 波的表达式为 (2) 处振动方程为 的振动方程为 (3) t = 0，处质点振动速度 t = 0，处质点振动速度 57 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅A=10cm，波的圆频率=7rad·s-1，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向Y轴负方向运动，而x=20cm处的B质点正通过Y=5.0cm点向Y轴正方向运动。设该波的波长10cm，求该平面波的表达式。解：设平面简谐波的波长为l，坐标原点处质点振动初相为f，则该列平面简谐波的表达式可写成 (SI) t = 1 s时 因此时a质点向y轴负方向运动，故 而此时，b质点正通过y = 0.05 m处向y轴正方向运动，应有 且 由、两式联立得 l = 0.24 m 该平面简谐波的表达式为 (SI) 或 (SI) 58 一简谐波沿x轴正向传播，波长 = 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示（1）写出时x = 0处质点的振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出t = 1s时刻的波形曲线t/sy/m1O-10.5图7.8解答波速为u = /T = 1(m·s-1)（1）设x = 0处的质点的振动方程为y = Acos(t + )，其中A = 1m， = 2/T = /2当t = 0时，y = 0.5，因此cos = 0.5， = ±/3在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此 = /3振动方程为y = cos(t/2 + /3)（2）波的表达式为（3）t = 1s时刻的波形方程为，波形曲线如图所示59一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s-1，振幅A = 1.0×10-4m，频率= 103Hz若该媒质的密度为800kg·m-3，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量解答（1）质点的圆频率为 = 2v = 6.283×103(rad·s-1)，波的平均能量密度为= 158(J·m-3)，平均能流密度为= 1.58×105(W·m-2)（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量为E = ItS = 3.79×103(J)5.10 在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达式为 ，管中波的平均能量密度是w，则通过截面积S的平均能流是多少？解答通过截面积S的平均能流I=wuS由波的表达式得: 所求为511一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s-1，频率为500Hz到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度 = 1.29kg·m-3解答质点的圆频率为 = 2v = 3.142×103(rad·s-1)，声波的平均能量密度为= 6.37×10-6(J·m-3)，平均能流密度为= 2.16×10-3(W·m-2)，标准声强为I0 = 1×10-12(W·m-2)，此声强的分贝数为= 93.4(dB)512 S1与S2为两相干波源，相距1/4个波长，S1比S2的位相超前/2问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的振幅如何？在S2外侧各点的振幅如何？xS1xS2/4x解答如图所示，设S1在其左侧产生的波的波动方程为，那么S2在S1左侧产生的波的波动方程为，由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为|A2 A1|S1在S2右侧产生的波的波动方程为，那么S2在其右侧产生的波的波动方程为，由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振幅为A2 + A15.13. 如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为l 的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知 ，两列波在P点发生相消干涉若S1的振动方程为 ，求S2的振动方程。 解答因为两列波在P点发生相消干涉5.14 .如图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面波由P点反射， = 3l /4， = l 6在t = 0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动求D点处入射波与反射波的合振动方程（设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为n） 解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为 则反射波的表达式是 合成波表达式（驻波）为 在t = 0时，x = 0处的质点y0 = 0， ， 故得 因此，D点处的合成振动方程是 515 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为：，用厘米、克、秒（cm,g,s）制单位，求：（1）各波的频率，波长、波速；（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？解答（1）两波可表示为，可知它们的周期都为T = 0.5(s)，频率为v = 1/T = 2(Hz)；波长为 = 200(cm)；波速为u = /T = 400(cm·s-1)（2）位相差 = x/50，当 = (2k + 1)时，可得节点的位置x = 50(2k + 1)(cm)，(k = 0，1，2，)（3）当 = 2k时，可得波腹的位置x = 100k(cm)，(k = 0，1，2，)5.16 在固定端x = 0处反射的反射波表达式是. 设反射波无能量损失，求入射波的表达式y1 以及形成的驻波的表达式y 。解答 在固定端x = 0处反射，反射点是波节，入射波、反射波在该点的位相差为，反射波沿x轴正向传播，则入射波沿x轴负向传播其表达式为 y1=，形成的驻波的表达式为y=y1+y2=5.17 A、B 为两个汽笛，其频率皆为500Hz，A 静止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一观察者O，以30m/s 的速度也向