圆的有关性质教案 .doc

圆的有关性质适用学科数学适用年级九年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点圆的对称性、垂径定理、圆周角定理、等对等定理教学目标理解圆的轴对称性，会运用垂径定理、等对等定理、圆周角定理解决有关的证明、计算和作图问题教学重点理解并掌握垂径定理及其推论、等对等定理、圆周角定理，应用解题的能力教学难点感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，发展逻辑思维能力和识图能力.教学过程一、 课堂导入圆是日常生活中最为常见和最为常用的图形，近几年的中考考试频率较高，其中圆的相关性质考察较多，所以掌握它的基本解题思路和方法尤为重要。今天这堂课重在熟悉不同类型问题，灵活添加辅助线，提高思维应变能力 二、复习预习圆的定义:圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆圆的旋转不定性：圆既是一个轴对称图形又是一个_对称图形，圆还具有旋转不变性圆的相关概念：圆心、半径、直径、弦、弧（优弧和劣弧）二、知识讲解知识点一：垂径定理（构造直角三角形，应用勾股定理）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧知识点2、等对等定理（等量关系的转化）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等知识点3、圆周角定理（角的转化）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半三、例题精析【例题1】【题干】如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P若CD8，OP3，则O的半径为（）A10B8C5D3【解析】：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长【答案】：连接OC，CDAB，CD8，PCCD×84，在RtOCP中，PC4，OP3，OC5故选C【例题2】【题干】如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D2【解析】：O的半径OD弦AB于点C，AB=8，AC=AB=4，设O的半径为r，则OC=r2，在RtAOC中，AC=4，OC=r2，OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r2）2，解得r=5，AE=2r=10，连接BE，AE是O的直径，ABE=90°，在RtABE中，AE=10，AB=8，BE=6，在RtBCE中，BE=6，BC=4，CE=2【答案】：D【例题3】【题干】如图，点A，B，C，在O上，ABO32°，ACO38°，则BOC等于（）A60° B70° C120° D140°【解析】过A、O作O的直径AD，分别在等腰OAB、等腰OAC中，根据三角形外角的性质求出22【答案】：过A作O的直径，交O于D；OAB中，OAOB，则BODOBAOAB2×32°64°，同理可得：CODOCAOAC2×38°76°，故BOCBODCOD140°【例题4】【题干】如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径【解析】(1)要证明CBPD，可以求得1=P，根据=可以确定C=P，又知1=C，即可得1=P（2） 根据题意可知P=CAB，则sinCAB=，即=，所以可以求得圆的直径【答案】（1）证明：C=P又1=C1=PCBPD；（2）解：连接ACAB为O的直径，ACB=90°又CDAB，=，P=CAB，sinCAB=，即=，又知，BC=3，AB=5，直径为5四、课堂运用【基础】1、如图，ABCD的顶点A、B、D在O上，顶点C在O的直径BE上，ADC=54°，连接AE，则AEB的度数为（）A36°B46°C27°D63°【解析】：根据BE是直径可得BAE=90°，然后在ABCD中ADC=54°，可得B=54°，继而可求得AEB的度数【答案】：四边形ABCD是平行四边形，ADC=54°，B=ADC=54°，BE为O的直径，BAE=90°，AEB=90°B=90°54°=36°故选A2、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A3cm B4cm C5cm D6cm【解析】：过点O作ODAB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，利用勾股定理即可求r的值【答案】：如图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r2）2+42，解得r=5cm故选C【巩固】1、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分BAC，则AD的长为（）AcmBcmCcmD4cm【解析】：连接OD，OC，作DEAB于E，OFAC于F，运用圆周角定理，可证得DOB=OAC，即证AOFOED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长【答案】：连接OD，OC，作DEAB于E，OFAC于F，CAD=BAD（角平分线的性质），弧CD=弧BD，DOB=OAC=2BAD，AOFOED，OE=AF=AC=3cm，在RtDOE中，DE=4cm，在RtADE中，AD=4cm故选A【拔高】如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 CABCGHEF【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，因为ACB=30°，所以AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，所以EF=3.5，因为GE+FH=GHEF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值.【答案】当GH为O的直径时，GE+FH有最大值当GH为直径时，E点与O点重合，AC也是直径，AC=14ABC是直径上的圆周角，ABC=90°，C=30°，AB=AC=7点E、F分别为AC、BC的中点，EF=AB=3.5，GE+FH=GHEF=143.5=10.5故答案为10.5 课程小结垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线等对等定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等知识点3、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半