江苏南京秦淮中学等五校联合体2024年高一下学期期末考试数学试卷含答案.pdf

1 20232024 学年第二学期期末试卷学年第二学期期末试卷 高高一数学一数学注意事项：注意事项：1本试卷包括单项选择题（第 1 题第 8 题）、多项选择题（第 9 题第 11 题）、填空题（第12 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 19 题）四部分。本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。2答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1已知复数 z3i(i 为虚数单位)，则复数zz2i的虚部是A45 B 45i C 35 D35i 2已知 m，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，n，且 m，n，则 D若，m，mn，则 n 3已知数据 x1，x2，x3，xn的平均数为 10，方差为 5，数据 3x11，3x21，3x31，3xn1 的平均数为x，方差为 s2，则 Ax=10，s2=14 Bx=9，s2=44 Cx=29，s2=45 Dx=29，s2=44 4向量a 与b 不共线，AB a kb，AC ma b(k，mR)，若AB与AC共线，则k，m 应满足 Akm0 Bk-m0 Ckm10 Dkm10 5同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件 A“第一枚向上点数为奇数”，事件 B“第二枚向上点数为偶数”，事件 C“两枚骰子向上点数之和为 8”，事件 D“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则A A 与 C 互斥 B A 与 C 相互独立 C B 与 D 互斥 D B 与 D 相互独立#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#江苏南京秦淮中学等五校联合体2024年高一下学期期末考试数学试卷含答案2 6 在ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c若 2bcos C2ac，A4，b3，则实数 a 的值为 A 6 B 3 C 6 D 3 7 如图，四棱锥 PABCD 中，PA面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PA4，PC 与平面 ABCD 所成角的大小为，且 tan2 23，则四棱锥 PABCD 的外接球表面积为 A 26 B 28 C 34 D 14 8已知 sin245，(0，4)，若 cos(4)mcos(4)，则实数 m 的值 A3 B3 C2 D2 二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分分，部分选对的得部分分，有选错的得选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9设复数 z i3i2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A z 的共轭复数为3i Bzi=13i C z 在复平面内对应的点位于第二象限 D|z2|2 10已知ABC 内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是 A若 sin Asin B，则 AB B若 a cos B=b cos A，则ABC 为等腰三角形 C若 a2b2c2，则ABC 为锐角三角形 D若 a1.5，b2，A30的三角形有两解 11如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，C1C，A1A 的中点，则 AM，N，B，A1四点共面 B若 a2，则异面直线 PD1与 MN 所成角的正弦值为1010 C平面 PMN 截正方体所得截面为等腰梯形 D若 a1，则三棱锥 PMD1B 的体积为124#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#3 三三、填空题填空题：本大题共本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分，不需写出解答过程，请把答案直接填分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上写在答题卡相应位置上 12一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的 6 个小球，其中 2 个白球，1 个红球和 3 个黄球，从中 1 次随机摸出 2 个球，则恰有一球是黄球的概率是 .13已知 A(3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则 tanACB .14在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，ABC=120，BD 是ABC 的中线，且1BD=，则 ac 的最大值为 四四、解答题解答题：本题共本题共 5 小题，共小题，共 77 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸证明过程或演算步棸 15(13 分)已知 sin 55，(，32)，sin(+)513，(2，)（1）求 tan2 的值；（2）求 sin 的值 16(15 分)某市高一年级数学期末考试，满分为 100 分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取 100 名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 40 和 100 之间，将数据按照40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分成 6 组，制成如图所示的频率直方图。（1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；（2）若成绩在90,100的为A等级，70，90）的为B等级，其他为C等级，在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数.以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率。（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取）#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#4 17(15 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，APBC，垂足为 PE 为 CD 中点，（1）若APAC=32，求 AP 的长；（2）设|AB|2，|AC|5，cosBAC1010，APxAEyAC，求 xy 的值 18(17分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，M在棱PD上且AM侧面PCD，POAD，垂足为 O.（1）求证：PO平面 ABCD；（2）若平面AMB与直线PC交于点Q，证明：MQ/AB；（3）侧面 PAD 为等边三角形时，求二面角 PBDA 的平面角的正切值 19(17 分)已知函数 f(x)3sin xm cos x（1）若函数 f(x)的图象关于直线x=6轴对称，求实数m的值（2）已知锐角ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=3且当m=1时满足 f(A)=abc（i）若BCA的角平分线交边AB于D，且CD=2 2，求ABC的周长；（ii）求ABBC+BCCA+CAAB的取值范围.#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#高一高一数学数学参考答案参考答案 一一、选择题选择题：14：CBCC 58：CCCB 二二、选择题选择题：9 ACD 10 ABD 11 AD 三三、填空题填空题：12 35 13 1 14 4 四四、解答题解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸证明过程或演算步棸 15(1)sin55，(，32)cos 1sin22 55 2 分 tansincos12 4 分 tan22tan1tan243 6 分(2)(，32)，(2，)(32，52)7 分 cos()1sin2()1213 9分 sinsin()sin()coscos()sin 11分(513)(2 55)1213(55)2 565 13分 16(1)由频率直方图知(0.0040.0220.0300.028m0.004)101 m0.012 2分 易知40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 100名同学的平均成绩估计值为：0.04450.22550.30650.28750.12850.049568.4 5分（2）由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为1000.044人 B等级的频率为(0.280.12)0.4，B等级的人数为1000.440人 C等级的频率为(0.040.220.30)0.56，C等级的人数为1000.5656人 抽取25人中B等级中的人数为25404405610人 9分 用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 11分 抽取三次都没有抽中B等级的概率(10.4)30.216 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率10.2160.784 15分#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#17(1)APBC AP是AC在AP方向上的投影向量 2分 APACAP2|AP|2 32 AP4 2 5分 法二：APBC APAC|AP|AC|cosPAC 2分=|AP|AP|=|AP|2 32 AP4 2 5分 (2)在ABC中，BC2AB2AC22ABACcosBAC 252 2 5(1010)9，BC3 cosBBC2AB2 AC2 2ABBC29523 222，B(0，)，所以B4，APAB sin B1，BPAB cos B1，PCBCPB2 7分 以P为坐标原点，PC，PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图 易知P(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(3，1)，因为E为CD中点，所以E(2.5，0.5)，AP(0，1)，AE(2.5，0.5)，AC(2，1)9分 APxAEyAC(0，1)x(2.5，0.5)y(2，1)11分 52x2y0 12xy1 13分 解得x43，y53 所以x y209 15分 法二：(2)在ABC中，BC2AB2AC22ABACcosBAC#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#252 2 5(1010)9，BC3 cosBBC2AB2 AC2 2ABBC29523 222，B(0，)，所以B4，APAB sin B1，BPAB cos B1，PCBCPB2 7分 所以AP23AB13AC 9分 又APxAEyACx(ACCE)yAC x(AC12AB)yACx2AB(xy)AC 11分 由平面向量基本定理得：x223，xy13 13分 解得x43，y53 所以x y209 15分 18(1)因为 AM侧面 PCD，DC面 PCD，所以 DCAM，1 分 又因为四边形 ABCD 为正方形，所以 DCAD，又 AMADA，所以 CD面 PAD 3 分 因为 PO侧面 PAD，所以 POCD，因为 POAD，且 ADCDD，所以 PO面 ABCD 5 分(2)因为底面ABCD为正方形，所以AB/CD 又因为AB平面PCD，CD平面PCD 所以AB/平面PCD 8分 又AB面ABQM，面ABQM平面PCDMQ 所以 MQ/AB 10分#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#(3)由题PAD 为等边，POAD，故 O 为 AD 中点，在线段 BD 上取点 N，使得 DN14BD，因为 ABCD 是正方形，所以 ON/AC，又 ACBD，所以 ONBD，12 分 又因为 PO底面ABCD，BD 底面 ABCD，所以 POBD，又 PO，ON 平面 PON，POONO，所以 BD平面 PON，又 PN平面 PON，所以 BDPN，所以PNO 即为二面角 PBDA 的平面角，14 分 设PNO，不妨设等边三角形 PAD 的边长为 2，则 PO 3，ON14AC22，所以在直角三角形 PON 中，tanPOON 6 17 分 19(1)因为 f(x)图象关于直线 x6轴对称，所以 f(0)f(3)1 分 所以 3sin 0mcos 0 3sin3mcos3 解得：m3 3分 经检验：此时f(x)3sinx3cosx2 3sin(x3)满足f(6x)f(6x)即m3时f(x)图象关于直线x6 轴对称 4分 法二：因为f(x)图象关于直线x6轴对称，所以f(6x)f(6x)对任意xR都成立，1分 即 3sin(6x)mcos(6x)3sin(6x)mcos(6x)化简得：3sinxmsinx对任意xR都成立，3分 所以m3 4分(2)由正弦定理得：3sinAcosAsinBsinAsinC，3sinAsinCcosAsinCsinBsinAsin(AC)sinAsinAcosCcosAsinCsinA#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#3sinAsinC sinAcosCsinA A(0，2)，sinA0 3sinCcosC1，3sinCcosC2sin(C6)1，即 sin(C6)12 而C(0，2)，C6(6，3)，C66，解得：C3 6分 因为CD是BCA的角平分线，所以DCADCB30 ABCADCBDCSSS 111sinsinsin222ACBDCabaCDbCBD ADC 322488abab 6abab 8分 2222coscababC 222223()363ababababa bab (2ab1)(ab1)0，ab1，ab 6 所以ABC的周长abc 3 6 10分（3）cos 3 cosAB BCacBaB 21cos cos32BC CAabCabab cos 3 cosCA ABbcAbA 13 cos3 cos2AB BCBC CACA ABaBabbA 2222222222131333222222acbbcaabbaaabbabacbc 62ab 12 分 由正弦定理得：32sinsinsin3abAB，2sinaA，2sinbB，134sinsin4sinsin4sinsincos22abABAACAAA22sin2 3sincos1 cos23sin22sin 216AAAAAA 14 分 022032ABA，62A，52666A，#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#1sin 2126A，22sin 2136A ，即2,3ab 69,422ab，即AB BCBC CACA AB的取值范围为9,42 17 分#QQABCQaAggAAAJIAAQhCEwWCCEOQkAACCYgGwEAIIAAAQBNABCA=#