2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试+加试试题含答案.pdf

水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢20242024 年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准一试一、填空题一、填空题1已知 m,a,b,c 为正整数,且 alogm2+blogm3+clogm5=2024,求 m+a+b+c 的最小值是.2已知 x0,y0,-log3y+3x=y-2x=1532x-1y,则y+x=3若 A、B 为锐角且 sinBsin A+B=sinA,则 tanA 的最大值为.4数列an满足:对任意 n2,an=2024an-1-n.如果该数列的每一项都是正数,则 a1的最 小值为5投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第 i 次投中得分为4-i分(i=1,2,3),若三次均未投中则得分为 0 分.假设甲同学的投篮的命中率为 p 0pb0的右焦点 F2重合,C 的准线经过 E 的左顶点.(1)求 E 的方程;(2)已知点 F1为 E 的左焦点,P 为 E 上的一点(异于左、右顶点),PF1F2外接圆的半径 为 R,内切圆的半径为 r,求 Rr 的取值范围.2已知方程 lnx+x 1-m=0,mR有两个不同的零点,分别记为 a,b,且 ab.(1)求实数 m 的取值范围;(2)若不等式 t+1lna+tlnb 恒成立,求正数 t 的取值范围.2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢加试加试1设有限集 A,B,CR,A,B,C 为有限集,对任意 xR,定义:NA,B,Cx=a,b,caA,bB,cC,a+b+c=x.证明以下结论:(1)存在 xR,使得 0NA,B,CxA B CA+B+C(2)xA+B+CNA,B,Cx2A2 B2 C2A+B+C其中:A表示集合 A 中的元素个数,A+B+C=a+b+caA,bB,cC.2如图,AB 为圆 O 的一条弦(AB0,y 0，【答案】11.3.若 A、B 为锐角且sinsin()sinBABA，则tan A的最大值为_.【答案】434.数列na满足:对任意2n，12024nnaan.如果该数列的每一项都是正数,则1a的最小值为_.【答案】240472023（40474092529）5.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为4i分（1,2,3i），若三次均未投中则得分为 0 分假设甲同学的投篮的命中率为01pp，若甲参加投篮甲投篮测试的得分的均值为测试的投篮次数的均值为 1.56，则【答案】2.376.6.设,x y均为非零实数，且满足sincos1212tan3cossin1212xyxy.在ABC中，若tanyCx，则sin33sin2AB的最大值为.【答案】327.已知虚数z满足2zzR，则2|23|zz的最大值为_.【答案】1033.28.n是正整数，31n没有 12 以上的质因子，则所有满足条件的n和是_.【答案】129.已知四面体PABC，点1A在PBC内，满足111,A BPACPA BC的面积之比为3:2:1，G在线段1AA上，直线PG交平面ABC于点M，且1AGPGGAGM，则四面体PABC与1A AMB的体积之比为_.【答案】1210.如图，在一个10 10的方格表中填入 0 和 1，使得任意一个3 3的方格表中都恰有一个1，则满足要求的填法数共有_种【答案】261二、解答题11.已知抛物线2:1827C yx的焦点与椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点2F重合，C的准线经过E的左顶点.（1）求E的方程；（2）已知点1F为E的左焦点，P为E上的一点（异于左、右顶点），12PFF外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，求R r的取值范围.【解析】（1）易知C的顶点坐标为3(,0)2，189242p，所以C的焦点坐标为39(,0)22，即(3,0)，C的准线方程为39622x ，所以6,3ac，22227bac，所以E的方程为22:13627xyE；-4 分3（2）设12FPF，11PFa，22PFa，由正弦定理可得1222sinsinFFcR，即=sin3sincR，则2222221212121212121222442cos222aacaaaacbaaaaaaaa，即2122cosc4151osbaa，-8 分1 212227sincos127sin22sin27tan2cos12cos2PF FSa a又1 21 21212121122922PF FIF FIF PIF PSSSSFFPFPFrac rr，-12 分所以27tan92r，即3tan2r，所以29tan2si9n2cos2R r，又因为当P在短轴的端点时，最大，此时，60，-16 分所以0,3，即0,26，所以cos,1232，故29,622cos29R r.-20 分12已知方程ln(1)0,()xxmmR有两个不同的零点，分别记为a，b，且ab（1）求实数m的取值范围；（2）若不等式1lnlntatb 恒成立，求正数t的取值范围【解析】（1）设 ln(1),()f xxxmmR的定义域为0,，1()1fxmx，当1m 时，因()0fx，故函数 f x在0,上单调递增，不存在两个零点，不合题意；当1m 时，设1()()1g xfxmx，21()0g xx，故 g x在0,上单调递减，即1()1fxmx 在0,上单调递减，由 0fx，得11xm，当101xm时，0fx；当11xm时，0fx；4所以当11xm时，f x取得最大值.即111ln(1)ln(1)1111fmmmmm,-4 分若函数()f x有两个不同的零点，则ln(1)10m即1ln(1)1lnme ，解得11me，又1m 当x趋近于0时，(1)m x趋近于 0，ln x趋近于负无穷，f x趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，f x趋近于负无穷.所以若函数()f x有两个不同的零点，则实数m的取值范围111me.-8 分（2）因为()ln(1)()f xxxm mR有两个不同的零点a，b，由题知0ab，且ln0ln0aaambbbm，相减得到：lnln1abmab 由1lnlntatb 恒成立，所以1()tamat mbb 恒成立，即1()(1)tatb m 恒成立，-12 分所以l1)n(nltatbabab 恒成立，即l11naaatbbtb 恒成立.设kba，则(0,1)k 时，不等式)1(ln1tkktk恒成立，因为0tk，10k 进而得(l01)(n1)kkttk在(0,1)k 时恒成立，设(1)(1(ln)hktktkk，(0,1)k，注意到(1)0h.则21()(1)()1)tkkhkttkk，即222222221(1)()()()()()(1)kkth kktkk tkttktk tkkk，-16 分又因为(0,1)k 且0t，则2(1)0()kk tk，所以当1t 时，20kt，即()0h k，故()h k在(0,1)k 单调递增，5而1k 时(l01)(n1)kkttk，所以()0h k 恒成立，故1t 满足题意.当01t 时，若2(,1)kt，由()0h k，则()h k在2(,1)kt单调递减，所以当2(,1)kt时()0h k，与题设不符.综上所述，正数t的取值范围1t.-20 分6加试加试13.设有限集,A B C R，,A B C为有限集，对任意xR，定义：,()(,)|,A B CNxa b caA bB cC abcx.证明以下结论：（1）存在xR，使得,|0()|A B CABCNxABC（2）2222,|()|A B Cx A B CABCNxABC 其中：|A表示集合A中的元素个数，|,ABCabc aA bB cC.【解析】（1）,(,),)()1|1|a b cA BA B Cx A B Cx A B CC a b ca b cA B CxNxABC 由平均值原理，存在xABC，使得,|0()|A B CABCNxABC20 分（2）由柯西不等式2,2()|()1|A B CA B Cx A B CXA B CNNCxxAB 30 分(,)22(,)1|11|1|a b cA B Ca b c xx A Ba b cA B CCABCABC 222|ABCABC40 分14.如图，AB为圆O的一条弦（3,ABR R为圆O的半径），C为优弧AB的中点，M为弦AB的中点.点,D E N分别在,BC CA和劣弧AB上，满足BDCE，且,AD BE CN三线共点于F.延长CN至G，使GNFN.求证：FMBGMB.7【解析一】如图，延长CM交圆O于T，以T为圆心，TA为半径作圆，与CN延长线交于GC为优弧AB中点，B在圆T上，且CA与CB是圆T的切线118022ABEDAFBACBCABATB F在圆T上10 分CT是圆O的直径，所以90TNFN为FG的中点，G与G重叠AFBG四点共圆20 分（实际上点出圆心 T 的目的是为了证明 AFBG 的共圆，证明共圆之后这个圆心就再也不会出现，只要能够证明 AFBG 共圆无论是否点出圆心都可以获得 20 分）CA与CB是圆T的切线,CAFCGA CBFCGBAF BGAG BF30 分由托勒密定理知，12AG BFAB FGBM FG，且FBMAGF BFMGFABMFFAG 同理BMGFAG BM平分FMG40 分证毕（最后导出等角后面的证明调和四边形，都是相对平凡的步骤了，各占 10 分）【解析二】解析二使用了调和点列的一些性质，答案中会备注使用调和点列的地方，请审卷老师注意评分8如图，连接,NB NA，CN交AB于QC是优弧AB的中点ANCBNC BDEC222BNECBNBDDNBFNNAF ABNFFN2NFNA NB10 分又NC平分ANB，QNBANCNA NBNQ NC2NFNQ NC20 分（每一个相似占 10 分）N为FG中点NFNQNCNF，NFNQNFNQNCNFNCNF，即FQGQFCGCCFQG成调和点列（调和点列的性质）（调和点列的性质）30 分（注：有的学生可能会写成(,;,)1C Q F G 也代表调和点列，可以给分）M是AB中点，CMABMQ与MC分别是FMG的内角平分线和外角平分线（调和点列的性质）（调和点列的性质）40 分证毕水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢20242024 年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准一试一、填空题一、填空题1已知 m,a,b,c 为正整数,且 alogm2+blogm3+clogm5=2024,求 m+a+b+c 的最小值是.【答案】30662已知 x0,y0,-log3y+3x=y-2x=1532x-1y,则y+x=【答案】11.3若 A、B 为锐角且 sinBsin A+B=sinA,则 tanA 的最大值为.【答案】434数列an满足:对任意 n2,an=2024an-1-n.如果该数列的每一项都是正数,则 a1的最 小值为【答案】404720232404740925295投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第 i 次投中得分为4-i分(i=1,2,3),若三次均未投中则得分为 0 分.假设甲同学的投篮的命中率为 p 0pb0的右焦点 F2重合,C 的准线经过 E 的左顶点.(1)求 E 的方程;(2)已知点 F1为 E 的左焦点,P 为 E 上的一点(异于左、右顶点),PF1F2外接圆的半径 为 R,内切圆的半径为 r,求 Rr 的取值范围.【解析】(1)易知 C 的顶点坐标为-32,0,p2=184=92,所以 C 的焦点坐标为-32+92,0,即 3,0,C 的准线方程为 x=-32-92=-6,所以 a=6,c=3,b2=a2-c2=27,所以 E 的方程为 E:x236+y227=1;4 分(2)设 F1PF2=,PF1=a1,PF2=a2,由正弦定理可得 2R=F1F2sin=2csin,即R=csin=3sin,则 cos=a21+a22-2c22a1a2=a1+a22-2a1a2-4c22a1a2=4b2-2a1a22a1a2,即a1a2=2b2cos+1=54cos+1,-8 分SPF1F2=12a1a2sin=27sincos+1=27sin2cos2cos22=27tan2又 SPF1F2=SIF1F2+SIF1P+SIF2P=12F1F2+PF1+PF2r=122a+2cr=9r,-12 分所以 27tan2=9r,即 r=3tan2,所以 Rr=9tan2sin=92cos22,又因为当 P 在短轴的端点时,最大,此时,=60,-16 分2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢所以 0,3,即 2 0,6,所以 cos232,1 ,故 Rr=92cos2292,6.-20 分2已知方程 lnx+x 1-m=0,mR有两个不同的零点,分别记为 a,b,且 ab.(1)求实数 m 的取值范围;(2)若不等式 t+10,故函数 f x 在 0,+上单调递增,不存在两个零点,不合题意;当 m1 时,设 g x=fx=1x+1-m,gx=-1x20,故 g x 在 0,+上单调递减,即 fx=1x+1-m 在 0,+上单调递减,由 fx=0,得 x=1m-1,当 0 x0;当 1m-1x 时,fx0即 ln m-1-1=ln1e,解得 m1当 x 趋近于 0+时,1-mx 趋近于 0,lnx 趋近于负无穷,f x 趋近于负无穷;当 x 趋近于正无穷时,f x 趋近于负无穷.所以若函数 f x 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围 1m1+1e.-8 分(2)因为 f x=lnx+x 1-mmR 有两个不同的零点 a,b,由题知 0ab,且 lna+a-am=0lnb+b-bm=0 ,相减得到:m-1=lna-lnba-b由 t+1lna+tlnb 恒成立,所以 t+1am-a+t mb-b 恒成立,即 t+1 a+tbm-1 恒成立,-12 分所以 t+1 a+tblna-lnba-b 恒成立,即 t+1ab+tab-1lnab 恒成立.3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢设 k=ab,则 k 0,1 时,不等式 t+10,k-10 进而得 lnk-t+1k-1t+k0,则 k-1k t+k20,所以当 t1 时,k-t20,故 h k 在 k 0,1 单调递增,而 k=1 时 lnk-t+1k-1t+k=0,所以 h k0 恒成立,故 t1 满足题意.当 0t1 时,若 k t2,1,由 hk0,与题设不符.综上所述,正数 t 的取值范围 t1.-20 分加试加试1设有限集 A,B,CR,A,B,C 为有限集,对任意 xR,定义:NA,B,Cx=a,b,caA,bB,cC,a+b+c=x.证明以下结论:(1)存在 xR,使得 0NA,B,CxA B CA+B+C(2)xA+B+CNA,B,Cx2A2 B2 C2A+B+C其中:A表示集合 A 中的元素个数,A+B+C=a+b+caA,bB,cC.【解析】(1)xA+B+CNA,B,Cx=xA+B+Ca,b,cABC,a+b+c=x1=a,b,cABC1=A B C由平均值原理,存在 xA+B+C,使得 0NA,B,CxA B CA+B+C.20 分(2)由柯西不等式xA+B+CNA,B,Cx2XA+B+CNA,B,Cx21A+B+C.30 分4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢=1A+B+CxA+B+Ca,b,cABCa+b+c=x12=1A+B+Ca,b,cABC12=A2 B2 C2A+B+C.40 分2如图,AB 为圆 O 的一条弦(AB3R,R 为圆 O 的半径),C 为优弧 AB的中点,M 为弦 AB 的中点.点 D,E,N 分别在 BC,CA和劣弧 AB上,满足 BD=CE,且 AD,BE,CN 三线 共点于 F.延长 CN 至 G,使 GN=FN.求证:FMB=GMB.【解析一】如图,延长 CM 交圆 O 于 T,以 T 为圆心,TA 为半径作圆,与 CN 延长线交于 GC 为优弧 AB 中点,B 在圆 T 上,且 CA 与 CB 是圆 T 的切线AFB=AB+ED2=ACB+CAB=180-12ATBF 在圆 T 上.10 分CT 是圆 O 的直径,所以 TNF=905水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢N 为 FG 的中点,G 与 G 重叠AFBG 四点共圆.20 分(实际上点出圆心 T 的目的是为了证明 AFBG 的共圆,证明共圆之后这个圆心就再也不会 出现,只要能够证明 AFBG 共圆无论是否点出圆心都可以获得 20 分)CA 与 CB 是圆 T 的切线CAFCGA,CBFCGBAFBG=AGBF.30 分由托勒密定理知,AGBF=12ABFG=BMFG,且 FBM=AGFBFMGFABMF=FAG同理 BMG=FAGBM 平分 FMG.40 分证毕(最后导出等角后面的证明调和四边形,都是相对平凡的步骤了,各占 10 分)【解析二】解析二使用了调和点列的一些性质,答案中会备注使用调和点列的地方,请审卷 老师注意评分如图,连接 NB,NA,CN 交 AB 于 QC 是优弧 AB 的中点ANC=BNCBD=ECBFN=BN+EC2=BN+BD2=DN2=NAFBNFFNANF2=NANB.10 分又 NC 平分 ANB,QNBANCNANB=NQNC6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢NF2=NQNC.20 分(每一个相似占 10 分)N 为 FG 中点NFNC=NQNF,NF-NQNC-NF=NF+NQNC+NF,即 FQFC=GQGCCFQG 成调和点列(调和点列的性质).30 分(注:有的学生可能会写成 C,Q;F,G=-1 也代表调和点列,可以给分)M 是 AB 中点,CMABMQ 与 MC 分别是 FMG 的内角平分线和外角平分线(调和点列的性质).40 分 证毕7