离散型随机变量的方差同步训练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx

姓名： 班级： 考号： 新教材人教A版数学 选择性必修第三册 同步训练离散型随机变量的方差一、选择题1若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p0.5，则E(X)和D(X)分别为()A0.5和0.25B0.5和0.75C1和0.25D1和0.752已知的分布列为101P121316则在下列各式E()13；D()2327；P(0)13中，正确的个数是()A0B1C2D33(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示， 表1股票甲收益的分布列收益X/元102P0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y/元012P0.30.40.3则下列结论中正确的是()A投资股票甲的期望收益较小B投资股票乙的期望收益较小C投资股票甲比投资股票乙的风险高D投资股票乙比投资股票甲的风险高4设随机变量X的概率分布为P(Xi)13，i1，2，3，则D(X)等于()A13B23C1D25(多选)设随机变量的分布列为P(k)ak+1(k1，2，5)，aR，E()，D()分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是()AP(0<<3.5)56BE(31)7CD()2DD(31)66. 已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X1)23，P(X3)16，若X的数学期望E(X)54，则D(4X3)()A19B16C194D747. 将3个小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球放入各盒子的概率相等记X为放入后所剩空盒的个数，Y为放入后不空盒子的个数，则()AE(X)E(Y)，D(X)D(Y)BE(X)E(Y)，D(X)D(Y)CE(X)E(Y)，D(X)D(Y)DE(X)E(Y)，D(X)D(Y)8(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是()XxyPyxA存在x，y(0，1)，E(X)>12B对任意x，y(0，1)，E(X)12C对任意x，y(0，1)，D(X)<E(X)D存在x，y(0，1)，D(X)>14二、填空题9随机变量的分布列是24Pab若E()83，则D()_10若随机变量X的分布列为：X012P1313a11已知离散型随机变量X的分布列如下表X1012Pabc112若E(X)0，D(X)1，则a_，b_12已知随机变量X的分布列如下：则当p13时，E(X)_；当0<p<1时，D(X)的最大值为_X012P1-p212p2三、解答题13数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合把存在此种情况的数字的个数称为巧合数(1)求巧合数的分布列；(2)求巧合数的期望与方差14有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示，其中，A，B分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度A110120125130135P0.10.20.40.10.2B100115125130145P0.10.20.40.10.2试比较甲、乙两种材料的稳定程度(哪一个稳定性较好)15为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试(满分100分)，根据测试成绩评定为“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示等级不合格合格得分20，40)40，60)60，80)80，100频数6a24b(1)求a，b，c的值；(2)用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列及均值E()；(3)设函数f()ED(其中D()表示的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数当f()2.5时，认定教育方案是有效的，否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 8 / 8学科网（北京）股份有限公司答案解析1【解析】X服从两点分布，X的分布列为X01P0.50.5E(X)0×0.5+1×0.50.5，D(X)(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.50.25故选A2【解析】由题意，根据随机变量的期望与方差的计算公式可得：E()(-1)×12+0×13+1×16-13，所以正确；D()-1+132×12 +0+132×13 +1+132×16 59，所以不正确；又由分布列可知P(0)13，所以正确故选C3【解析】甲收益的期望E(X)-1×0.1+0×0.3+2×0.61.1，方差D(X)(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.61.29，乙收益的期望E(Y)0×0.3+1×0.4+2×0.31，方差D(Y)(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.30.6，所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高故选BC4【解析】因为P(Xi)13，i1，2，3，E(X)1×13+2×13+3×132，所以D(X)13×(1-2)2+13×(2-2)2+13×(3-2)223故选B5【解析】因为P(k)ak+1(k1，2，5)，aR，所以P(1)a1+1a2，P(2)a2+1a3，P(5)a5+1a6，所以a2+a3+a61，解得a1，P(0<<3.5)P(1)+P(2)12+1356，故A选项正确；因为E()1×12+2×13+5×162，所以E(3+1)3E()+13×2+17，故B选项正确；D()12×(1-2)2+13×(2-2)2+16×(5-2)22，故C选项正确；D(3+1)32D()9×218，故D选项错误故选ABC6【解析】由题知P(X0)13，设P(X1)a，则P(X2)23-16-a12a，因此E(X)0×13+1×a+2×12-a+3×1654，得a14，因此离散型随机变量X的分布列如下：X0123P13141416则D(X)13×0-542+14 ×1-542+14 ×2-542+16 ×3-5421916，因此D(4X-3)16D(X)19故选A7. 【解析】由题意得X的可能取值为0，1，2，P(X0)A333329，P(X1)C32A323323，P(X2)C313319，E(X)0×29+1×23+2×1989，D(X)0-892×29 +1-892×23 +2-892×19 2681Y的可能取值为1，2，3，P(Y1)P(X2)19，P(Y2)P(X1)23，P(Y3)P(X0)29，E(Y)1×19+2×23+3×29199，D(Y)1-1992×19 +2-1992×23 +3-1992×29 2681，E(X)E(Y)，D(X)D(Y)故选C8. 【解析】依题意可得x+y1，E(X)2xy，又2xy(x+y)2212，所以E(X)12，当且仅当xy12时取等号，A错误，B正确；D(X)(x-2xy)2y+(y-2xy)2x(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x(1-2y)2x+(1-2x)2yyx(2x-1)2x+(1-2x)2yyx(1-2x)2(x+y)yx(1-2x)2yx，0<x<1，-1<2x-1<1，0<(2x-1)2<1，D(X)<yx，即D(X)<12E(X)，C正确；D(X)(1-2x)2yx<xy(x+y)2414，D错误故选BC9.【解析】由分布列的性质可得，a+b1，又因为E()83，所以2a+4b83，联立，解得a23，b13，所以D()23×2-832+13 ×4-83289故答案为8910. 【解析】由题意可知13+13+a1，可得a13，所以E(X)13(0+1+2)1，则D(X)13(0-1)2+(1-1)2+(2-1)223，所以D(3X+1)9×236故答案为611. 【解析】由分布列的性质知a+b+c+1121，由均值和方差的计算公式，得-a+c+160，(-1-0)2×a+(1-0)2×c+(2-0)2×1121，联立 ，解得a512，b14，c14故答案为5121412. 【解析】由期望公式可得E(X)0×1-p2+1×12+2×p2p+12，当p13时，E(X)13+1256，当0<p<1时，D(X)0-1+2p22×1-p2+1-1+2p22×12 +2-1+2p22×p2 -p2+p+14 -p-122+12 12，当且仅当p12时，等号成立，故D(X)的最大值为12故答案为561213【解析】(1)可能取值为0，1，2，3，5，数字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的总数为A55，5时，5个数字均在对应位置，有1种排法，所以P(5)1A551120；3，有3个数字在对应位置，另外2个数字互换位置，P(3)C53A5510120112；2，有2个数字在对应位置，另外3个数不在对应位置，所以P(2)C52×2A552012016；1，有1个数字在对应位置，另外4个数字不在对应位置，所以P(1)C51×3×3A554512038；0，所有5个数字均不在对应位置，所以P(0)42+3(1+2)A551130则巧合数的分布列为01235P113038161121120(2)E()0×44120+1×45120+2×20120+3×10120+5×11201，D()1×44120+0+1×20120+4×10120+16×1120114【解析】E(A)110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2125，E(B)100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2125D(A)0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)250，D(B)0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2165由此可见E(A)E(B)，D(A)<D(B)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好15【解析】(1)由频率分布直方图可知，得分在20，40)的频率为0.005×200.1，故抽取的学生答卷数为60.160，又由频率分布直方图可知，得分在80，100的频率为0.2，故b60×0.212又6+a+24+b60，得a+b30，所以a18c1860×200.015(2)“合格”与“不合格”的人数比例为362432，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以的可能取值为40，35，30，25，20P(40)C64C104114，P(35)C63C41C104821，P(30)C62C42C10437，P(25)C61C43C104435，P(20)C44C1041210故的分布列为4035302520P114821374351210E()40×114+35×821+30×37+25×435+20×121032(3)由(2)可得：D()(40-32)2×114+(35-32)2×821+(30-32)2×37+(25-32)2×435+(20-32)2×121016，所以f()E()D()32162<2.5故可以认为该校的安全教育方案是无效的，需要调整安全教育方案