数学分析教案(华东师大版)导数和微分.doc

数学分析教案（华东师大版）：导数和微分第一章：导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。强调导数的重要性：导数可以描述函数在某一点的局部性质，如增减性、凹凸性等。1.2 导数的计算讲解导数的计算方法：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1；指数函数的导数为底数；对数函数的导数为1除以函数的底数；三角函数的导数分别为各自的导数公式。1.3 导数的应用解释导数的应用：求函数的极值：导数为0的点可能是极值点，通过二阶导数判断；求函数的单调区间：导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减；求曲线的切线方程：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程。第二章：微分2.1 微分的概念解释微分的定义：微分是导数的一个局部线性逼近，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。强调微分的重要性：微分可以用来近似计算函数在某一点的增量，简化计算。2.2 微分的计算讲解微分的计算方法：利用导数计算微分：微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量；微分的性质：微分是无穷小量，具有线性、齐次性和对称性。2.3 微分的应用解释微分的应用：近似计算函数在某一点的增量：利用微分公式，将自变量的增量代入计算；求曲线的切线：利用微分求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；微分方程的求解：通过微分方程描述物理、化学等现象的规律，求解未知函数。第三章：导数和微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则：当函数在某一点的导数为0时，可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。3.2 罗尔定理介绍罗尔定理：如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等，则在这两点之间存在一个点，使得函数在该点处的导数为0。3.3 泰勒公式介绍泰勒公式：将函数在某一点附近展开为多项式，可以用来近似计算函数在该点附近的值。第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的n阶导数是其导数的导数，即导数的导数直到第n次。4.2 高阶导数的计算讲解高阶导数的计算方法：常数函数的高阶导数为0；幂函数的高阶导数为幂乘以指数减1；指数函数的高阶导数为本身；对数函数的高阶导数为1除以函数的底数；三角函数的高阶导数分别为各自的导数公式。4.3 高阶导数的应用解释高阶导数的应用：求函数的凹凸性：二阶导数大于0表示函数凹，二阶导数小于0表示函数凸；求函数的拐点：二阶导数为0的点可能是拐点，通过三阶导数判断；分析函数的增减性：高阶导数可以判断函数在某一点的增减性。第五章：隐函数求导和微分5.1 隐函数求导解释隐函数求导的方法：将隐函数看作是已知函数的导数，利用链式法则求导。5.2 隐函数的微分讲解隐函数的微分方法：利用隐函数求导的结果，将自变量的增量代入求得微分；隐函数的微分具有线性、齐次性和对称性。第六章：函数的极限与连续性6.1 极限的概念介绍极限的定义：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某一确定的值。强调极限的重要性：极限是微积分的基础，用于描述函数在某一点的局部性质。6.2 极限的计算讲解极限的计算方法：利用函数的性质判断极限的存在性；利用数列极限的性质求函数极限；利用夹逼定理和单调有界定理求极限。6.3 函数的连续性解释函数连续性的定义：函数在某一点的极限与其函数值相等，则函数在该点连续。强调函数连续性的重要性：连续性是微积分中的基本概念，用于研究函数的图形和性质。第七章：泰勒公式与导数的应用7.1 泰勒公式的扩展介绍泰勒公式的扩展：泰勒公式可以用来近似计算函数在某一点的值，也可以扩展到多阶导数的近似。7.2 泰勒公式在实际应用中的例子举例说明泰勒公式在实际应用中的使用：物理学中，用泰勒公式近似计算力学系统的势能；工程学中，用泰勒公式近似计算函数值，简化计算过程。7.3 导数在实际应用中的例子举例说明导数在实际应用中的使用：物理学中，用导数计算物体的瞬时速度和加速度；经济学中，用导数分析函数的单调性和极值。第八章：多元函数的导数8.1 多变量函数的导数概念引入多元函数的导数概念：多元函数在某一点的导数是其各偏导数。8.2 偏导数的计算讲解偏导数的计算方法：对单变量函数求偏导数；利用偏导数的性质和运算法则进行计算。8.3 全微分的概念与应用解释全微分的概念：函数在某一点的 全微分是其偏导数的线性组合。强调全微分的重要性：全微分可以用来近似计算多元函数在某一点的增量。第九章：高阶偏导数与方向导数9.1 高阶偏导数的概念引入高阶偏导数的概念：多元函数的二阶、三阶高阶偏导数。9.2 高阶偏导数的计算讲解高阶偏导数的计算方法：对已知的偏导数求偏导数；利用高阶偏导数的性质和运算法则进行计算。9.3 方向导数的概念与应用解释方向导数的概念：函数在某一点沿某一方向的变化率。强调方向导数的重要性：方向导数可以用来描述多元函数在某一点的局部性质。第十章：曲线与曲面的切线和法线10.1 曲线在某一点的切线和法线引入曲线在某一点的切线和法线概念：切线：曲线在某一点的瞬时变化率；法线：与切线垂直的直线，描述曲线的凹凸性。10.2 曲线的切线和法线的计算讲解曲线的切线和法线的计算方法：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；利用高阶导数求出法线斜率，写出法线方程。10.3 曲面的切线和法线引入曲面的切线和法线概念：切线：曲面在某一点的瞬时变化率；法线：与切线垂直的直线，描述曲面的凹凸性。讲解曲面的切线和法线的计算方法：利用偏导数求出切点坐标和切线方向，写出切线方程；利用高阶偏导数求出法线方向，写出法线方程。重点和难点解析一、导数概念的引入：理解导数定义及其在描述函数局部性质方面的作用。二、导数的计算：掌握各种函数导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。三、导数的应用：学会使用导数求函数的极值、单调区间和切线方程。四、微分的概念与应用：理解微分的定义，掌握微分的计算方法，并了解微分在近似计算函数增量方面的应用。六、函数的极限与连续性：理解极限的概念，学会计算极限，并理解函数连续性的重要性。七、泰勒公式与导数的应用：掌握泰勒公式的扩展形式，并了解其在实际应用中的例子。八、多元函数的导数：掌握偏导数的计算方法，理解全微分的概念及其在近似计算多元函数增量方面的应用。九、高阶偏导数与方向导数：学会计算高阶偏导数，理解方向导数的概念及其在描述多元函数局部性质方面的作用。十、曲线与曲面的切线和法线：理解曲线和曲面的切线和法线概念，掌握切线和法线的计算方法。本教案主要介绍了导数和微分的基本概念、计算方法和应用，以及函数的极限与连续性、多元函数的导数、高阶偏导数与方向导数、曲线与曲面的切线和法线等高级数学分析内容。通过学习这些重点和难点，学生可以更深入地理解数学分析的核心概念，掌握基本的数学分析技巧，并能够将这些知识应用于实际问题中。