宁夏石嘴山市第三中学2024届高三下学期三模试题 数学（理） Word版含答案.docx
石嘴山三中2024届高三年级第三次模拟考试 理科数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。第I卷（选择题）一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，B6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为A5 B4 C3 D22设复数（为虚数单位），则A10 B9CD3.已知数列等比数列，且则的值为A B2 C3 D4 4.若函数为奇函数，则实数的值为A B C D5“”是“直线与圆有公共点”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6.将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像，则A B CD72024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是A18B36C54D728.在正方体中，分别是线段与的中点，现有如下结论：直线与直线所成的角为； ； 平面则正确结论的个数为A1 B2 C3 D49.寒假期间，甲、乙、丙、丁4名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件A=“4个人去的社区各不相同”，事件B=“甲独自去一个社区”，则P(A|B)=A. B. C. D. 10已知四面体的各顶点均在球的球面上，则球的表面积为A B CD11已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与曲线交于M，N两点，若，且，则A B CD12已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为A BC D第II卷（非选择题）二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若，则的值为 14已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 .15. 已知数列的前项和为，若则_.16已知，则的最小值为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)（一）必考题：共60分17. （本小题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形18（本小题满分12分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 某电信公司为了解当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为.(1)根据题中信息完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？(2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费充值卡的总金额数为元，求的数学期望.优秀奖非优秀奖合计男女合计附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，PA=AD= 2AB，点M是PD的中点(1)证明：AMPC;(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的余弦值20（本小题满分12分）已知F、C是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆E于A,B，|AF|+|BF|=2 6，tanCFO= 22(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆E于点M，N，当|TF|MN| 最小时，求点T的坐标21（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x(1)讨论fx的单调性；(2)当a<0，证明：f(x)2a2（二） 选考题（10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22【选修4-4，坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值23.【选修4-5，坐标系与参数方程】已知函数(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：石嘴山三中2024届高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案及阅卷任务安排一、选择题题号123456789101112答案DADABCBCCDAA二、填空题13. 14. 15. 190 16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题（60分）17. （本小题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形【详解】（1）因为，所以，即，解得，又，所以-6分（2）因为，所以，即，又， 将代入得，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形-12分18（本小题满分12分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 某电信公司为了解当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为.(1)根据题中信息完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？(2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费充值卡的总金额数为元，求的数学期望.优秀奖非优秀奖合计男女合计附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【详解】（1），故男市民中得优秀奖的人数为，女市民中得优秀奖的人数为，可得如下列联表：优秀奖非优秀奖合计男2575100女595100合计30170200故，故有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关-6分（2），令为获得优秀奖的市民人数，则，有，由元.-12分19 （本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，PA=AD= 2AB，点M是PD的中点(1)证明：AMPC;(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的余弦值解：(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，所以AMPD，因为PA平面ABCD，PA平面PAD，所以平面PAD平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD，因为平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD，所以CDAM，因为PDCD=D，PD，CD平面PCD，所以AM平面PCD，因为PC平面PCD，所以AMPC；-4分(2)由题意可得AB，AD，AP两两垂直，设AB=1，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1, 2,0)，D(0, 2,0)，P(0,0, 2)，因为点M是PD的中点，所以M(0, 22, 22)，所以AM=(0, 22, 22)，AC=(1, 2,0)，设平面ACM的法向量为n=(x,y,z)，则AMn= 22y+ 22z=0ACn=x+ 2y=0,令y=1，可得x= 2，z=1，所以平面ACM的一个法向量n=( 2,1,1)，PC=(1, 2, 2)，设N(xN,yN,zN)，PN=PC=(, 2, 2)(0<<1)，即(xN,yN,zN 2)=(, 2, 2)，所以N(, 2, 2 2)，又O(12, 22,0)，ON=OA= 32，所以(12)2+( 2 22)2+( 2 2)2=34，化简得527+2=0，解得=25或=1(舍去)，所以AN=(25,2 25,3 25)，设直线AN与平面ACM所成的角为，则sin=nAN|n|AN|=3 25 2+1+1× 425+825+1825= 1510，所以直线AN与平面ACM所成角的正弦值为 1510所以直线AN与平面ACM所成角的余弦值为 8510 -12分20（本小题满分12分）已知F、C是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆E于A,B，|AF|+|BF|=2 6，tanCFO= 22(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆E于点M，N，当|TF|MN|最小时，求点T的坐标解：(1)设椭圆E的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性知四边形F1AFB是平行四边形，|AF|=|BF1|，由椭圆定义知2a=|BF|+|BF1|=|BF|+|AF|=2 6，a= 6，设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知tanCFO=bc，bc= 22，c= 2b，b2=a2c2=62b2，解得b2=2，椭圆E的标准方程为x26+y22=1-4分(2)设T(3,m)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，易知直线MN与x轴不重合，F(2,0)，故直线MN的方程为x=my+2，代入x26+y22=1，整理得(m2+3)y2+4my2=0，=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0，y1+y2=4mm2+3，y1y2=2m2+3，|TF|= m2+1，|MN|= m2+1|y1y2|= (m2+1)(y1+y2)24y1y2= (m2+1)(4mm2+3)24(2m2+3)=2 6(m2+1)m2+3，|TF|MN|=m2+32 6(m2+1)，令 m2+1=t(t1)，则|TF|MN|=t2+22 6t=12 6(t+2t)12 6×2 t×2t= 33，当且仅当t=2t，即t= 2，即 m2+1= 2，即m=1或m=1时，(|TF|MN|)min= 33，此时点T的坐标为(3,1)或(3,1)-12分 21（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x(1)讨论fx的单调性；(2)当a<0，证明：f(x)2a2解：(1)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，函数的定义域为 f'(x)=1x+2ax+(a+2)=2ax2+(a+2)x+1x=(2x+1)(ax+1)x(x>0)，当a0时，f'(x)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+)上单调递增；当a<0时，令f'(x)=0，解得：x=1a因为当x(0,1a)，f'(x)>0、当x(1a,+)，f'(x)<0，所以y=f(x)在(0,1a)上单调递增、在(1a,+)上单调递减综上可知：当a0时f(x)在(0,+)上单调递增，当a<0时，f(x)在(0,1a)上单调递增、在(1a,+)上单调递减；-4分(2)证明：由(1)可知：当a<0时f(x)在(0,1a)上单调递增、在(1a,+)上单调递减，当x=1a函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(1a)=ln(1a)+1aa+2a.从而要证f(x)2a2，即证f(1a)2a2，即证ln(1a)+1a+10令t=1a，则t>0，令g(t)=lntt+1，则g'(t)=1t1=1tt，令g'(t)=0可知t=1，则当0<t<1时g'(t)>0，当t>1时g'(t)<0，所以y=g(t)在(0,1)上单调递增、在(1,+)上单调递减，即g(t)g(1)=0成立，所以当a<0时，f(x)2a2成立 -12分（二）选考题（10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22【选修4-4，坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得其普通方程为由题知直线的直角坐标方程为，即，将代入，得，则直线的极坐标方程为-5分（2）由（1）可知的普通方程为，即，故其极坐标方程为曲线的极坐标方程为，由解得由解得，所以-10分23 【选修4-5，坐标系与参数方程】已知函数(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：【详解】（1）当时，解得，所以；当时，解得，所以；当时，解得，所以综上，不等式的解集为-5分（2）由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以-10分
