江苏南京秦淮区2024年高一下学期期末学情调研数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 江苏省南京市秦淮区江苏省南京市秦淮区 2023-2024 学年第二学期期末学情调研试卷学年第二学期期末学情调研试卷 高一高一 数学数学 本卷调研时间：本卷调研时间：120 分钟分钟 总分：总分：150 分分 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分）分）1设 i 为虚数单位，若复数 z 满足3i12iz=+，则z在复平面内对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知 为锐角，且3cos65+=，则sin=（）A3110+B235 C2 3110 D4 3310 3在ABC中，已知2a=，3b=，60B=，则 A 角的度数为（）A30 B45 C45或135 D150 4已知5a=，4b=，若a在b上的投影向量为58b，则a与b的夹角为（）A60 B120 C135 D150 5设样本数据1x，2x，10 x的均值和方差分别为 1 和 2，若21iiyx=（1i=，2，10），则1y，2y，10y的方差为（）A1 B3 C4 D8 6已知，是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，若m，l=，则“ml”是“m”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，13AAAB=，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A45 B910 C35 D710 8如图，平行四边形 ABCD 中，2ABBDDC=，45A=现将BCD沿 BD 起，使二面角CBDA大小为120，则折起后得到的三棱锥CABD外接球的表面积为（）学科网（北京）股份有限公司 A10 B15 C20 D20 3 二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 3 小题，共小题，共 18 分。双选题选对一个得分。双选题选对一个得 3 分，三选题选对一个得分，三选题选对一个得 2 分；分；选错得选错得 0 分分）9已知 m，n 是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（）A若，m，mn，则n B若m，m，n=，则mn C若m，mn，则n D若m，m，n，则n 102023 年 10 月 26 日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了 50 名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：100 分），得到如下的频率分布直方图，则（）注：同一组中的数据用该组区间中点值代表 A图中 y 的值为 0.004 B估计样本中竞赛成绩的众数为 70 C估计样本中竞赛的平均成绩不超过 80 分 D估计样本中竞赛成绩的第 75 百分位数为 76.75 11已知正三棱台111ABCABC，1124ABAB=，12A A=，下列说法正确的是（）A正三棱台111ABCABC体积为2 B侧棱1CC与底面 ABC 所成角的余弦值为63 C点 A 到面11BBC C的距离为2 2 D三棱台111ABCABC的外接球的表面积为1143 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，共小题，共 15 分）分）12已知向量a，b的夹角为56，3a=，1b=，则3ab+=_ 学科网（北京）股份有限公司 13在ABC中，内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足22abbc=，则AB=_，三角形 ABC 为锐角三角形，则()coscosCBA+的取值范围是_ 14如图，在长方体1111ABCDABC D中，2ABAD=，14AA=，P 为1DD的中点，过 PB 的平面 分别与棱1AA，1CC交于点 E，F，且AC，则截面四边形 PEBF 的面积为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分）分）15（本小题 13 分）已知：,0,2，且5cos5=，()10sin10=（1）求()sin 2的值；（2）求 的值 16（本小题 15 分）如图，AB 是圆 O 的直径，点 P 在圆 O 所在平面上的射影恰是圆 O 上的点 C，且24PCACBC=，点 D 是 PA 的中点，点 F 为 PC 的中点（1）求异面直线 BF 和 PA 所成角的大小；（2）求二面角DBCA的大小 17（本小题 15 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知2a=，22 3cBA BCS=，其中 S 为ABC的面积（1）求角 A 的大小；（2）设 D 是边 BC 的中点，若ABAD，求 AD 的长 18（本小题 17 分）如图，四棱锥PABCD的侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为矩形，且平面PAD 平面 ABCD，M，N 分别为 AB，AD 的中点，二面角DPNC的正切值为 2（1）求四棱锥PABCD的体积；学科网（北京）股份有限公司（2）证明：DMPC（3）求直线 PM 与平面 PNC 所成角的正弦值 19（本小题 17 分）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就 是 其 中 之 一，它 在 数 学 的 众 多 分 支 中 有 精 彩 应 用，柯 西 不 等 式 的 一 般 形 式 为：设123123,nna a aa b b bbR，则()()()222222212121 12 2nnnnaaabbbaba ba b+当且仅当0ib=（1,2,in=）或存在一个数 k，使得iiakb=（1,2,in=）时，等号成立（1）请你写出柯西不等式的二元形式；（2）设 P 是棱长为2的正四面体 ABCD 内的任意一点，点 P 到四个面的距离分别为1d、2d、3d、4d，求22221234dddd+的最小值；（3）已知无穷正数数列 na满足：存在mR，使得iam（1,2,i=）；对任意正整数 i、j（ij），均有1ijaaij+求证：对任意4n，*nN，恒有1m 参考答案：参考答案：1C【来源】2024 届山东省五莲县第一中学高三模拟预测数学试题【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念化简复数，然后利用复数的几何意义求解点所在的象限【详解】因为3i12iz=+，所以3412i2i2iiiz+=+，所以2iz=，对应的点为()2,1，所以z在复平面内对应的点在第三象限 故选：C 2D【来源】贵州省凯里市第一中学 2020-2021 学年高二上学期期末考试数学（文）试题【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin6+的值，再利用两角差的正弦公式可求得 sin 的值 学科网（北京）股份有限公司【详解】02，2663+，24sin1 cos665+=+=，因此，3134134 33sinsinsincos662626252510=+=+=故选：D 3B【来源】江苏省镇江市丹阳市 2022-2023 学年高一下学期期中数学试题【分析】根据大边对大角得到角AB，利用正弦定理求得 sinA，结合角 A 的范围求得角 A 的度数【详解】由2a=，3b=得ab，于是AB，由正弦定理得32sin22sin23aBAb=，45A=，故选：B 4B【来源】2024 届山东省联合模拟考试数学试题【分析】利用投影向量的定义计算即可【详解】易知a在b上的投影向量为cos,55cos,88a b aba b abbb=，而51cos,82ba ba=，所以a与b的夹角为120 故选：B 5D【来源】云南省昆明市第一中学 2022 届高三第九次考前适应性训练数学（文）试题【分析】由方差性质可得【详解】由()()()2148iiiD yDxD x=故选：D 6C【来源】湘豫名校联考 2023-2024 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可【详解】若m，l=，ml，且m，所以直线与平面平行的判定定理知m；若m，l=，m，所以直线与平面平行的性质定理知ml；所以“ml”是“m”的充要条件 学科网（北京）股份有限公司 故选：C 7B【来源】陕西省西安市第一中学 2024 届高三下学期模拟考试数学（文科）试题【分析】平行移动1AD与1AB相交构成三角形，指明11ABC或其补角就是异面直线1AB与1AD所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可【详解】如图连接1BC，11AC，因为1111ABCDABC D为正四棱柱，所以11ABC D且11ABC D=，所以四边形11ABC D为平行四边形，所以11BCAD，则11ABC或其补角就是异面直线1AB与1AD所成的角，设1AB=，则110AB=，110BC=，112AC=，由余弦定理得：1110 1029cos2 1010ABC+=故选：B 8C【来源】浙江省重点中学四校 2023-2024 学年高一下学期 5 月联考数学试题【分析】作出辅助线，找到二面角CBDA的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积【详解】如图所示，过点 D 作DEAB，过点 A 作AEBD，两直线相交于点 E，因为2ABBDDC=，45A=，所以45ADB=，ABBD，则DEBD，由于CDBD，故CDE即为二面角CBDA的平面角，则120CDE=，过点 C 作CFDE于点 F，因为BDDE，BDCD，DECDD=，DE，CD 平面 CDF，故BD 平面 CDF，因为CF 平面 CDF，所以BDCF，又BDDED=，BD，DE 平面 ABDE，学科网（北京）股份有限公司 则CF 平面 ABDE，60CDF=，取 AD 的中点 H，则外接球球心在平面 ABD 的投影为 H，即OH 平面 ABDE，连接 FH，AO，CO，则AOCO=，过点 O 作OGFH，交直线 CF 于点 G，则OHFG=，2CD=，sin603CFCD=，cos601DFCD=，122AHDHAD=，由余弦定理得22c2122 12522osFHDFDHFD DHFDH=+=+，设OHh=，则FGh=，故3CGCFFGh=，由勾股定理得()222253OCOGCGh=+=+，22222OAOHAHh=+=+，故()22532hh+=+，解得3h=，故外接球半径为225h+=，外接球表面积为4 520=故选：C【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 9ABD【来源】四川省南充市嘉陵第一中学 2023-2024 学年高一下学期第三次月考数学试卷【分析】根据给定条件，结合直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理可以判断【详解】对于 A，由，m，得m，又mn，因此n，A 正确；对于 B，由m，得存在过 m 的平面 与 相交，令交线为 a（不与 n 重合），则ma，由m，得存在过 m 的平面 与 相交，令交线为 b（不与 n 重合），则mb，于是ab，显然b，则b，而b，n=，因此bn，mn，B 正确；对于 C，m，mn，则n或n，C 错误；对于 D，由m，m，得，而n，则n，D 正确 学科网（北京）股份有限公司 故选：ABD 10ACD【来源】黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学 2024 届高三下学期高考模拟（一）数学试题【分析】利用所有小矩形面积和等于 1 可求 y 判断 A：利用众数的概念可求众数判断 B；利用成绩超过 80分的频率只有 0.12，可判断 C；求得第 75 百分位数判断 D【详解】对于 A：由题得1 0.160.320.400.080.00410y=，故 A 正确：对于 B：由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为 75，则估计众数为 75，故 B 错误：对于 C：样本中竞赛成绩超过 80 分的频率只有 0.12，故平均成绩不可能超过 80 分，故 C 正确；对于 D：设样本中竞赛成绩的第 75 百分位数为 x，前 2 组频率之和为0.160.320.480.75+=，故 x 位于第 3组，于是得(70)0.0400.750.48x=，解得76.75x=，故 D 正确 故选：ACD 11BCD【来源】江苏省盐城市 2022-2023 学年高一下学期期末数学试题【分析】求得正三棱台111ABCABC体积判断选项 A；求得侧棱1CC与底面 ABC 所成角的余弦值判断选项 B；求得点 A 到面11BBC C的距离判断选项 C；求得三棱台111ABCABC的外接球的表面积判断选项 D【详解】设111ABC中心为1O，ABC中心为 O，连接11O A，1OO，OA，则11O AOA，1OOOA，11232 3=2=323O A，234 3=4=323OA，在四边形11O A AO中，过1A作1ADAO于 D，则()2214 32 36=2333AD=，则163OO=取1A A中点 N，过点 N 作1NMAA，交 AO 于 H，交直线1OO于 M，则点 M 为三棱台111ABCABC的外接球的球心 由1A ADHAN，可得1232=222 33ANHAAAAD=，学科网（北京）股份有限公司 则22321=222HN=，4 335 3=326HO=由HMOHAN，可得5 325 66=1262OHOMANHN=，选项 A：正三棱台111ABCABC体积为22221333367 242423444433+=判断错误；选项 B：设侧棱1CC与底面 ABC 所成角为，则11633sin32OOCC=又0,2，则236cos133=，则侧棱1CC与底面 ABC 所成角的余弦值为63判断正确；选项 C：设点 A 到面11BBC C的距离为 h，由11A BCCCABCVV=，可得111133BCCABCShSOO=又等腰梯形11BCC B中，4BC=，112C B=，112BBCC=，则()122112(42)222BCCSBC=，则21136243343h=，解之得2 2h=则点 A 到面11BBC C的距离为2 2判断正确；选项 D：三棱台111ABCABC的外接球的半径为22225 64 357636OMOA+=+=，则三棱台111ABCABC的外接球的表面积为257114463=判断正确 学科网（北京）股份有限公司 故选：BCD 1219【来源】辽宁省大连市第二十四中学 2022-2023 学年高一下学期期中数学试题【分析】根据222|3|(3)9|6|ababaa bb+=+=+计算可得结果【详解】()222333969 363 11192ababaa bb+=+=+=+=故答案为：19 132 91,8【来源】江苏省盐城市 2022-2023 学年高一下学期期末数学试题【分析】利用余弦定理及条件得到2 cosbcbA=，再利用正弦定理将边化角，结合两角和（差）的正弦公式得到()sinsinBAB=，即可得到2AB=，根据三角形为锐角三角形求出 B 的取值范围，再将()coscosCBA+转化为关于 B 的三角函数，结合二倍角公式及二次函数的性质求出()coscosCBA+的取值范围【详解】由余弦定理2222cosabcbcA=+，又22abbc=，所以22cosbccbcA=，所以2 cosbcbA=，由正弦定理可得sinsin2sincosBCBA=，所以()sinsin2sincosBABBA=+，所以sinsincoscossin2sincosBABABBA=+，所以()sinsinBAB=，又(),0,A B，则AB，所以BAB=或()BAB=，若()BAB=，则A=，显然不符合题意，故舍去，学科网（北京）股份有限公司 所以BAB=，即2AB=，所以2AB=，因为ABC为锐角三角形，所以02022032BABCB=，解得64B，则232B，所以()()coscoscos 3cos2CBABBB+=+2cos4cos22cos 2cos21BBBB=+=+，因为232B，所以10cos22B，故cos3sinAA=，即3tan3A=，又()0,A，所以56A=（2）法一：因为 D 是边 BC 的中点，2a=，所以1BDCD=在ABD中，ABAD，则sinsinADBDBB=在ACD中，5623CAD=，566CBB=，1CD=，据正弦定理可得，sinsinCDADCADC=，即1sinsin36ADB=，学科网（北京）股份有限公司 所以2sin63ADB=所以2sinsin63BB=，即313sincossin222BBB=，所以cos2 3sinBB=，又22sincos1BB+=，()0,B，所以()22sin2 3sin1BB+=，解得13sin13B=，所以1313AD=法二：因为 D 是边 BC 的中点，故ABDACDSS=，所以11sin22c ADb ADDAC=，即115sin 226c ADb AD=，整理得32cb=在ABC中，据余弦定理得，2222cosabcbcBAC=+，即2234bcbc+=联立，可得413b=，2 313c=在RtABD中，据勾股定理得，22222 3111313ADBDAB=，所以1313AD=法三：延长 BA 到点 H，使得CHAB 在RtCHB中，ADAB，CHAB，故ADCH，又 D 是 BC 的中点，所以 A 是 BH 的中点，所以AHABc=，2CHAD=，且2224HBHCa+=学科网（北京）股份有限公司 在RtCHA中，566CAHBAC=，ACb=，AHc=，所以1sin2CHbCAHb=，且3cos2cbCAHb=所以()221242cb+=，即22312422bb+=，解得4 1313b=（负舍），所以111113222413ADCHbb=法四：延长 AD 到 E，使ADDE=，连结 EB，EC 因为 D 是 BC 的中点，且ADDE=，故四边形 ABEC 是平行四边形，BEACb=又56BAC=，所以566ABEBAC=在RtBAE中，ABAD，6ABE=，ABc=，BEACb=，所以1sin2AEBEABEb=，且3cos2cBEABEb=在RtBAD中，ABAD，ABc=，1124ADAEb=，112BDa=，据勾股定理222ABADBD+=，可得22114cb+=，将32cb=代入上式，可得4 1313b=（负舍），所以113413ADb=18（1）4 33 （2）证明见解析 （3）35【来源】河北省沧州市 2020-2021 学年高一下学期期末数学试题【分析】（1）先证明DNC为二面角DPNC的平面角，可得底面 ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM 平面 PNC，即可证明DMPC；（3）由DM 平面 PNC 可得MPO为直线 PM 与平面 PNC 所成的角，计算其正弦值即可 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：PAD是边长为 2 的正三角形，N 为 AD 中点，PNAD，3PN=又平面PAD 平面 ABCD，平面PAD平面ABCDAD=PN 平面 ABCD 又NC 平面 ABCD，PNNC DNC为二面角DPNC的平面角，tan2DCDNCDN=又1DN=，2DC=底面 ABCD 为正方形 四棱PABCD的体积14 32 2333V=（2）证明：由（1）知，PN 平面 ABCD，DM 平面 ABCD，PNDM 在正方形 ABCD 中，易知DAMCDN ADMDCN=而90ADMMDC+=，90DCNMDC+=DMCN PNCNN=，DM 平面 PNC PC 平面 PNC，DMPC（3）设DMCNO=，连接 PO，MN DM 平面 PNC MPO为直线 PM 与平面 PNC 所成的角 2AD=，1AM=，5DM=，1 22 555DO=2 53 5555MO=又2MN=，225PMPNMN=+=3 535sin55MOMPOPM=直线 PM 与平面 PNC 所成角的正弦值为35 学科网（北京）股份有限公司 19（1）答案见解析 （2）13 （3）证明见解析【来源】河北省邯郸市 2024 届高三下学期高考保温数学试题【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出2n=时的形式；（2）由体积法求出12342 33dddd+=，构造柯西不等式求22221234dddd+的最小值；（3）120nkkkaaam=+由柯西不等式得23413nmnn+，可得1m 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：设1212,a a b b R，则()()()2222212121 122aabbaba b+，当且仅当1 22 1aba b=时等号成立（2）由正四面体 ABCD 的体积P ABCP DBCP CDAP DABVVVVV=+，得()()()321234213221234dddd=+，所以12342 33dddd+=，又由柯西不等式得()()()()2222221234123412431 1 1 11111dddddddddddd+=+，所以()2123422221234143dddddddd+=，当且仅当123436dddd=时等号成立（3）对4n，记1k，2k，nk是 1，2，n 的一个排列，且满足120nkkkaaam=+由柯西不等式得()()()()21122111221 1111nnnnnnnnkkkkkknkkkkkk+所以()()()()211211122121111nnnnnnnnnkkkkkkkkkkkk+()()()()2222221211111341233nnnnnnnkkkkknnkknnnn=+从而，对任意的4n，都有23413nmnn+，故对任意4n，*nN，23403nnn+，恒有1m 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题 第一，准确转化解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化 第二，方法的选取对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化理解题目定义的本质并进行推广、运算 第三，应该仔细审读题目严格按新信息的要求运用算解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰