专题01函数的图像(解析版).docx

专题01 函数的图像 一、函数的图像知识框架 二、函数的图像备用知识扫描 关于函数图像常用结论1函数图象自身的轴对称(1)f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于y轴对称；(2)函数yf(x)的图象关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；(3)若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称2函数图象自身的中心对称(1)f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称；(2)函数yf(x)的图象关于(a,0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；(3)函数yf(x)的图象关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)3两个函数图象之间的对称关系(1)函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于直线x对称(由axbx得对称轴方程)；(2)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称；(3)函数yf(x)与y2bf(x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称4函数图象的变换(1)平移变换yf(x)的图象yf(xa)的图象；yf(x)的图象yf(x)b的图象“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数,无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减. (2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a>0且a1)的图象ylogax(a>0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象yf(ax)的图象yf(x)的图象yaf(x)的图象(4)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象 三、函数的图像题型分析 【一】函数图象的作法 函数图象的作法：(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响1.例题【例1】 作出下列函数的图象(1)|； (2)y|log2(x1)|；(3)y； (4)yx22|x|1.【解析】(1)作出(x0)的图象，再将(x0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得的图象，如图中实线部分(2)将函数ylog2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图中实线部分(3)因为y2，故函数图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(4)因为y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，即得函数yx22|x|1的图象，如图【例2】为了得到函数ylog2的图象，可将函数ylog2x图象上所有点的()A纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位B纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位C横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位【答案】A【解析】把函数ylog2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数ylog2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数ylog2(x1)的图象，即函数ylog2的图象【例3】设函数y，关于该函数图象的命题如下：一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；任意两点的连线都不平行于y轴；关于直线yx对称；关于原点中心对称其中正确的是()A B C D【答案】B【解析】y2，图象如图所示，可知正确2.巩固提升综合练习【练习1】分别画出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2；(4)y.【解析】(1)首先作出ylg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y|lg(x1)|的图象，如图所示(实线部分)(2)将y2x的图象向左平移1个单位，得到y2x1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y2x11的图象，如图所示(3)yx2|x|2其图象如图所示(4)y2，故函数的图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示【二】函数图象的识别 识别函数图象的两种方法：(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象(2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；从函数的奇偶性判断图象的对称性；从函数的周期性判断图象的循环往复；从特殊点出发排除不符合要求的选项1.例题【例1】已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则正比例函数y(bc)x与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是()【答案】C【解析】由二次函数图象可知a>0，c>0，由对称轴x>0，可知b<0，故abc>0.当x1时，abc<0，即bc<0，所以正比例函数y(bc)x的图象经过二、四象限，反比例函数y的图象经过一、三象限故选C【例2】函数yx4x22的图象大致为()【答案】D【解析】当x0时，y2，所以排除A，B项；当x时，y2>2，所以排除C项故选D2.巩固提升综合练习【练习1】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a1)的图象可能是（ ）【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【练习2】函数y=2|x|sin2x的图象可能是（ ） A B C D【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，故选D【例3】若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为() 【答案】C来源:Z|xx|k.Com【解析】，故选C【三】根据图像识别解析式 通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换1.例题【例1】如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）ABCD【答案】D【解析】为偶函数，其图象关于轴对称，排除B.函数的定义域为，排除.对于，当时，排除【例2】已知图中的图象是函数yf(x)的图象，则图中的图象对应的函数可能是()Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|)【答案】C【解析】 图中的图象是在图的基础上，去掉函数yf(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图中的图象对应的函数可能是yf(|x|)故选C2.巩固提升综合练习【练习1】函数的图象如图所示,则的解析式可以为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用排除法：对于B,令得,即有两个零点，不符合题意；对于C,当时，当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；对于D,的定义域为，不符合题意；本题选择A选项.【练习2】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为CD中 ，所以不选；因为 ，所以选A.【四】函数图像的应用 函数图像的应用：(1)利用函数图象研究函数性质，一定要注意其对应关系(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解1.例题【例1】已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)【答案】C【解析】 将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减【例2】函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在(1,3)上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)【答案】C【解析】作出函数f(x)的图象如图所示来源:Z_xx_k.Com当x(1,0)时，由xf(x)>0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)>0得x；当x(1,3)时，由xf(x)>0得x(1,3)所以x(1,0)(1,3)【例3】对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)【答案】D【解析】令g(x)(x21)(4x)其图象如图所示f(x)g(x)k的图象与x轴恰有三个交点，即yg(x)与yk的图象恰有三个交点，由图可知1<k2，即2k<1.故选D2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.【答案】9【解析】作出函数f(x)|log3x|的图象，观察可知0<m<1<n且mn1.若f(x)在m2，n上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)2，log3m22，m2. 从而m，n3，故9.【练习2】已知f(x)则函数y2f(x)23f(x)1的零点个数是_【答案】5【解析】方程2f(x)23f(x)10的解为f(x)或f(x)1，作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5. 四、课后自我检测 1要得到g(x)log2 (2x)的图象，只需将函数f(x)log2x的图象()A向左平移1个单位 B向右平移1个单位C向上平移1个单位 D向下平移1个单位【答案】C【解析】 因为log2(2x)1log2xg(x)，所以要得到g(x)的图象只需将yf(x)log2x的图象向上平移1个单位2函数f(x)的图象()A关于原点对称 B关于直线yx对称C关于x轴对称 D关于y轴对称【答案】D【解析】 因为f(x)exex(xR)，所以f(x)exexf(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称故选D3已知函数yf(x)的定义域为x|xR，且x0，且满足f(x)f(x)0，当x0时，f(x)ln xx1，则函数yf(x)的大致图象为()【答案】D【解析】 由f(x)f(x)0得函数f(x)为偶函数，排除A，B项；又当x>0时，f(x)ln xx1，所以f(1)0，f(e)2e<0.故选D4设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式<0的解集为()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)【答案】D【解析】 因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，f(x)的大致图象如图所示，所以不等式的解集为(1,0)(0,1)5已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）来源:学|科|网Z|X|X|KABCD【答案】C【解析】分析：分别求出函数的导数，确定函数的单调性后可选择正确答案详解：A，显然在上递减，；B，在上递增；C，在上递增，在上递减且此时；D，在上递减只有C符合要求故选C6设函数满足,则的图象可能()ABCD【答案】B【解析】由得，即函数是偶函数，排除由,得，即函数关于对称，排除本题正确选项：来源:学科网ZXXK7函数f（x）=的大数图象为（）ABCD【答案】A【解析】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.8若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是_【答案】1,0)【解析】 首先作出y|1x|的图象(如图所示)，欲使y|1x|m的图象与x轴有交点，则1m<0.9已知函数f(x)且关于x的方程f(x)a0有两个实根，则实数a的取值范围是_【答案】(0,1【解析】 当x0时，0<2x1，所以由图象可知要使方程f(x)a0有两个实根，即f(x)a有两个根，则0<a1.10定义在R上的函数f(x)关于x的方程f(x)c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3_.【答案】0【解析】 函数f(x)的图象如图，方程f(x)c有三个根，即yf(x)与yc的图象有三个交点，易知c1，且一根为0，由lg|x|1知另两根为10和10，所以x1x2x30.11已知函数yf(x)及yg(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x)0和g(f(x)0的实根个数分别为a和b，则ab_.【答案】10【解析】 由图象知f(x)0有3个根，分别为0，±m(m0)，其中1m2，g(x)0有2个根，设为n，p，则2n1，0p1，由f(g(x)0得g(x)0或±m，由图象可知当g(x)所对应的值为0，±m时，其都有2个根，因而a6；由g(f(x)0知f(x)n或p，由图象可以看出当f(x)n时，有1个根，而当f(x)p时，有3个根，即b134.所以ab6410.12已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)a只有一个实数根，求a的取值范围【解析】 (1)因为f(4)0，所以4|m4|0，即m4.来源:Zxxk.Com(2)由题意得f(x)x|x4|f(x)的图象如图所示(3)由图象知f(x)的单调递减区间是2,4(4)由f(x)的图象可知当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线ya只有一个交点，方程f(x)a只有一个实数根，即a的取值范围是(，0)(4，)13已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围【解析】 (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于点(0,1)的对称点P(x,2y)在h(x)的图象上，即2yx2，所以yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.因为g(x)在(0,2上为减函数，所以10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立，所以a14，即a3，故a的取值范围是3，)14已知函数f(x)2x，xR.(1)当m取何值时方程|f(x)2|m有一个解？两个解？(2)若不等式f(x)2f(x)m>0在R上恒成立，求m的取值范围【解析】 (1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示：由图象看出，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解(2)令2xt(t>0)，H(t)t2t，因为H(t)2在区间(0，)上是增函数，所以当t>0时，H(t)>H(0)0.因此要使t2t>m在区间(0，)上恒成立，应有m0，即所求m的取值范围为(，0