专题10 平面向量（学生版）.docx

专题10 平面向量 一、平面向量知识框架 二、平面向量的线性运算及其坐标表示 【一】向量的概念1.向量有关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模（2）零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的（3）单位向量：长度等于1个单位的向量（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量2.有关平面向量概念易错点：（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆（4）非零向量与的关系：是与同方向的单位向量，是与反方向的单位向量（5）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小（6）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件1.例题【例1】给出下列结论：数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【例2】下列命题中，正确的个数是（ ）单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；若，满足且与同向，则；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；若，则A0个B1个C2个D3个2.巩固提升综合练习【练习1】给出下列命题：若则；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；的充要条件是且；若，则；其中正确命题的序号是 .【二】平面向量的线性表示1.平面向量的线性运算技巧：（1）不含图形的情况：可直接运用平行四边形法则和三角形法则求解；（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置；（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式；（3）比较、观察可知所求.3.两个重要结论：（1）位线段的中点;（2）为的重心.4.关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解1.例题【例1】在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【例2】在梯形ABCD中，3，则等于()A B C. D2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【练习2】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足：，则P一定为ABC的()A重心 BAB边中线的三等分点(非重心)CAB边中线的中点 DAB边的中点【练习3】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）A.B.C.D.【三】向量共线的应用1.共线向量定理：向量()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：三点共线(为平面内任一点，)1.例题【例1】设两个非零向量与不共线(1)若，求证：三点共线；(2)试确定实数，使和共线【例2】已知点，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）A.B.C.D.2.巩固提升综合练习【练习1】设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积的比值是()A. B. C. D.【练习2】设向量，不平行，向量与平行，则实数_【四】平面向量基本定理及应用1.平面向量基本定理:如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.平面向量基本定理的实质及解题思路：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1.例题【例1】如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为_2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且3 ，3 ，若mn，其中m，nR，则mn_.【练习2】如图，在中，是的中点，在边上，与交于点.若，则的值是_.【五】平面向量的坐标运算1.平面向量的坐标运算:（1）若，则；（2）若，则；（3）设，则，.2.平面向量坐标运算的技巧：（1）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解1.例题【例1】已知向量，则（ ）A B2 C5 D50【例2】在平面直角坐标系中，向量n(2,0)，将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m，若向量a满足|amn|1，则|a|的最大值是()A21 B21 C3 D.1【例3】在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A4,6B1，1 C2，2 D1，12.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3B2C. D2【练习2】如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则()A2 B. C. D.【六】向量共线（平行）的坐标表示1.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量(2)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则”解题比较方便2. 主要命题角度：（1） 利用向量共线求向量或点的坐标；（2） 利用向量共线求参数，总体难度不大.1.例题【例1】已知向量，若，则实数等于（ ）A.B.C.或D.0【例2】若，则与同方向的单位向量_2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平面四边形中，点为线段的中点若()，则的值为_【练习2】已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若(ac)b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A. B. C D 三、平面向量的数量积 【一】平面向量数量积的概念1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角 （2）范围：向量夹角的范围是；与同向时，夹角0°；与反向时，夹角180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即：=，其中是与的夹角规定：；（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积3.数量积的运算律：（1）交换律：；（2）分配律：；（3）对，4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即=，其中是与的夹角（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解1.例题【例1】在如图的平面图形中，已知,则的值为（ ）A B C D0【例2】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）A-3 B-2C2 D32.巩固提升综合练习【练习1】如图，是半圆的直径，、是弧的三等分点，是线段的三等分点若，则的值是（ ）A.12B.C.26D.36【练习2】已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【练习3】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.来源:学科网【二】平面向量数量积的性质1.向量数量积的性质：（1）如果是单位向量，则； （2）；（3）； （4）.(为与的夹角)； （5）；2.数量积的坐标运算：设则：（1）； （2）；（3）； （4）.(为与的夹角).3.求向量夹角问题的方法：（1）当是非坐标形式时，求与的夹角，需求出及，或得出它们之间的关系；（2）若已知，则.(为与的夹角)；.4.平面向量模问题的类型及求解方法（1）求向量模的常用方法若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式；若向量是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式：；或，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解；（2）求向量模的最值(范围)的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解5.平面向量垂直问题的类型及求解方法：（1）判断两向量垂直计算出这两个向量的坐标；根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可（2）已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数1.例题【例1】已知平面向量不共线，且，记与 的夹角是，则最大时，（ ）ABCD【例2】已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【例3】设向量 =（1,0）， =（1,m）,若，则m=_.2.巩固提升综合练习【练习1】若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ）A.B.C.D.【练习2】已知非零向量与满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD【练习3】已知向量a，b夹角为45°，且|a|1，|2ab|，则|b|_.【三】平面向量的综合应用1.向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解2.向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）：（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题（2）工具作用：利用；，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到3.向量与三角的综合应用（三角函数专题中详讲）：解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解1.例题【例1】已知是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）A B C2 D【例2】在，若，且，则的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【例3】如图所示，直线x2与双曲线C：y21的渐近线交于E1，E2两点记e1，e2，任取双曲线C上的点P，若ae1be2(a，bR)，则ab的值为()A. B1 C. D.2.巩固提升综合练习【练习1】在平面四边形中，若， 则的最小值为_【练习2】已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值. 四、课后自我检测 1.已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且，则（ ）A.B.C.D.2.已知是的重心，是的中点 则_3.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为_ 4.在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.5.已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ）A B C D 6.设向量a，b满足，则a·b()A1 B2 C3 D57.已知a(3,2)，b(2，1)，若ab与ab平行，则_.8.在平行四边形ABCD中，|3，|5，cos A，则|()A. B2 C4 D29.已知锐角ABC的外接圆的半径为1，B，则·的取值范围为_10.已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，···，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心11.设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量m，n，点P在ycos x的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)在区间上的最大值是()A4 B2 C2 D212.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小是()A2 B C D113.已知是正的中心若，其中， ，则的值为（ ）A B C D 2