专题21直线与圆锥曲线 (学生版).docx
方法技巧专题21 直线与圆锥曲线一、 知识框架 二、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系：1.代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立，消去(也可以消去)，整理得到关于（或者）的一元方程.（1）当时：计算.若0，则与相交；若0，则与相切；若0，则与相离；（2） 当且时：即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点。若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断与的位置关系1.例题【例1】已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）A 相离B相交C相切D不确定【例2】已知点为曲线上两个不同的点，的横坐标是函数的两个极值点，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A相离B相切C相交D位置关系不确定【例3】已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数_.【例4】直线与曲线（ ）A没有交点B只有一个交点C有两个交点D有三个交点【例5】已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）ABCD【例6】已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_.【例7】若直线是抛物线的一条切线，则_【例8】已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【例9】过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）A1条B2条C3条D4条2.巩固提升综合练习【练习1】已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【练习2】对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.【练习3】过点和双曲线仅有一交点的直线有（）A1条B2条C4条D不确定【练习4】已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【练习5】已知抛物线，直线l过定点(-1,0)，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率是_.【练习6】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，过作直线与抛物线相切，切点为，则的面积为（ ）A32B16C8D4 三、直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题 【一】弦长公式弦长公式：（1）题设：若斜率为的直线与圆锥曲线方程有两个不同的交点，则或；（2）通径：过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：；过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：；（3）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则 ； ；（4）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则 ； ；1.例题【例1】斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.【例2】已知椭圆M：1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值【例3】椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求ABF2的面积【例4】已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为( )ABCD【例5】设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【例6】已知抛物线y216x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|6，则|BF|_.【例7】已知斜率为1的直线l与双曲线y21的右支交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为（ ）A yxByxCyxDyx【例8】过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为_.【例9】已知双曲线（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？2.巩固提升综合练习【练习1】已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值【练习2】已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（）求椭圆的离心率；（）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【练习3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为（1）若，求的方程；（2）若，求【练习4】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）ABCD【练习5】已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点.（1）求的轨迹；（2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积.【练习6】已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，双曲线C上有一点P，使得，求的面积；(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若的周长是，求直线l的方程【二】面积问题 面积问题：涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.(1)椭圆焦点三角形面积： (2)双曲线焦点三角形面积： (3)抛物线：题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则：.题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则： .1.例题【例1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （ ）ABCD【例2】已知点是抛物线：的焦点，直线与抛物线相切于点，连接交抛物线于另一点，过点作的垂线交抛物线于另一点.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形面积的最小值【例3】已知点，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为9，则_【例4】已知点A(0，2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.2.巩固提升综合练习【练习1】抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,垂足为K,则的面积是( )A4BCD8【练习2】已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，则的面积为_【练习3】如图所示,直线与椭圈交于AB两点,记面积为S;(1)求在,的条件下S的最大值;(2)当,时,求直线的方程;【练习4】已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成四边形的面积为4.（）求椭圆的标准方程；（）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.四、课后自我检测 1.已知直线与抛物线交于，两点，则等于（ ）AB6C7D82.已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A. B. C. D23.已知焦点在x轴上的椭圆C：y21(a0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_4.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（ ）A.B.C.D.5.若直线l交双曲线的左，右两支于A，B两点，O为坐标原点，若，则（ ）ABC2D36.已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7.已知双曲线的右焦点为F，过F做斜率为2的直线, 直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围_8.已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）ABC6D9.已知双曲线的虚轴长为，且离心率为(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求10.已知椭圆：，短轴长为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）若已知点,求的面积.11.已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.
