2021年高考数学之破解解析几何解答题——定值问题(2).docx

定值问题圆锥曲线中定值问题是近几年考试热点，对于过定点，弦长定值，面积定值，向量点乘积定值，向量比值为定值，向量长度为定值。需要找准条件，进行讨论，下面针对题目进行总结练习,典型例题例1、已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.（）求椭圆的标准方程；（）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（）（）斜率之和为定值【解析】试题分析：（）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程（）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQMN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t26=0，利用韦达定理可计算试题解析：（）设椭圆的标准方程为椭圆过点，所以， 将代入椭圆方程化简得：，来源:Z*xx*k.Com因为直线与椭圆相切，所以， 解可得，所以椭圆方程为； 来源:学科网ZXXK（）设点，则有，由题意可知，所以，设直线的方程为，来源:学科网代入椭圆方程并化简得：由题意可知，通分后可变形得到 将式代入分子，所以斜率之和为定值. 重点点拨定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.综合训练1已知， ，曲线上的任意一点满足： .（1）求点的轨迹方程；来源:Z#xx#k.Com（2）过点的直线与曲线交于， 两点，交轴于点，设， ，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点的轨迹方程；（）分类讨论，利用， ，结合韦达定理，即可得出结论试题解析：（1）设，则， ， ，化简得， 为所求点的轨迹方程.（2）设， .当直线与轴不重合时，设直线的方程为，则，从而， ，由得， ， ，同理由得，.由，得.， ，代入式得，.当直线与轴重合时， ， ， .来源:学科网ZXXK由， ，得， ，综上， 为定值.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2设P(x，y)是椭圆上的点，且点P的纵坐标y0，点A(5,0)，B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由【答案】【解析】设点P（x，y）是椭圆+=1上的点，则y2=16（1），则kPA=，kPB=，来源:Zxxk.ComkPAkPB=16××=故kPA×kPB（k为斜率）是定值，且为3已知椭圆 离心率等于，、是椭圆上的两点.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】（1）由题意可得，解得a4，b，c2椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当APQBPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的直线方程为y3k（x2），联立，得（3+4k2）x2+8k（32k）x+4（32k）2480同理直线PB的直线方程为y3k（x2），可得， ，AB的斜率为定值4已知A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有.（）求椭圆离心率；（）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定值为6【解析】（）当AC垂直于x轴时，故.（）由（）得椭圆的方程为，焦点坐标为. 当弦AC、AB的斜率都存在时，设，则AC所在的直线方程为，代入椭圆方程得.，.同理，当AC垂直于x轴时，则，这时；当AB垂直于x轴时，则，这时.综上可知是定值 6.考点：1、椭圆的概念及离心率；2、向量；3、根与系数关系5如图，点，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上非顶点的三点，直线的斜率分别为，且，（）求椭圆的方程；（）判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（）（）定值1【解析】试题解析：（）椭圆（）设直线的方程为，的面积为定值16已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点，且当线段的中点在轴上时，（）求该椭圆的离心率；（）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由来源:学,科,网【答案】（）;（）是定值【解析】（）当线段的中点在轴上时，垂直于轴，为直角三角形因为,所以,易知,由椭圆的定义（）由（）得椭圆方程为焦点坐标为（1）当 的斜率都存在时,设 ,则直线的方程为,代入椭圆方程得 又同理 10分（2）若轴,则，这时若轴,则这时也有综上所述,是定值67已知椭圆的右焦点为，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M，若 （为的面积，为的面积），问为定值吗？若为定值求出此定值，并证明你的结论，若不为定值说出你的理由【答案】（1），（2）为定值，此定值是10【解析】（1）因为椭圆过点所以又因为所以联立上面两个方程可解得：来源:学科网ZXXK所以椭圆的标准方程为（2）由题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为：利用图形之间的关系可得：，所以由可得：所以所以为定值，此定值是108已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）（2）是，定值.【解析】（1）由椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为，可得，即，解得，故椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，由，消可得，则，即，且，所以来源:学#科#网Z#X#X#K.又由点到直线的距离，所以.又因为，所以，化简整理可得，满足，代入，当直线的斜率不存在时，由于，考虑到，关于轴对称，不妨设，则点，的坐标分别为，此时，综上可得，的面积为定值.9已知椭圆：. （1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1），即，不妨令椭圆方程为，当时，得出，所以椭圆的方程为.（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，来源:Z&xx&k.Com联立方程得，即， 为定值.15