辽宁省名校联盟2024年第二学期高一期末考试模拟卷含答案.pdf

1 1 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用并使用完毕前启用并使用完毕前 测试时间：测试时间：年年 月月 日日 时时 分分 时时 分分 辽宁省名校联盟辽宁省名校联盟 2023-2024 学年第二学期学年第二学期高高一期一期末末考试考试模拟卷模拟卷 D（时间：（时间：120 分钟，满分：分钟，满分：150 分）分）一、选择题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数iz+=sincos（i为虚部单位），则|1|z的最大值为（）。A、1 B、2 C、2 D、4 2已知向量)2(ma，=，向量)11(，+=mb，且a与b方向相反，若向量)12(，=c，则a在c上的投影向量为（）。A、)5254(，B、)2121(，C、)2121(，D、)5254(，3某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒。现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）。A、24 B、36 C、72 D、144 4已知函数)63cos(2)(+=xxf在60a，上单调递减，则实数a的最大值为（）。A、32 B、34 C、23 D、35 5在ABC所在平面内一点P满足：PCPBPCPAPBPA=，则点P是ABC的（）。A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 6已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且1=ADBCAB、2=ACBD，ADBC，则球O的体积为（）。A、23 B、25 C、27 D、22 7已知函数1)2sin()(+=xxf（0）满足2)65()(=+xfxf，若+zz，则2221zz B、21221214)(|zzzzzz+=C、02221=+zz021=zz D、2121|zz=10已知函数2cos2cos)(+=xaxxf，则下列说法正确的是（）。A、当0=a时，函数)(xf的最小正周期为 B、当1=a时，函数)(xf的最小值为87 C、当3=a时，函数)(xf在20，内有4个零点 D、若函数)(xf在)30(，上单调递减，则2a 11正方体1111DCBAABCD 的棱长为2，O为底面ABCD的中心。P为线段11DA上的动点（不包括两个端点），则下列结论正确的是（）。A、不存在点P，使得/1BC平面APO B、此正方体的外接球表面积为12 C、存在P点，使得AOPO D、当P为线段11DA中点时，过A、P、O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为926 三、填空题：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则cbaSr+=2。类比这个结论可知：四面体ABCS 的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球半径为R，四面体ABCS 的体积为V，则=R 。13 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，CCBA2sincossinsin2=，则=+222cba ，角C的最大值为 。（本小题第一个空 2 分，第二个空 3 分）14 已知直四棱柱1111DCBAABCD 的所有棱长均为4，60=ABC，以A为球心、52为半径的球面与侧面11CCDD的交线长为 。四、解答题：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分13分）如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，2=PAAD，22=CD，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：/AF平面PCE；（2）求证：平面PCD平面PCE；（3）求四面体PEFC的体积。3 3 学科网（北京）股份有限公司 16（本小题满分15分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知4=B，caCb22cos4+=。（1）求Ctan；（2）若ABC的面积为23，求BC边上的中线长。17（本小题满分15分）如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1=OBPO。（1）若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；（2）求三棱锥ABCP 体积的最大值；（3）若2=BC，点E在线段PB上，求OECE+的最小值。4 4 学科网（北京）股份有限公司 18（本小题满分17分）如图所示，已知三棱柱111CBAABC 的底面是正三角形，侧面CCBB11是矩形，M、N分别为BC、11CB的中点，P为AM上一点。过11CB和P的平面交AB于E，交AC于F。（1）证明：MNAA/1，且平面AMNA1平面FCEB11；（2）设O为111CBA的中心，若/AO平面FCEB11，且ABAO=，求直线EB1与平面AMNA1所成角的正弦值。19（本小题满分17分）设函数1cos2)62sin()(2+=xxxf。（1）若23)(=f，20，求角；（2）若不等式022)62cos(2)(2+axaxf对任意的)612(，x时恒成立，求实数a的取值范围；（3）将函数)(xf的图像向左平移12个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m1，得到函数)(xg的图像，若存在非零常数，对任意Rx，有)()(xgxg=+成立，求实数m的取值范围。1 1 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用并使用完毕前启用并使用完毕前 测试时间：测试时间：年年 月月 日日 时时 分分 时时 分分 辽宁省名校联盟辽宁省名校联盟 2023-2024 学年第二学期学年第二学期高高一期一期末末考试考试模拟卷模拟卷 D（时间：（时间：120 分钟，满分：分钟，满分：150 分）分）一、选择题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数iz+=sincos（i为虚部单位），则|1|z的最大值为（）。A、1 B、2 C、2 D、4【答案】C【解析】由题意知：=+=+=cos22sin)1(cos|sin1cos|1|22iz，当1cos=时，|1|z的最大值为2，故选 C。2已知向量)2(ma，=，向量)11(，+=mb，且a与b方向相反，若向量)12(，=c，则a在c上的投影向量为（）。A、)5254(，B、)2121(，C、)2121(，D、)5254(，【答案】D【解析】由题意知)2(ma，=与)11(，+=mb共线，)1(12+=mm，解得1=m或2=m，又a与b方向相反，2=m，)22(=，a，又)12(，=c，a在c上的投影向量为)5254(5)12(51222|，=cccca，故选 D。3某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒。现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）。A、24 B、36 C、72 D、144【答案】C【解析】如图所示，由正六边形的每个内角为32，按虚线处折成高为3的正六棱柱，即3=BF，160tan=BFBE，正六棱柱底边边长4126=AB，正六棱柱体积7232344216=V，故选 C。4已知函数)63cos(2)(+=xxf在60a，上单调递减，则实数a的最大值为（）。A、32 B、34 C、23 D、35【答案】D 2 2 学科网（北京）股份有限公司【解析】当60ax 时，62636+ax，xycos=的单调递减区间为22+kk，（Zk），0626+，a，+62a，35a，实数a的最大值为35，故选 D。5在ABC所在平面内一点P满足：PCPBPCPAPBPA=，则点P是ABC的（）。A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心【答案】B【解析】ABC所在平面内一点P满足：PCPBPCPAPBPA=，则0)(=PCPBPA、0)(=PCPAPB、0)(=PBPAPC，即有0=CBPA、0=CAPB、0=ABPC，即有BCPA、ACPB、ABPC，则点P为ABC的垂心，故选 B。【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。6已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且1=ADBCAB、2=ACBD，ADBC，则球O的体积为（）。A、23 B、25 C、27 D、22【答案】A【解析】如图所示，1=BCAB、2=AC，则222ACBCAB=+，ABBC，又ADBC，BC平面ABD，1=ADAB、2=BD，222BDADAB=+，ADAB，还原成正方体，棱长为1，则外接球半径23=r，则球O的体积为=23343RV。7已知函数1)2sin()(+=xxf（0）满足2)65()(=+xfxf，若210 xx，且52)()(21=xfxf，则=)sin(12xx（）。A、523 B、54 C、54 D、523【答案】C【解析】2)65()(=+xfxf，2)125()125(=+xfxf，函数)(xf的图像关于点)1125(，中心对称，=+k65（Zk），即+=k65（Zk），又0，6=，1)62sin()(+=xxf，由210 xx得6136262621+xx，3 3 学科网（北京）股份有限公司 由52)()(21=xfxf得53)62sin()62sin(21=+=+xx，+262236221xx，54)62cos(1=+x、54)62cos(2=+x，)62sin()62sin()62cos()62cos()62()62cos()(2cos12121212+=+=xxxxxxxx 257)53()53()54(54=+=，120 xx，542)(2cos1)sin(1212=xxxx，故选 C。8在三棱锥BCDA中，已知22=ADCDBCAB，2=ADCABC，平面ABC平面ACD，且三棱锥BCDA的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），CFBE2=。当三棱锥ACFE 的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（）。A、B、23 C、2 D、25【答案】B【解析】如图所示，取AC的中点O，连接OB、OD、OF，2=ADCABC，ACODOCOBOA21=，即O为球心，则球O的半径2=R，又BCAB=，ACOB，又平面ABC平面ACD，平面ABC平面ACACD=，OB平面ABC，OB平面ACD，设xCF=，则22=xBE，20+zz，则2221zz B、21221214)(|zzzzzz+=C、02221=+zz021=zz D、2121|zz=【答案】ABC【解析】A 选项，取iz+=21、iz=22，则iiz43)2(221+=+=、iiz43)2(222=，满足062221=+zz，但21z与22z是两个复数，不能比较大小，错，B 选项，取iz+=21、iz=22，2|2|21=izz，而2016)2)(2(444)(221221=+=+iizzzz无意义，错，C 选项，取11=z、iz=2，则02221=+zz，但是01z、02z，错，D 选项，设biaz+=1（Rba、），则abibabiaz2)(22221+=+=，则222222222221)(4)(|babababaz+=+=+=，biaz=1，221|baz+=，2221|baz+=，2121|zz=，对，故选 ABC。10已知函数2cos2cos)(+=xaxxf，则下列说法正确的是（）。A、当0=a时，函数)(xf的最小正周期为 B、当1=a时，函数)(xf的最小值为87 C、当3=a时，函数)(xf在20，内有4个零点 D、若函数)(xf在)30(，上单调递减，则2a【答案】AB【解析】A 选项，当0=a时，22cos)(+=xxf，)(xf的最小正周期为，对，B 选项，当1=a时，8787)41(cos21coscos22cos2cos)(22+=+=+=xxxxxxf，当且仅当41cos=x时取最小值，)(xf的最小值为87，对，C 选项，当3=a时，)1(cos)1cos2(1cos3cos22cos32cos)(2+=+=+=xxxxxxxf，令0)(=xf，解得21cos=x或1cos=x，又20，x，32=x或34=x或=x，)(xf在20，内有3个零点，错，D 选项，1coscos22cos2cos)(2+=+=xaxxaxxf，设xtcos=，xtcos=在)30(，内单调递减，且当)30(，x时，)121(，t，根据复合函数的单调性，12)(2+=tattg在)121(，内单调递增，5 5 学科网（北京）股份有限公司 对称轴214a，解得2a，错，故选 AB。11正方体1111DCBAABCD 的棱长为2，O为底面ABCD的中心。P为线段11DA上的动点（不包括两个端点），则下列结论正确的是（）。A、不存在点P，使得/1BC平面APO B、此正方体的外接球表面积为12 C、存在P点，使得AOPO D、当P为线段11DA中点时，过A、P、O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为926【答案】ABD【解析】假设存在点P，使得/1BC平面APO，在11CB上取点Q，使得PAQB11=，又PAQB11/，四边形QPBA11为平行四边形，11BA/PQ，又11BA/AB，四边形ABQP为平行四边形，BQAP/，又BQ平面APO，AP平面APO，/BQ平面APO，又/1BC平面APO，BBQBC=1，1BC、BQ平面CCBB11，平面/APO平面CCBB11，与已知矛盾，不存在点P，使得/1BC平面APO，A 选项对，此正方体的外接球的球心为1BD的中点，外接球的半径3=R，此正方体的外接球表面积=1242RS，B 选项对，假设存在P点，使得AOPO，在线段AD上取点1P使得PAAP11=，设xAP=1，则24xAP+=，4cos22221+=xxOP，622+=xxPO，AOPO，222AOPOAP+=，262422+=+xxx，解得2=x，与已知矛盾，C 选项错，取11DC的中点E，连接PE交11DB与点F，P为线段11DA中点，11/CAPE，又11/CAAC，ACPE/，过A、P、O三点的平面为平面ACEP，取11DB的中点1O，过1O作FOHO1，垂足为H，又AC平面DDBB11，HO1平面DDBB11，HOAC1，OACFO=，FO、AC平面ACEP，HO1平面ACEP，过球心2O作HOHO112/，则12HO平面ACEP，此正方体的外接球的球心到截面ACEP的距离为12HO的长，又221=FO、21=OO、223=FO，FOHOOOFO=111，321=HO，6 6 学科网（北京）股份有限公司 2O为1OO的中点，312=HO，截面圆的半径为326)31(32=，截面圆的面积926)326(2=S，D 选项错，故选 ABD。三、填空题：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则cbaSr+=2。类比这个结论可知：四面体ABCS 的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球半径为R，四面体ABCS 的体积为V，则=R 。【答案】43213SSSSVR+=【解析】rcbaS)(21+=，则cbaSr+=2，同理RSSSSV)(314321+=，则43213SSSSVR+=。13 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，CCBA2sincossinsin2=，则=+222cba ，角C的最大值为 。（本小题第一个空 2 分，第二个空 3 分）【答案】2 3【解析】在ABC中，=+CBA，由题意及正弦定理得2cos2cCab=，abcC2cos2=，又由余弦定理得abcabcbaC22cos2222=+=，2222ccba=+，2222=+cba，214242cos22222=+=+=abababbaabcbaC，当且仅当ba=时取得最大值，又)0(，C，3C，角C的最大值为3。14 已知直四棱柱1111DCBAABCD 的所有棱长均为4，60=ABC，以A为球心、52为半径的球面与侧面11CCDD的交线长为 。【答案】2【解析】如图所示，取1CC、1DD、CD的中点E、F、G，连接AC、AG、AE、AF、FG、EG，ACD为等边三角形，G为CD的中点，CDAG，在直四棱柱1111DCBAABCD 中有1CC平面ABCD，AG平面ABCD，AGCC 1，又CCCCD=1，CD、1CC平面11CCDD，AG平面11CCDD，结合球的性质可知G为该截面圆的圆心，7 7 学科网（北京）股份有限公司 直四棱柱1111DCBAABCD 的所有棱长均为4，60=ABC，90=EGF，32=AG、52=AFAE、22=EG，以A为球心、52为半径的球面与侧面11CCDD的交线为：以G为圆心、22为半径的圆所成的圆弧EF，=222241241rlEF弧。四、解答题：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分13分）如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，2=PAAD，22=CD，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：/AF平面PCE；（2）求证：平面PCD平面PCE；（3）求四面体PEFC的体积。【解析】（1）证明：设G为PC的中点，连接FG、EG，E、F分别是AB、PD的中点，FG/CD21，AE/CD21，FG/AE，四边形AFGE为平行四边形，GEAF/，2 分 AF平面PCE，GE平面PCE，/AF平面PCE；3 分（2）证明：2=PAAD，PDAF，又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，5 分 ADCD，AADPA=，PA、AD平面PAD，CD平面PAD，6 分 AF平面PAD，AFCD，DCDPD=，PD、CD平面PCD，AF平面PCD，GE平面PCD，8 分 GE平面PCE，平面PCE平面PCD；9 分（3）由（2）知，GE平面PCD，GE为四面体PEFC的高，又CDGF/，PDGF，2=AFGE，221=CDGF，221=GFPDSPCF，四面体PEFC的体积32231=GESVPCF。13 分 16（本小题满分15分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知4=B，caCb22cos4+=。（1）求Ctan；（2）若ABC的面积为23，求BC边上的中线长。【解析】（1）在ABC中，=+CBA，由题意及正弦定理得CACBsin2sin2cossin4+=，1 分 又4=B，CCCCCcos2sin22sin2)4sin(2cos22+=+=，CCcossin2=，3 分 8 8 学科网（北京）股份有限公司 又0sinC，0cosC，21cossintan=CCC；4 分（2）由题意可知232221sin21=acBacSABC，23=ac，5 分 又31tan1tan)4tan(tan=+=+=CCCA，A为钝角，3cossintan=AAA且1cossin22=+AA，解得10103sin=A、1010cos=A，7 分 21cossintan=CCC且1cossin22=+CC，解得55sin=C、552cos=C，8 分 由正弦定理CcAasinsin=可得321010355sinsin=ACac，又23=ac，3=a、2=c，10 分 由正弦定理CcBbsinsin=可得525522sinsin=cCBb，11 分 设BC的中点为D，则)(21ACABAD+=，12 分 454)1010(522524cos2)(412222=+=+=+=AbccbACABAD，BC边上的中线长为25。15 分 17（本小题满分15分）如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1=OBPO。（1）若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；（2）求三棱锥ABCP 体积的最大值；（3）若2=BC，点E在线段PB上，求OECE+的最小值。【解析】（1）证明：在AOC中，OCOA=，D为AC的中点，ACOD，1 分 又PO垂直于圆O所在的平面，AC圆O所在的平面，ACPO，2 分 OPODO=，DO、PO平面PDO，AC平面PDO；3 分（2）解：点C是圆O上，当ABCO 时，C到AB的距离最大，且最大值为半径1，又2=AB，ABC的面积的最大值为11221=，5 分 又三棱锥ABCP 的高1=PO，三棱锥ABCP 体积的最大值为311131=；7 分 9 9 学科网（北京）股份有限公司（3）解：在POB中，1=OBPO，90=POB，21122=+=PB，同理2=PC，2=BCPCPB，10 分 在三棱锥ABCP 中，将侧面BCP绕PB旋转至平面PCB，使之与平面ABP共面，当O、E、C共线时，OECE+取得最小值，13 分 又OBOP=，BCPC=，CO 垂直平分PB，即E为PB中点，2622622+=+=+=CEOECO，即OECE+的最小值为262+。15分 18（本小题满分17分）如图所示，已知三棱柱111CBAABC 的底面是正三角形，侧面CCBB11是矩形，M、N分别为BC、11CB的中点，P为AM上一点。过11CB和P的平面交AB于E，交AC于F。（1）证明：MNAA/1，且平面AMNA1平面FCEB11；（2）设O为111CBA的中心，若/AO平面FCEB11，且ABAO=，求直线EB1与平面AMNA1所成角的正弦值。【解析】（1）M、N分别为BC，11CB的中点，1/BBMN，又11/BBAA，MNAA/1，2 分 在ABC中，M为BC中点，则AMBC，又侧面CCBB11为矩形，1BBBC，1/BBMN，BCMN，4 分 由MAMMN=，AMMN、平面AMNA1，BC平面AMNA1，又BCCB/11，且11CB平面ABC，BC平面ABC，/11CB平面ABC，6 分 又11CB平面FCEB11，且平面FCEB11平面EFABC=，EFCB/11，BCEF/，又BC平面AMNA1，EF平面AMNA1，EF平面FCEB11，平面FCEB11平面AMNA1；8 分（2）连接NP，/AO平面FCEB11，平面AONP平面NPFCEB=11，NPAO/，根据三棱柱上下底面平行，平面NMAA1平面AMABC=，平面NMAA1平面NACBA111=，APON/，四边形ONPA是平行四边形，10 分 设ABC边长是m6（0m），可得：APON=，mABAONP6=，O为111CBA的中心，且111CBA边长为m6，mON360sin631=，mAPON3=，1010 学科网（北京）股份有限公司 BCEF/，BMEPAMAP=，3333EPm=，解得mEP=，13 分 在11CB截取mEPQB=1，mQN2=，EPQB=1且EPQB/1，四边形QPEB1是平行四边形，PQEB/1，15 分 由（1）11CB平面AMNA1，QPN为EB1与平面AMNA1所成角，在QPNRt，根据勾股定理可得：mmmPNQNPQ102)6()2(2222=+=+=，10101022sin=mmPQQNQPN，直线EB1与平面AMNA1所成角的正弦值为1010。17 分 19（本小题满分17分）设函数1cos2)62sin()(2+=xxxf。（1）若23)(=f，20，求角；（2）若不等式022)62cos(2)(2+axaxf对任意的)612(，x时恒成立，求实数a的取值范围；（3）将函数)(xf的图像向左平移12个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m1，得到函数)(xg的图像，若存在非零常数，对任意Rx，有)()(xgxg=+成立，求实数m的取值范围。【解析】（1）)62sin(2cos212sin232cos6sin2cos6cos2sin)(+=+=+=xxxxxxxf，2 分 23)62sin()(=+=f，又20，67626+，362=+或3262=+，12=或4=；4 分（2）22)62cos(2)62(sin22)62cos(2)(22+=+axaxaxaxf 12)62cos(2)62(cos2+=axax，6分 令)62cos(+=xt，612x，2620+x，1)62cos(0+x，即)10(，t，原式可化为12)(122)(222+=+=aaataatttg，7 分 当0a时，只需012)0(=ag，解得21a，即021a，当10 a时，只需012)(2=aaag，解得2121+a，即10 a，当1a时，只需01221)1(+=aag，解得Ra，即1a，综上所述，实数a的取值范围为)21+，；9 分（3）)62sin()(+=xxf，1111 学科网（北京）股份有限公司 将)(xf的图像向左平移12个单位，得到)32sin(6)12(2sin+=+=xxy，)32sin(+=xy的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的m1，得到)32sin()(+=mxxg，11 分)322sin()(+=+mmxxg，Rx，)(+xg的值域为 11，)32sin()(+=mxxg，Rx，)(xg的值域为，若存在非零常数，对任意Rx，有)()(xgxg=+成立，则1=，13 分 当1=时，)()1(xgxg=+，)(xg的一个周期为1，即1为)(xg的最小正周期T的整数倍，mk=1，即=km，Zk且0k，15 分 当1=时，)()1(xgxg=，)32sin()32sin()322sin(+=+=+mxmxmmx，+=)12(2nm，即2)12(+=nm，Zn。17 分