考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点一 解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式（二）解含参数的一元二次不等式考点二 解其他不等式（一）指数不等式（二）对数不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）绝对值不等式（六）高次不等式考点三 由一元二次不等式的解确定参数考点四 一元二次不等式的恒成立（有解）问题（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题（三）给定参数范围求范围的恒成立问题（四）一元二次不等式在某区间有解问题考点五 一元二次方程根的分布问题考点六 一元二次不等式的实际应用1.一元二次不等式的解法二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.2.解一元二次不等式的方法和步骤3.解含参数的一元二次不等式的步骤4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.当时,; 当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 5简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a(a，a)|x|>a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)(4)；(5)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了 n+1个区间。（3）画穿根线由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为 的解集。8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或9.由一元二次不等式的解确定参数（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推10.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2bxc<0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足.注：已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式则可以转化为函数值域求解设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立k<m，kf(x)恒成立km.(2)k>f(x)恒成立k>M，kf(x)恒成立kM.11.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：。12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解13.一元二次方程的根的分布问题解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.考点一 解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式1（2023·全国·模拟预测）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ）AB（3,4）CD2（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（    ）ABCD3（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（    ）ABC8D6（二）解含参数的一元二次不等式4（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式5（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：6（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式7（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式8（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式9（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式10（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.11（2023·全国·高三专题练习）已知，若，解关于x的不等式；12（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ）ABCD13（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是_.14（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_.考点二 解其他不等式（一）指数不等式15（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，则（    ）ABCD16（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（    ）ABCD17（2023·全国·高三专题练习）设全集为，集合，则（    ）ABC或D（二）对数不等式18（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则（   ）A BCD19（2023·全国·模拟预测）若集合，则（    ）ABCD20（2023·江西鹰潭·二模）设集合，集合，则（    ）ABCD21（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（    ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件22（2023·全国·高三专题练习）设集合，则（    ）ABCD（三）分式不等式23（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_.24（2023·安徽·校联考三模）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ）A14B15C30D6225（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为_.26（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则_27（2023·上海·统考模拟预测）不等式的解集是_.（四）根式不等式28（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知集合，则（    ）ABCD29（2023·全国·高三对口高考）不等式的解集为_30（2023·全国·模拟预测）已知集合，则（    ）ABCD（五）绝对值不等式31（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（    ）ABCD32（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，则（    ）ABCD33（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（    ）A充分不必要条件；B必要不充分条件；C充要条件；D既不充分也不必要条件34（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知(1)若，求的取值范围；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围35（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围（六）高次不等式36（2023·全国·高三专题练习）解不等式：37（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是_38（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)39（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式的解集为_.40（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）不等式的解集为_考点三 由一元二次不等式的解确定参数41（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）ABCD42（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）ABC 或D或43（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ）AB不等式的解集为CD不等式的解集为44【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的的解集是，则（    ）ABC关于的不等式的解集是D的最小值是45（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、从小到大的排列是(    )ABCD46（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（    ）ABC若关于x的不等式的解集为，则D若关于x的不等式的解集为，且，则47（2023·全国·高三对口高考）关于的不等式的解集为，且，则_48（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_49（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ）A9B8C6D450（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ）ABCD考点四 一元二次不等式的恒成立（有解）问题（一） 一元二次不等式在R上的恒成立问题51（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ）ABCD52（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_53（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（    ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件54（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）ABC或D或55【多选】（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）ABCD56（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ）ABCD57（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是_，的最小值为_58（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（    ）AB，或CD，或59（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(    )ABCD（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题60（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_.61（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式；(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围62（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ）ABCD63（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（      ）ABCD（三）给定参数范围求范围的恒成立问题64（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_.65（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）ABCD66（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是_67（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为_68（2023·全国·高三专题练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ）ABCD（四）一元二次不等式在某区间有解问题69（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ）ABCD70（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ）ABCD71（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是_72（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（    ）ABC）D73（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）ABCD考点五 一元二次方程根的分布问题74（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ）ABCD75（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为_76（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）ABCD77（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为_78（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）ABCD79（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ）A-2BCD180【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2(m3)xm0，下列结论正确的是（    ）A方程x2(m3)xm0有实数根的充要条件是mm|m<1或m>9B方程x2(m3)xm0有一正一负根的充要条件是mm|m<0C方程x2(m3)xm0有两正实数根的充要条件是mm|0<m1D方程x2(m3)xm0无实数根的必要条件是mm|m>181（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.82（2023·高三课时练习）设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围83（2023·全国·高三专题练习）已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是_考点六 一元二次不等式的实际应用84（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ）ABCD85（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ）ABCD86（2023·全国·高三专题练习）某地每年销售木材约20万，每立方米的价格为2400元为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是_87（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？考点04 一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类考点一 解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式（二）解含参数的一元二次不等式考点二 解其他不等式（一）指数不等式（二）对数不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）绝对值不等式（六）高次不等式考点三 由一元二次不等式的解确定参数考点四 一元二次不等式的恒成立（有解）问题（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题（三）给定参数范围求范围的恒成立问题（四）一元二次不等式在某区间有解问题考点五 一元二次方程根的分布问题考点六 一元二次不等式的实际应用1.一元二次不等式的解法二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.2.解一元二次不等式的方法和步骤3.解含参数的一元二次不等式的步骤4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.当时,; 当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解. 5简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a(a，a)|x|>a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)(4)；(5)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了 n+1个区间。（3）画穿根线由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为 的解集。8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或9.由一元二次不等式的解确定参数（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推10.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2bxc<0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集为R)时，满足.注：已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足含参数的一元二次不等式恒成立若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式则可以转化为函数值域求解设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立k<m，kf(x)恒成立km.(2)k>f(x)恒成立k>M，kf(x)恒成立kM.11.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：。12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解13.一元二次方程的根的分布问题解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.考点一 解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式1（2023·全国·模拟预测）设集合，若，则实数a的取值范围是（    ）AB（3,4）CD【答案】B【分析】根据集合的包含关系列出关于a的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合，因为，所以，（注意端点值是否能取到），解得，故选：B2（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（    ）ABCD【答案】C【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集运算知识即可求出的值.【详解】，.故选：C.3（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（    ）ABC8D6【答案】C【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.【详解】由，可得或，即或，而，可得.故选：C（二）解含参数的一元二次不等式4（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】答案见解析【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集.【详解】由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；5（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：【答案】答案见解析.【分析】对分三种情况讨论得解.【详解】由得或.当，即时，不等式解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为6（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式的解集即可.【详解】依题意，且，所以，且，解得，所以原不等式的解集为7（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】答案见解析【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可.【详解】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，若，即时，解集为或；若，即时，解集为；若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或.8（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】答案见解析【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可.【详解】由对应函数开口向上，且，当，即时，恒成立，原不等式解集为；当，即或时，由，可得，所以原不等式解集为；综上，解集为；或解集为.9（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】见解析【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.【详解】方程： 且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述, 当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：10（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.【答案】答案见解析【分析】（1）对分五种情况讨论得解；（2）对分五种情况讨论得解；（3）对分五种情况讨论得解；（4）对分三种情况讨论得解；（5）对分六种情况讨论得解；（6）对分五种情况讨论得解；（7）对分四种情况讨论得解.【详解】（1）当时，不等式为，解集为；时，不等式分解因式可得当时，故，此时解集为；当时，故此时解集为；当时，可化为，又解集为；当时，可化为，又解集为.综上有，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为（2）把化简得，当时，不等式的解为当，即，得，此时，不等式的解为或当，即，得或，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为，当，得，此时，解得且，综上所述，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为且，当时，不等式的解为或，（3），时，可得；时，可得若，解可得，或；若，则可得，当即时，解集为，；当即时，解集为，；当即时，解集为.（4）不等式可化为.当时，解集为，或；当时，解集为；当时，解集为，或.综上所述，当时，原不等式的解集为，或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，或.（5）当时，不等式即，解得.当时，对于方程，令，解得或；令，解得或；令，解得或，方程的两根为.综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（6）原不等式可变形为.当时，则有，即，解得；当时，解原不等式得或；当时，.（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；（ii）当时，即当时，解原不等式得；（iii）当时，即当时，解原不等式可得.综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为x|x<2.（2）当a>0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2.当0<a<1时，>2，所以原不等式的解集为或；当a=1时，=2，所以原不等式的解集为x|x2；当a>1时，<2，所以原不等式的解集为或.（3）当a<0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2，则<2，所以原不等式的解集为.综上，a<0时，原不等式的解集为；a=0时，原不等式的解集为x|x<2；0<a1时，原不等式的解集为或；当a>1时，原不等式的解集为或.11（2023·全国·高三专题练习）已知，若，解关于x的不等式；【答案】答案见解析【分析】根据题意求出，用把表示出来，然后对分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案.【详解】解：因为，所以，又因，所以，所以，则不等式即为，即，若，则不等式的解集为；若，则不等式的解集为；若，当时，则不等式的解集为；当时，则不等式的解集为；当时，则不等式的解集为；12（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ）ABC