解三角形--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编含答案.pdf

水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢解三角形解三角形一、单选题一、单选题1(全国甲卷数学(理)(文)在ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B=3，b2=94ac，则sinA+sinC=()A.32B.2C.72D.32二、填空题二、填空题2(新高考上海卷)已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足BAC=16.5,DAC=37，则BCA=(精确到0.1度)三、解答题三、解答题3(新课标全国卷)记ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab(1)求B；(2)若ABC的面积为3+3，求c4(新课标全国卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2(1)求A(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求ABC的周长5(新高考北京卷)在ABC中，a=7，A为钝角，sin2B=37bcosB(1)求A；(2)从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求ABC的面积b=7；cosB=1314；csinA=5231解三角形-2024年高考真题和模拟题数学好题汇编水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分6(新高考天津卷)在ABC中，cosB=916，b=5，ac=23(1)求a；(2)求sinA；(3)求cos B-2A一、单选题一、单选题1(2024江西赣州二模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a2-1=c c-1，则A=()A.3B.23C.6D.562(2024山西太原三模)已知ABC 中，A=120，D是BC的中点，且 AD=1，则ABC 面积的最大值()A.3B.2 3C.1D.23(2024贵州遵义三模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为AC的中点，已知c=2，BD=72，且acosB+bcosA=-2ccosB，则ABC的面积为()A.2 3B.32C.3D.3 324(2024宁夏银川三模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sinC=14，若ABC有两解，则c的取值可能为()A.3B.4C.5D.65(2024河北秦皇岛二模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosAa+cosBb=sinCc，13b2+13c2=10bc+13a2，则tanB的值为()A.712B.34C.127D.436(2024北京东城二模)在ABC中，A=4，C=712，b=2，则a=()A.1B.2C.3D.22水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢7(2024海南海口二模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2-3c2，则tanAtanB=()A.32B.-12C.23D.-28(2024河南三模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ba+c=1-sinCsinA+sinB，a=3，b=2 2，则sinB的值为()A.12B.35C.32D.639(2024青海二模)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB+bsinA=c,a=2 10，a2+b2-c2=absinC，则()A.tanC=1B.A=3C.b=6 2D.ABC的面积为12 210(2024安徽合肥二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tanA+1tanB+1tanAtanB=1则ABC面积的最大值为()A.1+2B.1+3C.2 2D.2 311(2024广东韶关二模)在ABC中，tanA=14,tanB=35若ABC的最长边的长为17则最短边的长为()A.2B.3C.2D.512(2024湖北黄石三模)若ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=60，a=3，则sinA+sinB-sinCa+b-c=()A.2 3B.36C.16D.6二、多选题二、多选题13(2022广东佛山一模)在ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，设BC边上的中点为M，ABC的面积为S，其中a=2 3，b2+c2=24，下列选项正确的是()A.若A=3，则S=3 3B.S的最大值为3 3C.AM=3D.角A的最小值为33水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢14(2024广东广州二模)在梯形ABCD中，ABCD,AB=1,CD=3,cosDAC=24,cosACD=34，则()A.AD=3 22B.cosBAD=-24C.BA AD=-34D.ACBD15(2024浙江三模)已知 ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且23asin2A+C2=bsinA，下列结论正确的是()A.B=3B.若 a=4，b=5，则 ABC 有两解C.当a-c=33b时，ABC 为直角三角形D.若 ABC 为锐角三角形，则 cosA+cosC 的取值范围是32,1 16(2024贵州黔南二模)已知锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ABC的面积为34a2+c2-b2.则下列说法正确的是()A.B=3B.A的取值范围为6,2C.若b=3，则ABC的外接圆的半径为2D.若a=3，则ABC的面积的取值范围为3 38,3 3217(2024新疆二模)如图，在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB，且3 acosB+bcosA=2csinC，D是ABC外一点且B、D在直线AC异侧，DC=2，DA=6，则下列说法正确的是()A.ABC是等边三角形B.若AC=2 13，则A，B，C，D四点共圆C.四边形ABCD面积的最小值为10 3-12D.四边形ABCD面积的最大值为10 3+1218(2024河北三模)已知ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，A=2B，则()4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.a2=c b+cB.bc+a2b2的最小值为3C.若ABC为锐角三角形，则cb 1,2D.若a=2 6，b=3，则c=5三、填空题三、填空题19(2024湖南长沙三模)在ABC，已知2AB AC=3 AB AC=3BC 2，BC.则sinC=.20(2024四川雅安三模)已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=2,DA=2 3，设ABD与BCD的面积分别为S1,S2，则S21+S22的最大值为.21(2024江西二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=b 2+cosA，若ABC的面积等于4 3，则ABC的周长的最小值为22(2024河南三模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=60，c=7，若a-b=3,D为AB中点，则CD=23(2024四川成都三模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2=2ac且sinC=2sinA，则cosA 的值为24(2024江苏二模)设钝角ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=2，bsinA=3，c=3，则b=.四、解答题四、解答题25(2024北京三模)在ABC中，ba=105,cosA=1010.(1)求证ABC为等腰三角形;(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一，求b的值.条件：B=6;条件：ABC的面积为152;条件：AB边上的高为3.5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢26(2024湖南衡阳三模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且ccosB+2acosA+bcosC=0(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与ABC构成一个四边形ABDC，且BDC=3，若c=b=2，求AD的最大值27(2024天津二模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cosB ccosB+bcosC+12a=0.(1)求角B的大小；(2)若b=7,a+c=8,a0，则sinA+sinC=72.故选：C.二、填空题二、填空题2(新高考上海卷)已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足BAC=16.5,DAC=37，则BCA=(精确到0.1度)【答案】7.8【分析】设BCA=，在DCA和BCA中分别利用正弦定理得到CAsinD=CDsinCAD，CAsin+16.51水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢=CBsin16.5，两式相除即可得到答案.【详解】设BCA=,ACD=90-，在DCA中，由正弦定理得CAsinD=CDsinCAD，即CAsin 180-90-+37.0=CDsin37.0即CAsin 90-+37.0=CDsin37.0在BCA中，由正弦定理得CAsinB=CBsinCAB，即CAsin 180-+16.5=CBsin16.5，即CAsin+16.5=CBsin16.5，因为CD=CB，得sin 90-+37.0sin+16.5=sin37.0sin16.5，利用计算器即可得7.8，故答案为：7.8.三、解答题三、解答题3(新课标全国卷)记ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab(1)求B；(2)若ABC的面积为3+3，求c【答案】(1)B=3(2)2 2【分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sinC=2cosB得cosB的值即可；(2)首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC，对比已知a2+b2-c2=2ab，可得cosC=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22，因为C 0,，所以sinC0，从而sinC=1-cos2C=1-222=22，又因为sinC=2cosB，即cosB=12，注意到B 0,，所以B=3.(2)由(1)可得B=3，cosC=22，C 0,，从而C=4，A=-3-4=512，2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢而sinA=sin512=sin4+6=2232+2212=6+24，由正弦定理有asin512=bsin3=csin4，从而a=6+242c=3+12c,b=322c=62c，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为SABC=12absinC=123+12c62c22=3+38c2，由已知ABC的面积为3+3，可得3+38c2=3+3，所以c=2 2.4(新课标全国卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2(1)求A(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求ABC的周长【答案】(1)A=6(2)2+6+3 2【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinA+3cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；(2)先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.【详解】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)由sinA+3cosA=2可得12sinA+32cosA=1，即sin A+3=1，由于A(0,)A+33,43，故A+3=2，解得A=6方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到：4cos2A-4 3cosA+3=0(2cosA-3)2=0，解得cosA=32，又A(0,)，故A=6方法三：利用极值点求解设 f(x)=sinx+3cosx(0 x)，则 f(x)=2sin x+3(0 x0，则根据余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即25=4t2+9t2-22t3t916，解得t=2(负舍)；则a=4,c=6.(2)法一：因为B为三角形内角，所以sinB=1-cos2B=1-9162=5 716，再根据正弦定理得asinA=bsinB，即4sinA=55 716，解得sinA=74，法二：由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=52+62-42256=34，因为A 0,，则sinA=1-342=74(3)法一：因为cosB=9160，且B 0,，所以B 0,2，由(2)法一知sinB=5 716，因为ab，则A0，所以cosB=-12，7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢又B 0,，所以B=23，在ABC中，D为AC的中点，则BD=12BA+BC，则BD 2=14BA+BC 2=14BA 2+BC 2+2BA BC，即74=144+a2-2a，解得a=3(a=-1舍去)，所以SABC=122332=3 32.故选：D.4(2024宁夏银川三模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sinC=14，若ABC有两解，则c的取值可能为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】由题意可得asinCca，计算即可得.【详解】由题意可得asinCca，即1c4.故选：A.5(2024河北秦皇岛二模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosAa+cosBb=sinCc，13b2+13c2=10bc+13a2，则tanB的值为()A.712B.34C.127D.43【答案】C【分析】先利用正弦定理化边为角，得出1tanA+1tanB=1，再利用余弦定理求出角A即可得解.【详解】因为cosAa+cosBb=sinCc，由正弦定理得cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC，所以1tanA+1tanB=1，又13b2+13c2=10bc+13a2，则b2+c2-a2=1013bc，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=513，又A 0,，所以sinA=1-cos2A=1213，8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢所以tanA=125，所以tanB=127.故选：C.6(2024北京东城二模)在ABC中，A=4，C=712，b=2，则a=()A.1B.2C.3D.2【答案】D【分析】由题意可得：B=6，结合正弦定理运算求解.【详解】由题意可得：B=-A-C=6，由正弦定理asinA=bsinB可得a=bsinAsinB=2 2212=2.故选：D.7(2024海南海口二模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2-3c2，则tanAtanB=()A.32B.-12C.23D.-2【答案】B【分析】利用余弦定理将条件式化简得-c=acosB，再根据正弦定理和三角变换可得2sinAcosB=-cosAsinB，求得答案.【详解】由a2=b2-3c2，可得a2+c2-b2=-2c2，由余弦定理可得-2c2=2accosB，即-c=acosB，由正弦定理得-sinC=sinAcosB，即-sin A+B=sinAcosB，化简得2sinAcosB=-cosAsinB，即得tanAtanB=-12.故选：B.8(2024河南三模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ba+c=1-sinCsinA+sinB，a=3，b=2 2，则sinB的值为()A.12B.35C.32D.63【答案】D【分析】由正弦定理化简已知式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理即可求出A，由正弦定理可求出sinB的值.【详解】由ba+c=1-sinCsinA+sinB及正弦定理，得ba+c=1-ca+b，可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12，又0A0，所以sinA=cosA，即tanA=1.因为A 0,，所以A=4，故B错误；因为tanC=2，所以cosC0且sinC=2cosC，代入sin2C+cos2C=1，可得5cos2C=1，解得cosC=55，sinC=2 55.因为a=2 10，A=4，sinC=2 55，所以由正弦定理可得c=asinCsinA=2 10 2 5522=8，由a2+b2-c2=absinC，可得 2 102+b2-82=2 10b2 55，化简可得b2-4 2b-24=0，解得b=6 2 或b=-2 2(舍)，故C正确；SABC=12bcsinA=126 2 822=24，故D错误.故选：C.10(2024安徽合肥二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tanA+1tanB+1tanAtanB=1则ABC面积的最大值为()A.1+2B.1+3C.2 2D.2 310水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【答案】A【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角 C的大小，再由余弦定理及基本不等式可得ab的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值【详解】因为1tanA+1tanB+1tanAtanB=1，可得tanA+tanB+1=tanAtanB，即sinAcosA+sinBcosB+1=sinAsinBcosAcosB，整理可得sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinAsinB，即sin(A+B)=-cos(A+B)，在三角形中sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，即sinC=cosC，C 0,可得C=4；由余弦定理可得c2=b2+a2-2abcos42ab-2ab，当且仅当a=b时取等号，而c=2，所以ab42-2=2(2+2)，所以SABC=12absinC122(2+2)22=1+2即该三角形的面积的最大值为1+2故选：A11(2024广东韶关二模)在ABC中，tanA=14,tanB=35若ABC的最长边的长为17则最短边的长为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【分析】求出tanC=-10，C为钝角，故c=17，确定ab，求出sinA,sinC，由正弦定理求出答案.【详解】因为tanC=-tan A+B=-tanA+tanB1-tanAtanB=-14+351-1435=-10,tanB0，故A,B为锐角，C为钝角，故c=17，因为y=tanx在x 0,2上单调递增，tanAtanB，故AB，所以ab，又tanA=sinAcosA=14，sin2A+cos2A=1，解得sinA=117，同理可得sinC=22，由正弦定理得asinA=csinC，即a117=1722，解得a=2.故选：A12(2024湖北黄石三模)若ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=60，a=3，11水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢则sinA+sinB-sinCa+b-c=()A.2 3B.36C.16D.6【答案】B【分析】根据正弦定理和比例的性质可得sinAa=sinA+sinB-sinCa+b-c，可得结果.【详解】在ABC中，B+C=60，所以A=120，所以sinAa=sin1203=36，由正弦定理以及比例的性质可得：sinA+sinB-sinCa+b-c=sinAa=36.故选：B二、多选题二、多选题13(2022广东佛山一模)在ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，设BC边上的中点为M，ABC的面积为S，其中a=2 3，b2+c2=24，下列选项正确的是()A.若A=3，则S=3 3B.S的最大值为3 3C.AM=3D.角A的最小值为3【答案】ABC【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判断C选项.【详解】选项A，若A=3，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得12=24-bc，所以bc=12，则三角形面积S=12bcsinA=121232=3 3，A正确；选项B，由基本不等式可得24=b2+c22bc，即bc12，当且仅当b=c=2 3 时，等号成立，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=24-122bc=6bc，则S=12bcsinA=12bc 1-cos2A=12bc2-36 12122-36=3 3，B正确；选项C，因为BC边上的中点为M，所以AM=12AB+AC，而a2=b2+c2-2bccosA，即12=24-2bccosA，则bccosA=6，所以 AM=12AB 2+AC 2+2 AB AC cosA=12b2+c2+2bccosA=1224+26=3，故C正确；选项D，因为24=b2+c22bc，即bc12，12水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢所以由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=122bc=6bc12，又0A，且函数y=cosx在 0,上单调递减，所以0A3，D错误.故选：ABC.14(2024广东广州二模)在梯形ABCD中，ABCD,AB=1,CD=3,cosDAC=24,cosACD=34，则()A.AD=3 22B.cosBAD=-24C.BA AD=-34D.ACBD【答案】ABD【分析】在ACD中由正弦定理求解AD判断A；利用两角和差公式求解cosADC判断B；利用向量数量积计算BA AD 判断C；利用数量积计算AC BD=0判断D【详解】在ACD中，cosDAC=24,cosACD=34，则sinDAC=144,sinACD=74，由正弦定理知ADsinACD=CDsinDAC，即AD=CDsinACDsinDAC=374144=3 22，故A正确；cosADC=cos-DAC-ACD=-cos DAC+ACD=sinDACsinACD-cosDACcosACD=14474-2434=24，ABCD,BAD=-ADC，cosBAD=cos-ADC=-cosADC=-24，故B正确；BA AD=BA AD cos-BAD=BA AD cosADC=13 2224=34，故C错误；AC BD=AD+DC BA+AD=AD BA+DC BA+AD 2+DC AD=34-13+3 222+33 22-24=0，故AC BD，即ACBD，故D正确故选：ABD13水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢15(2024浙江三模)已知 ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且23asin2A+C2=bsinA，下列结论正确的是()A.B=3B.若 a=4，b=5，则 ABC 有两解C.当a-c=33b时，ABC 为直角三角形D.若 ABC 为锐角三角形，则 cosA+cosC 的取值范围是32,1【答案】ACD【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及a-c=33b可得a=2c或c=2a，即可判断C；通过求A的取值范围6A0，所以c=2+13(负值舍)，即ABC有一解，故B错误；对于C，因为a-c=33b，两边平方得a2-2ac+c2=b23，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，由两式消b2得，2a2-5ac+2c2=0，解得a=2c或c=2a，由B=3，a=2c，b=3c解得A=2，由B=3，c=2a，b=3a解得C=2;故ABC为直角三角形，故C正确；对于D，因为ABC为锐角三角形，且B=3，所以0A20C2 0A2023-A2 6A2，14水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢即cosA+cosC=cosA+cos23-A=12cosA+32sinA=sin A+6，所以A+63,23，所以sin A+632,1，故D正确.故选：ACD.16(2024贵州黔南二模)已知锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ABC的面积为34a2+c2-b2.则下列说法正确的是()A.B=3B.A的取值范围为6,2C.若b=3，则ABC的外接圆的半径为2D.若a=3，则ABC的面积的取值范围为3 38,3 32【答案】ABD【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A表示出来，结合A的范围即可得解.【详解】对A：由题意可得12acsinB=34a2+c2-b2，由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB，即有12acsinB=342accosB=32accosB，即sinB=3cosB，由B 0,2，故tanB=3，即B=3，故A正确；对B：则A 0,2，C=-A-B=23-A 0,2，解得A6,2，故B正确；对C：由正弦定理可得2R=bsinB=332=2，即R=1，故C错误；对D：若a=3，则S=12acsinB=123c32=3c4，由正弦定理可得asinA=csinC，即c=asinAsinC=3sinCsinA，即S=3c4=343sinCsinA=3 34sin A+3sinA=3 3412sinA+32cosAsinA=3 38+98tanA，由A6,2，则tanA33,+，故S3 38,3 32，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量A表示出来，结合A的范围即可得解.15水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢17(2024新疆二模)如图，在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB，且3 acosB+bcosA=2csinC，D是ABC外一点且B、D在直线AC异侧，DC=2，DA=6，则下列说法正确的是()A.ABC是等边三角形B.若AC=2 13，则A，B，C，D四点共圆C.四边形ABCD面积的最小值为10 3-12D.四边形ABCD面积的最大值为10 3+12【答案】ABD【分析】由正弦定理的边角互化即可得到C=3，从而判断A，由余弦定理即可得到D=23，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD.【详解】3 acosB+bcosA=2csinC，根据正弦定理得3 sinAcosB+sinBcosA=2sin2C，即3sin A+B=2sin2C，3sinC=2sin2C，显然sinC0，则sinC=32，根据题意，有C=3，又sinA=sinB，可得a=b，A=B=C=3，ABC为等边三角形，故A正确；DC=2，DA=6，在ADC中，AC2=62+22-226cosD=40-24cosD，当AC=2 13 时，cosD=-12，D=23，即B+D=，A，B，C，D共圆，B正确又SADC=12ADCDsinD=6sinD，四边形ABCD面积，S=SABC+SADC=34AC2+6sinD=3440-24cosD+6sinD=10 3+12sin D-3，0D，D-3-3,23，则sin D-3-32,1，所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误当D-3=2，即D=56时，四边形ABCD面积取最大值10 3+12，故D正确故选：ABD18(2024河北三模)已知ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，A=2B，则()16水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.a2=c b+cB.bc+a2b2的最小值为3C.若ABC为锐角三角形，则cb 1,2D.若a=2 6，b=3，则c=5【答案】BCD【分析】由A=2B，得sinA=2sinBcosB，由正弦定理得和余弦定理化简得a2=b b+c，即可判断A；将a2=b b+c代入bc+a2b2化简成bc+cb+1，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化角可得cb=4cos2B-1，再由cosB的范围可得cb的范围，即可判断C；由正弦定理求出cosB，再由余弦定理可得c，即可判断D.【详解】由A=2B，得sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理得a=2bcosB，由余弦定理得a=2ba2+c2-b22ac，则 c-ba2-b2-bc=0，当bc时，a2-b2-bc=0，即a2=b b+c，当b=c时，B=C，又A=2B，所以A=90,B=C=45，所以a=2b，所以a2-b2-bc=2b2-b2-bb=0，所以a2=b b+c，故选项A错误；由a2=b b+c，则bc+a2b2=bc+b2+bcb2=bc+cb+13，当且仅当b=c时，故选项B正确；在ABC中，sinB0，由正弦定理，cb=sinCsinB=sin 2B+BsinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB=2sinBcos2B+2cos2B-1sinBsinB=4cos2B-1，若ABC为锐角三角形，又A=2B，则B 0,4,C=-3B6，所以B6,4，所以cosB22,32，则cos2B12,34，所以4cos2B-1 1,2，故选项C正确；在ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，又A=2B，a=2 6，b=3，得3sinB=2 6sin2B=2 62sinBcosB，则cosB=63由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，得9=24+c2-22 6 63c，整理得c2-8c+15=0，解得c=5，或c=3，当c=3时，有C=B，又A=2B，所以B=C=45,A=90，因为b2+c2a2，则c=3不成立，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题三、填空题17水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢19(2024湖南长沙三模)在ABC，已知2AB AC=3 AB AC=3BC 2，BC.则sinC=.【答案】32【分析】先由2AB AC=3 AB AC 可得角A，由3 AB AC=3BC 2可得sinCsinB=34，结合角B,C的关系，解方程即可得答案.【详解】设BC=a，AC=b，AB=c，由2AB AC=3 AB AC 得2bccosA=3bc，所以cosA=32.又A 0,，因此A=6，B=56-C.由3 AB AC=3BC 2，得bc=3a2；于是sinCsinB=3sin2A=34，所以sinCsin56-C=34，2sinCcosC+2 3sin2C=3，即sin 2C-3=0.A=6，0C56，-32C-343，2C-3=0或2C-3=，C=6或C=23.又BC，A=6，C=23，B=6，则sinC=32.故答案为：3220(2024四川雅安三模)已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=2,DA=2 3，设ABD与BCD的面积分别为S1,S2，则S21+S22的最大值为.【答案】14【分析】根据余弦定理可得cosC=3cosA-1，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】四边形ABCD中，AB=BC=CD=2,DA=2 3，DA=3，则S1=12ABADsinA=2 3sinA，S2=12CDBCsinC=2sinC在ABD中，利用余弦定理：BD2=AD2+AB2-2ADABcosA，所以：BD2=16-8 3cosA在BCD中，利用余弦定理：BD2=CD2+CB2-2CDCBcosC，所以：BD2=8-8cosC所以：cosC=3cosA-118水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢则S21+S22=12sin2A+4sin2C=12(1-cos2A)+4(1-cos2C)=-24cos2A+8 3cosA+12=-83cosA-122+14当3cosA=12时，S21+S22最大值，最大值为14，故答案为：1421(2024江西二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=b 2+cosA，若ABC的面积等于4 3，则ABC的周长的最小值为【答案】4 3+8【分析】首先由正弦定理、辅助角公式得A=23，由三角形面积公式得bc=16，结合余弦定理以及基本不等式即可求解.【详解】由正弦定理结合3asinB=b 2+cosA，可得3sinAsinB=sinB 2+cosA，因为sinB0，所以3sinA-cosA=2sin A-6=2，即sin A-6=1，注意到-6A-6a，故A为锐角，所以cosA=1-3b2，所以1-3b2=b2+56b，解得b2=7或b2=19，当b2=7时，即b=7，cba，由大边对大角得：最大角为C，cosC=b2+a2-c22ba=7+4-9670，故C为锐角，不符合题意；当b2=19时，即b=19，bca，由大边对大角得：最大角为B，cosB=c2+a2-b22ca=9+4-19620，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得25m2=10m2+c2-2c10m1010，整理，得c2-2mc-15m2=0，因为c0,解得c=5m,所以a=c，所以ABC为等腰三角形.(2)若选择条件：若 B=6，由(1)可知a=c，及A=C=512，所以cosA=cos512=cos4+6=cos4cos6-sin4sin6=6-241010，所以ABC不存在.若选择条件:在ABC中,由cosA=1010sinA=3 1010,由(1)a=5m,b=10m,m0，所以SABC=12bcsinA=1210m5m3 1010=152m2=152，解得m=1,即b=10.若选择条件:在ABC中,由AB边上的高为3,得bsinA=3，由cosA=1010sinA=3 1010，解得b=10.26(2024湖南衡阳三模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且ccosB+2acosA+bcosC=0(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与ABC构成一个四边形ABDC，且BDC=3，若c=b=2，求AD的最大值21水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【答案】(1)A=23.(2)4【分析】(1)根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；(2)方法一：根据题意，分别在ABD与ACD中由正弦定理化简，即可得到AD=4sin，从而得到结果；方法二：由余弦定理可得a=2 3，再由正弦定理2R=asinA代入计算，即可得到结果；【详解】(1)因为ccosB+2acosA+bcosC=0，由正弦定理得，sinCcosB+2sinAcosA+sinBcosC=0，所以2sinAcosA+sin B+C=0，所以2sinAcosA+sinA=0，因为sinA0，所以cosA=-12，因为A 0,，所以A=23.(2)方法一：设ABD=，ADB=，则：在ABD中，ADsin=ABsin，在ACD中，ADsin-=ACsin3-，：sin=sin-3，所以=30，所以AD=4sin，所以AD的最大值是4解法二：在ABC中，由余弦定理得，a=c2+b2-2cbcosA=2 3，因为BAC+BDC=23+3=，所以四边形ABDC存在一个外接圆O，所以圆O的直径为2R=asinA=2 3sin23=2 332=4因为AD2R，即AD4，当AD为圆O直径时取等号，故AD的最大值为4.27(2024天津二模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cosB ccosB+bcosC+12a=0.(1)求角B的大小；(2)若b=7,a+c=8,ac，求a,c的值：求sin 2A+C的值.【答案】(1)B=23(2)a=3c=5；4 37【分析】(1)由正弦定理、两角和的正弦公式可得cosB=-12，由此即可得解；(2)结合余弦定理可得ac=15，结合a+c=8,ac即可求解；由正弦定理以及平方关系依次求得sinA,cosA，将sin 2A+C转换为sin A+3，结合两角和的正弦公式即可得解.22水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【详解】(1)因为cosB ccosB+bcosC+12a=0，利用正弦定理可得：cosB sinCcosB+sinBcosC+12sinA=0，即2cosBsin B+C+sinA=0.因为sin B+C=sinA0，所以2cosB+1=0，即cosB=-12，又B 0,，可得B=23.(2)由余弦定理及已知可得：cosB=a2+c2-b22aca2+c2-49