2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题.doc

2024 年新课标全国卷数学真题一、单选题1已知 z = -1-i ，则 z = （ ）A0 B1 C 2 D22已知命题 p："xÎR ，| x +1|>1；命题 q：$x > 0 ， x3 = x ，则（ ）Ap 和 q 都是真命题 BØp 和 q 都是真命题Cp 和Øq 都是真命题 DØp 和Øq 都是真命题3已知向量a,b 满足 a =1, a + 2b = 2 ，且(b - 2a) b ，则 b = （ ）A12B22C32D14某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表亩产量 900，950） 950，1000） 1000，1050） 1100，1150） 1150，1200）频数 6 12 18 24 10据表中数据，结论中正确的是（ ）A100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kgB100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 80%C100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 300kg 之间D100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间5已知曲线 C： x2 + y2 =16（ y > 0 ），从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP¢ ， P¢为垂足，则线段 PP¢ 的中点 M的轨迹方程为（ ）x y x y2 2 2 2A + = （ y > 0 ） B + = 1（ y > 0 ）116 4 16 8Cy x2 2+ =1（ y > 0 ） D16 4y x2 2+ = 1（ y > 0 ）16 86设函数f(x)=a(x+1) -1，g(x) = cos x + 2ax ，当 xÎ(-1,1)时，曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 恰有一个交点，则a =（ ）2A-1 B12C1 D27已知正三棱台 ABC - A1B1C1 的体积为523， AB = 6， A1B1 = 2 ，则 A1 A与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）A12B1 C2 D38设函数 f (x) = (x + a) ln(x +b) ，若 f (x) ³ 0，则 a2 + b2 的最小值为（ ）A18B14C12D11二、多选题9对于函数 f (x) = sin 2x 和g(x) = sin(2x - ) ，下列正确的有（ ）4A f (x) 与 g(x) 有相同零点 B f (x) 与 g(x) 有相同最大值C f (x) 与 g(x) 有相同的最小正周期 D f (x) 与 g(x) 的图像有相同的对称轴10抛物线 C： y2 = 4x的准线为 l，P 为 C 上的动点，过 P 作A: x2 +(y -4)2 =1的一条切线，Q 为切点，过 P 作l 的垂线，垂足为 B，则（ ）Al 与eA相切B当 P，A，B 三点共线时，| PQ |= 15C当| PB |= 2 时， PA ABD满足| PA |=| PB |的点 P 有且仅有 2 个11设函数f (x) = 2x -3ax +1，则（ ）3 2A当 a > 1 时， f (x) 有三个零点B当 a < 0 时， x = 0 是 f (x) 的极大值点C存在 a，b，使得 x = b 为曲线 y = f (x) 的对称轴D存在 a，使得点(1, f (1)为曲线 y = f (x) 的对称中心三、填空题12记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a3 + a4 = 7 ，3a2 + a5 = 5，则 S10 = .13已知a 为第一象限角， b 为第三象限角， tana + tan b = 4 ， tana tan b = 2 +1，则sin(a + b) = .14在如图的 4×4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是 四、解答题15记 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin A+ 3 cos A = 2 (1)求 A(2)若a = 2， 2bsinC = csin 2B，求 VABC 的周长216已知函数 f (x) = ex -ax -a3 (1)当a =1时，求曲线 y = f (x) 在点(1, f (1)处的切线方程；(2)若 f (x) 有极小值，且极小值小于 0，求 a 的取值范围17如图，平面四边形 ABCD 中，AB = 8 ，CD = 3 ，AD = 5 3 ，ÐADC = 90° ，ÐBAD = 30° ，点 E，F 满足uuur uuur2AE = AD5，uuur uuur1AF = AB2，将AEF 沿 EF 对折至!PEF ，使得 PC = 4 3 (1)证明： EF PD ；(2)求面 PCD 与面 PBF 所成的二面角的正弦值318某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独立(1)若 p = 0.4， q = 0.5 ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率(2)假设0 < p < q ，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19已知双曲线C x - y = m(m > )，点 P1 (5, 4)在C 上 ，k 为常数，0 < k <1按照如下方式依次构造点 ( 2, 3, .): 0 P n = ，2 2n过P - 关于 y 轴的对称点，记 P 的坐标为(x , y ).Q- 作斜率为 k 的直线与C 的左支交于点Qn-1 ，令 Pn 为n 1 n 1 n n n1(1)若k = ，求2x y ；2 , 21+ k 1- k(2)证明：数列 x - y 是公比为n n的等比数列；(3)设 Sn 为VPn Pn+1Pn+2 的面积，证明：对任意的正整数 n，S = S .n n+142024 年新课标全国卷数学真题参考答案：1C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.2 2 【详解】若 z = -1-i ，则 ( ) ( )z = -1 + -1 = 2 .故选：C.2B【分析】对于两个命题而言，可分别取 x=-1、 x =1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于 p 而言，取 x=-1，则有 x +1 = 0 <1，故 p 是假命题，Øp 是真命题，对于 q而言，取 x =1，则有x = = = x ，故 q是真命题，Øq 是假命题，3 13 1综上，Øp 和q都是真命题.故选：B.3B【分析】由(b - 2a) b 得b = a×b ，结合 a =1, a + 2b = 2 ，得2 2 21+ 4a×b+ 4b =1+6b = 4，由此即可得解. 2【详解】因为(b - 2a) b ，所以(b - 2a)×b = 0 ，即2b = a×b ，2又因为 a =1, a + 2b = 2 ，2 2 所以1+ 4a×b+ 4b =1+6b = 4，r从而 2 b = .2故选：B.4C【分析】计算出前三段频数即可判断 A；计算出低于 1100kg 的频数，再计算比例即可判断 B；根据极差计算方法即可判断 C；根据平均值计算公式即可判断 D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 6 +12 +18 = 36 < 50 ,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于 B，亩产量不低于1100kg 的频数为 24+10 = 34，100- 34所以低于1100kg 的稻田占比为100= 66%，故 B 错误；对于 C，稻田亩产量的极差最大为1200-900 = 300，最小为1150 -950 = 200 ，故 C 正确；对于 D，由频数分布表可得，亩产量在1050,1100) 的频数为100 - (6 +12 +18+ 24 +10) = 30，11所以平均值为100´(6´925+12´975+18´1025+ 30´1075+ 24´1125+10´1175) =1067 ，故 D 错误.故选；C.5A【分析】设点 M (x, y) ，由题意，根据中点的坐标表示可得 P(x,2y) ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点 M (x, y) ，则P x y P¢ x ，( , ), ( ,0)0因为 M 为 PP¢ 的中点，所以 y0 = 2y ，即 P(x,2y) ，又 P 在圆 x2 + y2 = 16(y > 0) 上，所以x y2 2x2 + 4y2 = 16(y > 0) ，即 + = > ，1(y 0)16 4x y2 2即点 M 的轨迹方程为 + = > .1(y 0)16 4故选：A6D【分析】解法一：令 F (x) = ax2 + a -1,G(x) = cos x ，分析可知曲线 y = F(x) 与 y = G(x) 恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在 y 轴上，即可得 a = 2，并代入检验即可；解法二：令h(x) = f (x) - g (x), x Î (-1, 1)，可知 h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知 h(x)的零点只能为 0，即可得 a = 2，并代入检验即可.【详解】解法一：令 f (x) = g (x)，即 a(x +1)2 -1= cos x + 2ax ，可得 ax2 + a -1= cos x，令 F (x) = ax2 + a -1,G(x) = cos x ，原题意等价于当 xÎ(-1,1)时，曲线 y = F(x) 与 y = G(x) 恰有一个交点，注意到 F (x),G (x)均为偶函数，可知该交点只能在 y 轴上，可得 F (0)= G(0)，即 a -1=1，解得a = 2，若 a = 2，令 F (x) = G(x)，可得 2x2 +1-cos x = 0因为 xÎ(-1,1)，则 2x2 ³ 0,1-cos x ³ 0 ，当且仅当 x = 0 时，等号成立，可得 2x2 +1-cos x ³ 0，当且仅当 x = 0 时，等号成立，则方程 2x2 +1-cos x = 0 有且仅有一个实根 0，即曲线 y = F(x) 与 y = G(x) 恰有一个交点，所以 a = 2符合题意；综上所述： a = 2.解法二：令 h(x) = f (x) - g (x) = ax + a - 1 - cos x, x Î (-1, 1)，22原题意等价于 h(x)有且仅有一个零点，2 1 cos 2 1 cos 因为 ( ) ( ) ( ) ( )h -x = a -x + a - - -x = ax + a - - x = h x ，则 h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知 h(x)的零点只能为 0，即 h(0) = a - 2 = 0，解得 a = 2，若 a = 2，则 h(x) = 2x + 1 - cos x, x Î (-1, 1)，2又因为 2x2 ³ 0,1-cos x ³ 0当且仅当 x = 0 时，等号成立，可得 h(x)³ 0，当且仅当 x = 0 时，等号成立，即 h(x)有且仅有一个零点 0，所以a = 2符合题意；故选：D.7B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高 4 3h = ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得34 3AM = ，3进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 ABC - A1B1C1 补成正三棱锥 P - ABC ， A1 A与平面 ABC 所成角即为 PA 与平面 ABC 所成角，根据比例关系可得VP- ABC =18 ，进而可求正三棱锥 P - ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取BC,B C 的中点 D D ，则,1 1 1AD = 3 3,A D = 3 ，1 11 3 1可知 V V ，S = ´ 6´ 6´ = 9 3,S = ´ 2´ 3 = 3ABC A B C2 2 21 1 1设正三棱台 ABC - A1B1C1 的为 h ，1 524 3则 ( )V h- = 9 3 + 3 + 9 3´ 3 = ，解得h = ， ABC A B C1 1 13 33如图，分别过 A1,D1 作底面垂线，垂足为 M, N ，设 AM = x，16则 2 2 2AA = AM + A M = x + ， DN = AD- AM - MN = 2 3 - x，1 1316 2可得 2 2 ( )DD = DN + D N = 2 3 - x + ，1 133结合等腰梯形2æ 6 - 2 öBCC B 可得 ,BB DD2 2= ç ÷ +1 11 1è ø2x + = - x + + ，解得 4 32 16 162 3 42即 ( )x = ，3 33所以 A1 A与平面 ABC 所成角的正切值为A MtanÐA AD = 1 =1 ；1AM解法二：将正三棱台 ABC - A1B1C1 补成正三棱锥 P - ABC ，则 A1 A与平面 ABC 所成角即为 PA 与平面 ABC 所成角，VPA A B 1 1 1 1 1P-A B C因为 1 = 1 1 = ，则 = ，PA AB 3 V 27P-ABC26 52可知V - = V - = ，则 18V - = ， ABC A B C P ABCP ABC1 1 127 31 1 3设正三棱锥 P - ABC 的高为d ，则V - = d ´ ´ ´ ´ = ，解得d = 2 3 ，6 6 18 P ABC3 2 2取底面 ABC 的中心为O，则 PO 底面 ABC，且 AO = 2 3 ，PO所以 PA 与平面 ABC 所成角的正切值 tan ÐPAO = =1 .AO故选：B.8C【分析】解法一：由题意可知： f (x) 的定义域为(-b,+¥)，分类讨论-a 与-b,1-b 的大小关系，结合符号分析判断，即可得b = a +1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x +b)的符号，进而可得 x + a 的符号，即可得b = a +1，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知： f (x) 的定义域为(-b,+¥)，令 x + a = 0 解得 x = -a；令ln(x +b) = 0 解得 x =1-b；若 -a £ -b ，当 xÎ(-b,1-b)时，可知 x + a > 0,ln(x +b)< 0 ，此时 f (x) < 0，不合题意；4若 -b < -a <1-b，当 xÎ(-a,1-b)时，可知 x + a > 0,ln(x +b)< 0 ，此时 f (x) < 0，不合题意；若 -a =1-b ，当 xÎ(-b,1-b)时，可知 x + a < 0,ln(x +b)< 0，此时 f (x) > 0 ；当 xÎ1-b,+¥)时，可知 x + a ³ 0,ln(x +b)³ 0，此时 f (x) ³ 0；可知若 -a =1-b ，符合题意；若 -a >1-b ，当 xÎ(1-b,-a)时，可知 x + a 0,ln(x + b) 0 ，此时 f (x) < 0，不合题意；综上所述： -a =1-b ，即b = a +1，22 2 2 æ 1 ö 1 12则 ( )a b a a a+ = + +1 = 2ç + ÷ + ³è ø2 2 2 1 1，当且仅当a = - ,b = 时，等号成立， 2 2所以 a2 + b2 的最小值为12；解法二：由题意可知： f (x) 的定义域为(-b,+¥)，令 x + a = 0 解得 x = -a；令ln(x +b) = 0 解得 x =1-b；则当 xÎ(-b,1-b)时，ln(x +b)< 0，故 x + a £ 0 ，所以1-b + a £ 0 ；xÎ(1-b,+¥)时，ln(x +b)> 0，故 x + a ³ 0 ，所以1-b + a ³ 0 ；22 2 2 æ 1 ö 1 12故1-b + a = 0， 则a b a (a 1) 2 a+ = + + = ç + ÷ + ³è ø2 2 2， 1 1当且仅当 a = - ,b = 时，等号成立， 2 2所以 a2 + b2 的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求 x + a = 0 、ln(x +b) = 0 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令 f (x) = sin 2x = 0 ，解得kx = ,k ÎZ ，即为 f (x) 零点，2令g(x) = sin(2x - ) = 0，解得4k x = + ,k ÎZ ，即为 g(x) 零点，2 85显然 f (x), g(x) 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然 f (x)max = g(x)max = 1，B 选项正确；C 选项，根据周期公式， f (x), g(x) 的周期均为22= ，C 选项正确； k D 选项，根据正弦函数的性质 f (x) 的对称轴满足 2x = k + Û x = + ,k ÎZ ， 2 2 4g(x) 的对称轴满足 k 32x - = k + Û x = + ,k ÎZ ， 4 2 2 8显然 f (x), g(x) 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10ABD【分析】A 选项，抛物线准线为 x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项， P, A,B 三点共线时，先求出 P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据 PB = 2先算出 P 的坐标，然后验证 k k = -1是否成立；D 选项，根据抛物PA AB线的定义， PB = PF ，于是问题转化成 PA = PF 的 P 点的存在性问题，此时考察 AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线 y2 = 4x的准线为 x=-1，eA的圆心(0, 4) 到直线 x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和eA相切，A 选项正确；B 选项， P, A,B 三点共线时，即 PA l ，则 P 的纵坐标 y = 4，P由y2 = 4x ，得到 x = 4，故 P(4, 4) ，P P P此时切线长2 2 42 12 15PQ = PA -r = - = ，B 选项正确；C 选项，当 PB = 2时， x =1，此时 y2 = 4x = 4，故 P(1, 2) 或 P(1,-2) ，P P P当 P(1, 2) 时， A(0, 4), B(-1, 2) ，kPA4 - 2= = - ，2 kAB0 -14 -2= =0 -(-1)2，不满足 k k = -1；PA AB当 P(1,-2)时， A(0, 4), B(-1, 2) ， kPA4 - (-2)= = -6 ，k 0 -1AB4 - (-2)= =0 - (-1)6，不满足 k k = -1；PA AB于是 PA AB 不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义， PB = PF ，这里 F(1,0)，6于是 PA = PB 时 P 点的存在性问题转化成 PA = PF 时 P 点的存在性问题，æ 1 öA(0, 4), F(1, 0) ， AF 中点 ,2ç ÷è ø21 1- = ， AF 中垂线的斜率为k 4AF于是 AF 的中垂线方程为：y2x +15= ，与抛物线 y2 = 4x联立可得 y2 -16y + 30 = 0，8D =16 - 4´30 =136 > 0，即 AF 的中垂线和抛物线有两个交点，2即存在两个 P 点，使得 PA = PF ，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设æ t ö2P ,tç ÷4è ø，由 PB l 可得 B(-1,t)，又 A(0,4) ，又 PA = PB ，根据两点间的距离公式，t t4 2+(t -4) = +1，整理得t2 -16t + 30 = 0 ，216 4D =16 - 4´30 =136 > 0，则关于t 的方程有两个解，2即存在两个这样的 P 点，D 选项正确.故选：ABD11AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为 x = 0, x = a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 f (x) 在(-1, 0), (0,a), (a,2a) 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的 a,b ，使得 x = b 为 f (x) 的对称轴，则 f (x) = f (2b - x)为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的 a ，使得(1,3-3a)为 f (x) 的对称中心，则 f (x) + f (2 - x) = 6 - 6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项， f ¢ x = x2 - ax = x x - a ，由于a > 1 ，( ) 6 6 6 ( )故 xÎ(-¥,0)È(a,+¥)时 f ¢(x) > 0 ，故 f (x) 在(-¥,0),(a,+¥)上单调递增，xÎ(0,a) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减，则 f (x) 在 x = 0 处取到极大值，在 x = a处取到极小值，7由 f (0) =1 > 0 ， f (a) =1- a3 < 0 ，则 f (0) f (a) < 0，根据零点存在定理 f (x) 在(0,a) 上有一个零点，又 f (-1) = -1-3a < 0 ， f (2a) = 4a3 +1> 0 ，则 f (-1) f (0) < 0, f (a) f (2a) < 0 ，则 f (x) 在(-1, 0), (a, 2a) 上各有一个零点，于是 a > 1 时， f (x) 有三个零点，A 选项正确；B 选项， f ¢(x) = 6x(x - a) ， a<0时， xÎ(a, 0), f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减，xÎ(0,+¥) 时 f ¢(x) > 0 ， f (x) 单调递增，此时 f (x) 在 x = 0 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的 a,b ，使得 x = b 为 f (x) 的对称轴，即存在这样的 a,b 使得 f (x) = f (2b - x) ，即 2x3 -3ax2 +1= 2(2b - x)3 -3a(2b - x)2 +1，根据二项式定理，等式右边(2b - x)3 展开式含有x 的项为2C (2b) (-x) = -2x ，33 0 3 33于是等式左右两边 x3 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的 a,b ，使得 x = b 为 f (x) 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f (1) = 3-3a ，若存在这样的 a ，使得(1,3-3a) 为 f (x) 的对称中心，则 f (x) + f (2 - x) = 6 - 6a ，事实上，f (x) + f (2 - x) = 2x -3ax +1+ 2(2 - x) -3a(2 - x) +1= (12 - 6a)x + (12a - 24)x +18-12a ，3 2 3 2 2于是6 - 6a = (12 - 6a)x2 + (12a - 24)x +18-12aì12 -6a = 0ï即 12a -24 = 0íï - = -18 12a 6 6aî，解得a = 2，即存在 a = 2使得(1, f (1)是 f (x) 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f (x) = 2x -3ax +1，3 2f ¢ x = x2 - ax ， f ¢¢(x) =12x - 6a ，( ) 6 6a æ a æ a öö由 f ¢¢(x) = 0 Û x = ，于是该三次函数的对称中心为 , fç ç ÷÷2 2 2è è øø，a由题意(1, f (1)也是对称中心，故 =1Û a = 2，28即存在 a = 2使得 (1, f (1)是 f (x) 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）f (x) 的对称轴为 x = b Û f (x) = f (2b - x) ；（2）f (x) 关于(a, b) 对称 Û f (x) + f (2a - x) = 2b ；（3）任何三次函数f (x) = ax + bx + cx + d都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是3 2æ b æ b ööf ¢¢(x) = 0 的解，即 ,- f ç- ÷ç ÷è è øø 3a 3a是三次函数的对称中心1295【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 a1,d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列 a 为等差数列，则由题意得nì a d a d 1 = -4+ 2 + +3 = 7ìa1 1í + + + =，解得í ，3( ) 4 5a d a d d = 3î î1 110´9则 ( )S =10a + d =10´ -4 + 45´3 = 95.10 12故答案为：95 .13 -2 23【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 tan(a + b ) = -2 2 ，再缩小a + b 的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.tana + tan b 4【详解】法一：由题意得 ( )tan a + b = = = -2 2 - - + ，1 tan tan 1 2 1a b ( )æ ö æ 3ö因为 Îç2 ,2 + ÷ , Îç 2 + ,2 + ÷a k k b m mè ø è ø2 2， k,mÎ Z，则a + b Î(2m+ 2k )+ ,(2m+ 2k )+ 2)， k,mÎ Z，又因为 tan (a + b )= -2 2 < 0 ，æ 3 ö则a + b Îç( + ) + ( + ) + ÷， k,mÎ Z，则sin(a + b )< 0，2m 2k , 2m 2k 2è ø2则sin +(a b )cos(a + b )= -2 22 2，联立 sin (a + b )+cos (a + b )=1 ，解得 ( )2 2sin a + b = - .3法二： 因为a 为第一象限角， b 为第三象限角，则cosa > 0, cos b < 0 ,cosacosa 1= =sin a +cos a 1+ tan a2 2 2cos，bcos b -1= =sin b + cos b 1+ tan b2 2 2，则sin(a + b) = sina cos b + cosa sin b = cosa cos b(tana + tan b)9-4 -4 -4 2 2= 4 cosa cos b = = = = -3 1+ tan a 1+ tan b (tana + tan b) + (tana tan b -1) 4 + 22 2 2 2 2故答案为： 2 2 - .314 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有 4、3、2、1 个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选 4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有 4 个方格可选，第二列有 3 个方格可选，第三列有 2 个方格可选，第四列有 1 个方格可选，所以共有 4´ 3´ 2´1 = 24 种选法；每种选法可标记为(a,b,c,d) ， a,b,c,d 分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11, 22, 33, 44), (11, 22, 34, 43), (11, 22, 33, 44 ), (11, 22, 34, 42), (11, 24, 33, 43), (11, 24, 33, 42) ，(12, 21, 33, 44), (12, 21, 34, 43), (12, 22, 31, 44 ), (12, 22, 34, 40), (12, 24, 31, 43), (12, 24, 33, 40) ，(13, 21, 33, 44), (13, 21, 34, 42), (13, 22, 31, 44 ), (13, 22, 34, 40), (13, 24, 31, 42), (13, 24, 33, 40) ，(15, 21, 33, 43), (15, 21, 33, 42), (15, 22, 31, 43 ), (15, 22, 33, 40), (15, 22, 31, 42), (15, 22, 33, 40) ，所以选中的方格中，(15, 21, 33, 43)的 4 个数之和最大，为15 + 21+ 33 + 43 =112 .故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有 4、3、2、1 个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15(1)A =6(2) 2 + 6 +3 2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin A+ 3 cos A = 2 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出 B ，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin A+ 3 cos A = 2 可得1 3sin cos 1A+ A = ，即sin(A+ ) =1，2 23由于 4AÎ(0, ) Þ A+ Î( , ) ，故 3 3 3 A+ = ，解得 3 2A =610方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin A+ 3 cos A = 2 ，又sin2 A+ cos2 A =1，消去sin A 得到：4 cos A-4 3 cos A+3 =0 Û (2cos A- 3) =0 ，解得cos2 2 3A = ， 2又 AÎ(0, )，故A =6方法三：利用极值点求解设 f (x) = sin x + 3 cos x(0 < x < )，则æ öf (x) 2sin x (0 x ) ，= ç + ÷ < <è ø3显然x = 时，6f (x) = 2，注意到maxf (A) = sin A+ 3 cos A = 2 = 2 sin(A+ )，3f x = f A ，在开区间(0, ) 上取到最大值，于是 x = A必定是极值点，( ) ( )max即 f ¢(A) = 0 = cos A- 3 sin A，即tan3A = ，3又 AÎ(0, )，故A =6方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设 a = (1, 3),b = (sin A, cos A)，由题意， a×b = sin A+ 3 cos A = 2 ，r r r r根据向量的数量积公式， a ×b = a b cos a, b = 2 cos a, b，r