2024年高考全国甲卷数学（理）真题.pdf
120242024 年高考全国甲卷数学（理）真题年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题一、单选题1设5iz，则i zz（）A10iB2iC10D22集合1,2,3,4,5,9,ABxxA，则AAB（）A1,4,9B3,4,9C1,2,3D2,3,53若实数,x y满足约束条件43302202690 xyxyxy，则5zxy的最小值为（）A5B12C2D724等差数列 na的前n项和为nS，若510SS，51a，则1a（）A2B73C1D25已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab的上、下焦点分别为120,4,0,4FF，点6,4P 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A4B3C2D26设函数 2e2sin1xxf xx，则曲线 yf x在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A16B13C12D237函数 2eesinxxfxxx 在区间 2.8,2.8的大致图像为（）ABCD8已知cos3cossin，则tan4（）A2 31B2 31C32D139已知向量1,2axxbx，则（）A“3x ”是“ab”的必要条件B“3x ”是“/ab”的必要条件C“0 x”是“ab”的充分条件D“13x ”是“/ab”的充分条件10设、是两个平面，mn、是两条直线，且m.下列四个命题：2若/mn，则/n或/n若mn，则,nn若/n，且/n，则/mn若n与和所成的角相等，则mn其中所有真命题的编号是（）ABCD11在ABC中内角,A B C所对边分别为,a b c，若3B，294bac，则sinsinAC（）A32B2C72D3212已知 b 是,a c的等差中项，直线0ax byc+=与圆22410 xyy 交于,A B两点，则AB的最小值为（）A2B3C4D2 5二、填空题二、填空题131013x的展开式中，各项系数的最大值是14已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r，母线长分别为212 rr和213 rr，则两个圆台的体积之比=VV甲乙15已知1a，8115loglog 42aa，则a16有 6 个相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过12的概率是三、解答题三、解答题17某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间3能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p，设p为升级改造后抽取的 n 件产品的优级品率.如果(1)1.65ppppn，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（15012.247）附：22()()()()()n adbcKa b cd a c b d2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818记nS为数列 na的前n项和，且434nnSa(1)求 na的通项公式；(2)设1(1)nnnbna，求数列 nb的前n项和为nT19 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 均为等腰梯形，/,/BCAD EFAD，4,2ADABBCEF，10,2 3EDFB，M为AD的中点(1)证明：/BM平面CDE；(2)求二面角FBME的正弦值420设椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为F，点31,2M在C上，且MFx轴(1)求C的方程；(2)过点4,0P的直线与C交于,A B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQy轴21已知函数 1ln 1fxaxxx(1)当2a 时，求 fx的极值；(2)当0 x 时，0f x 恒成立，求a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1.(1)写出C的直角坐标方程；(2)设直线 l：xtyta（t为参数），若C与 l 相交于A B、两点，若2AB，求a的值.23实数,a b满足3ab(1)证明：2222abab；(2)证明：22226abba120242024 年高考全国甲卷数学（理）真题年高考全国甲卷数学（理）真题参考答案：参考答案：1A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i5i,10zzzz，则i10izz.故选：A2D【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为1,2,3,4,5,9,ABxxA，所以1,4,9,16,25,81B，则1,4,9AB，2,3,5AAB 故选：D3D【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y满足43302202690 xyxyxy，作出可行域如图：由5zxy可得1155yxz，即z的几何意义为1155yxz的截距的15，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155yxz过点A，联立43302690 xyxy，解得321xy，即3,12A，则min375 122z .故选：D.4B2【分析】由510SS结合等差中项的性质可得80a，即可计算出公差，即可得1a的值.【详解】由105678910850SSaaaaaa，则80a，则等差数列 na的公差85133aad，故151741 433aad .故选：B.5C【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.【详解】由题意，10,4F、20,4F、6,4P，则1228FFc，22164410PF，2226446PF，则1221064aPFPF，则28224cea.故选：C.6A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】222e2cos1e2sin21xxxxxxfxx，则 002e2cos0 1 0e2sin00031 0f，即该切线方程为13yx，即31yx=+，令0 x，则1y，令0y，则13x=-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S .故选：A.7B【分析】利用函数的奇偶性可排除 A、C，代入1x 可得 10f，可排除 D.【详解】22eesineesinxxxxfxxxxxfx ，又函数定义域为2.8,2.8，故该函数为偶函数，可排除 A、C，又 11e11111esin11esin10ee622e42ef ，故可排除 D.3故选：B.8B【分析】先将coscossin弦化切求得tan，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos3cossin，所以131 tan，3tan13 ，所以tan1tan2 311tan4，故选：B.9C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对 A，当ab时，则0a b，所以(1)20 xxx，解得0 x 或3，即必要性不成立，故 A 错误；对 C，当0 x 时，1,0,0,2ab，故0a b，所以ab，即充分性成立，故 C 正确；对 B，当/ab时，则22(1)xx，解得13x ，即必要性不成立，故 B 错误；对 D，当13x 时，不满足22(1)xx，所以/ab不成立，即充分性不立，故 D 错误.故选：C.10A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断；举反例即可判断；根据线面平行的性质即可判断.【详解】对，当n ，因为/mn，m，则/n，当n，因为/mn，m，则/n，当n既不在也不在内，因为/mn，,mm，则/n且/n，故正确；对，若mn，则n与,不一定垂直，故错误；对，过直线n分别作两平面与,分别相交于直线s和直线t，因为/n，过直线n的平面与平面的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知/ns，同理可得/nt，则/st，因为s 平面，t 平面，则/s平面，因为s 平面，m，则/sm，又因为/ns，则/mn，故正确；4对，若,m n与和所成的角相等，如果/,/nn，则/mn，故错误；综上只有正确，故选：A.11C【分析】利用正弦定理得1sinsin3AC，再利用余弦定理有22134acac，再利用正弦定理得到22sinsinAC的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34Bbac，则由正弦定理得241sinsinsin93ACB.由余弦定理可得:22294bacacac，即:22134acac，根据正弦定理得221313sinsinsinsin412ACAC，所以2227(sinsin)sinsin2sinsin4ACACAC，因为,A C为三角形内角，则sinsin0AC，则7sinsin2AC.故选：C.12C【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,a b c成等差数列，所以2bac，2cba，代入直线方程0ax byc+=得20axbyba，即120a xb y，令1020 xy 得12xy，故直线恒过1,2，设1,2P，圆化为标准方程得：22:25C xy，设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PCAB时，AB最小，1,5PCACr，此时22222 5 14ABAPACPC.5故选：C135【分析】先设展开式中第1r 项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011CC3311CC33rrrrrrrr，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C3rrrrTx，010r且rZ，设展开式中第1r 项系数最大，则1091101010111101011CC3311CC33rrrrrrrr，294334rr，即293344r，又rZ，故8r，所以展开式中系数最大的项是第 9 项，且该项系数为28101C53.故答案为：5.1464【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为2212121223hrrrrrr甲，2212121232 2hrrrrrr乙，所以2121121221211363142 23SSS ShrrVhVhrrSSS Sh甲甲甲乙乙乙.故答案为：64.61564【分析】将8log,log 4aa利用换底公式转化成2log a来表示即可求解.【详解】由题28211315logloglog 4log22aaaa，整理得2225log60logaa，2log1a 或2log6a，又1a，所以622log6log 2a，故6264a 故答案为：64.16715【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b，第三个球的号码为c，则323abcab，就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从 6 个不同的球中不放回地抽取 3 次，共有36A120种，设前两个球的号码为,a b，第三个球的号码为c，则1322abcab，故2()3cab，故32()3cab，故323abcab，若1c，则5ab，则,a b为：2,3,3,2，故有 2 种，若2c，则17ab，则,a b为：1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有 10 种，当3c，则39ab，则,a b为：1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有 16 种，当4c，则511ab，同理有 16 种，当5c，则713ab，同理有 10 种，当6c，则915ab，同理有 2 种，共m与n的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为2 2 10 1656，故所求概率为56712015.7故答案为：71517(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p，根据题意计算(1)1.65pppn，结合题意分析判断.【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得22150 26 3024 70754.687550 100 96 5416K，因为3.8414.68756.635，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150，用频率估计概率可得0.64p，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p，则10.5 1 0.50.51.650.5 1.650.5 1.650.56815012.247pppn，可知(1)1.65ppppn，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18(1)14(3)nna(2)(21)31nnTn【分析】（1）利用退位法可求 na的通项公式（2）利用错位相减法可求nT.8【详解】（1）当1n 时，1114434Saa，解得14a 当2n时，11434nnSa，所以1144433nnnnnSSaaa即13nnaa，而140a，故0na，故13nnaa，数列 na是以 4 为首项，3为公比的等比数列，所以143nna.（2）111(1)4(3)43nnnnbnn ,所以123nnTbbbb02114 38 312 343nn 故12334 38 312 343nnTn 所以121244 34 34 343nnnTn13 1 344431 3nnn142 33143nnn(24)32nn，(21)31nnTn.19(1)证明见详解；(2)4 313【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证/BM CD，进而得证；（2）作BOAD交AD于O，连接OF，易证,OB OD OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【详解】（1）因为/,2,4,BC AD EFADM为AD的中点，所以/,BC MD BCMD，四边形BCDM为平行四边形，所以/BM CD，又因为BM 平面CDE，CD 平面CDE，所以/BM平面CDE；（2）如图所示，作BOAD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，/,4,BC AD AD 2ABBC，所以2CD，结合（1）BCDM为平行四边形，可得2BMCD，又2AM，所以ABM为等边三角形，O为AM中点，所以3OB，又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以,/EFMD EF MD，9四边形EFMD为平行四边形，FMEDAF，所以AFM为等腰三角形，ABM与AFM底边上中点O重合，OFAM，223OFAFAO，因为222OBOFBF，所以OBOF，所以,OB OD OF互相垂直，以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立Oxyz空间直角坐标系，0,0,3F，3,0,0,0,1,0,0,2,3BME，3,1,0,3,0,3BMBF ，3,2,3BE ，设平面BFM的法向量为111,mx y z，平面EMB的法向量为222,nxy z，则00m BMm BF ，即111130330 xyxz，令13x，得113,1yz，即3,3,1m，则00n BMn BE ，即22222303230 xyxyz，令23x，得223,1yz，即3,3,1n，1111cos,131313m nm nm n ，则4 3sin,13m n ，故二面角FBME的正弦值为4 313.20(1)22143xy(2)证明见解析【分析】（1）设,0F c，根据M的坐标及MF x轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB yk x，11,A x y，22,B xy，联立直线方程和椭圆方程，用,A B的坐标表示1Qyy，结合韦达定理化简前者可得10Qyy，故可证AQy轴.【详解】（1）设,0F c，由题设有1c 且232ba，故2132aa，故2a，故3b，故椭圆方程为22143xy.10（2）直线AB的斜率必定存在，设:(4)AB yk x，11,A x y，22,B xy，由223412(4)xyyk x可得2222343264120kxk xk，故42210244 3464120kkk，故1122k，又22121222326412,3434kkxxx xkk，而5,02N，故直线225:522yBN yxx，故22223325252Qyyyxx，所以1222112225332525Qyxyyyyyxx 12224253425k xxk xx222212122264123225825834342525kkx xxxkkkkxx 2222212824 160243234025kkkkkx，故1Qyy，即AQy轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.21(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 11【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(1 2)ln(1)f xxxx，故1 21()2ln(1)12ln(1)111xfxxxxx，因为12ln(1),11yxyx 在1,上为增函数，故()fx在1,上为增函数，而(0)0f，故当10 x 时，()0fx，当0 x 时，()0fx，故 f x在0 x 处取极小值且极小值为 00f，无极大值.（2）11ln 11ln 1,011axaxfxaxaxxxx ，设 1ln 1,01axs xaxxx，则 222111211111aa xaaaxasxxxxx ，当12a 时，0s x，故 s x在0,上为增函数，故 00s xs，即 0fx，所以 f x在0,上为增函数，故 00f xf.当102a时，当210axa 时，0s x，故 s x在210,aa上为减函数，故在210,aa上 0s xs，即在210,aa上 0fx即 f x为减函数，故在210,aa上 00f xf，不合题意，舍.当0a，此时 0s x在0,上恒成立，同理可得在0,上 00f xf恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.1222(1)221yx(2)34a【分析】（1）根据22cosxyx可得C的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C的直角方程，法 1：结合参数s的几何意义可得关于a的方程，从而可求参数a的值；法 2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a的值.【详解】（1）由cos1，将22cosxyx代入cos1，故可得221xyx，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221yx.（2）对于直线l的参数方程消去参数t，得直线的普通方程为yxa.法 1：直线l的斜率为1，故倾斜角为4，故直线的参数方程可设为2222xsyas，sR.将其代入221yx中得222 2(1)210sasa设,A B两点对应的参数分别为12,s s，则2121 22 21,21ssas sa，且22818116 160aaa，故1a，212121 24ABsssss s22818(1)2aa，解得34a.法 2：联立221yxayx，得22(22)10 xaxa，22(22)41880aaa，解得1a，设1122,A x yB xy,2121222,1xxa x xa，则2212121 14ABxxx x222(22)41aa2，解得34a 23(1)证明见解析13(2)证明见解析【分析】（1）直接利用22222()abab即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【详解】（1）因为2222222022abaabbabba，当ab时等号成立，则22222()abab，因为3ab，所以22222()ababab;（2）222222222222()abbaabbaabab22222()()()()(1)3 26ababababab ab
