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2024 年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1设 z = 5+i ，则i(z + z)= （ ）A10i B 2i C10 D -22集合 A =1, 2,3, 4,5,9, B =x x Î A，则 ( ) ðA AÇB = （ ）A1, 4,9 B3, 4,9 C1, 2,3 D2, 3, 53若实数 x, y 满足约束条件ì4x -3y -3³ 0ïx -2y -2 £ 0 ，则 z = x - 5y 的最小值为（ ）íï + - £2x 6y 9 0îA5 B12C -2 D -724等差数列a 的前 n 项和为S ，若n nS = S ， a = ，则5 1 a = （ ）5 10 1A-2 B73C1 D2y x2 25已知双曲线C : - =1(a > 0,b > 0) 的上、下焦点分别为 F1 (0, 4),F2 (0,-4)，点 P(-6, 4)在该双曲线上，则该双a b2 2曲线的离心率为（ ）A4 B3 C2 D 26设函数 ( )f x=ex + 2sin x1+x2，则曲线 y = f (x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A16B13C12D237函数 ( ) ( )f x = -x2 + ex - e-x sinx 在区间-2.8,2.8的大致图像为（ ）A B C D8已知cosacosa -sina=3，则æ ötan a + =（ ）ç ÷è ø4A2 3 +1 B 2 3 -1 C32D1- 39已知向量a = (x +1, x),b = (x,2)，则（ ）A“ x = -3”是“a b”的必要条件 B“ x = -3”是“ a / /b”的必要条件C“ x = 0 ”是“ a b”的充分条件 D“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b”的充分条件10设a、b 是两个平面， m、n是两条直线，且a I b = m .下列四个命题：1若 m/ n，则 n / /a 或 n / /b 若m n ，则 n a,n b若 n / /a ，且 n / /b ，则 m/ n 若n 与a 和 b 所成的角相等，则m n其中所有真命题的编号是（ ）A B C D 2 911在 VABC 中内角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c ，若 B = ，b = ac ，则sinA + sinC = （ ）34A32B 2 C72D3212已知 b 是 a,c 的等差中项，直线 ax +by +c = 0与圆 x2 + y2 + 4y -1= 0 交于 A, B 两点，则 AB 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D 2 5二、填空题10æ 1 + ö13 x 的展开式中，各项系数的最大值是 ç ÷è ø314已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 r1 和r2 ，母线长分别为 2(r -r )和 ( )3 r -r ，则两个圆台的体积之比 2 1 2 1V甲V乙=15已知 a > 1 ，1 1 5- = - ，则a = log a log 4 28 a16有 6 个相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值， n为取出的三个球上数字的平均值，则 m 与 n 差的绝对值不超过 12的概率是 三、解答题17某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品 总计甲车间 26 24 0 50乙车间 70 28 2 100总计 96 52 2 150(1)填写如下列联表：优级品 非优级品甲车间乙车间2能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 p = 0.5，设 p 为升级改造后抽取的 n 件产品的优级品率.如果p(1- p)p > p +1.65 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能n化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ 150 »12.247）附：2 n(ad -bc)2K =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K ³ k) 0.050 0.010 0.0012k 3.841 6.635 10.82818记 Sn 为数列 a 的前 n 项和，且4S = 3a + 4n n n(1)求 a 的通项公式；nb = - - na ，求数列b 的前 n项和为( 1)n 1(2)设 T n n nn19如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 均为等腰梯形，BC / /AD,EF / /AD ，AD = 4, AB = BC = EF = 2， ED = 10, FB = 2 3 ， M 为 AD 的中点(1)证明： BM / / 平面CDE ；(2)求二面角 F - BM - E 的正弦值3x y2 220设椭圆C : + = 1(a > b > 0)的右焦点为 F ，点a b2 2Mæ 3 ö1,在C 上，且 MF x 轴ç ÷è ø2(1)求C 的方程；(2)过点 P(4, 0)的直线与C 交于 A, B 两点， N 为线段 FP 的中点，直线 NB交直线 MF 于点Q ，证明： AQ y 轴21已知函数 f (x) = (1- ax)ln (1+ x)- x (1)当a = -2 时，求 f (x)的极值；(2)当 x ³ 0 时， f (x)³ 0 恒成立，求a 的取值范围22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r = rcosq +1.(1)写出C 的直角坐标方程；ìx = t(2)设直线 l： íy = t + aî（t 为参数），若C 与 l 相交于 A、B 两点，若 AB = 2 ，求 a 的值.23实数 a,b 满足 a +b ³ 3(1)证明：2a2 + 2b2 > a + b；(2)证明：a - 2b + b - 2a ³ 6 2 242024 年高考全国甲卷数学（理）真题参考答案：1A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由 z = 5+ i Þ z = 5-i,z + z =10，则i(z + z)=10i .故选：A2D【分析】由集合 B 的定义求出 B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为 A =1, 2,3, 4,5,9, B =x x Î A，所以 B =1, 4, 9,16, 25,81，则 AI B =1, 4,9， A (A I B) = 2, 3, 5ð故选：D3D【分析】画出可行域后，利用 z 的几何意义计算即可得.【详解】实数 x, y 满足ì4x -3y -3 ³ 0ïx - 2y - 2 £ 0íï + - £2x 6y 9 0î，作出可行域如图：由 z = x -5 y可得 1 1y = x - z ， 5 5即 z 的几何意义为1 1y = x - z 的截距的 5 51- ， 5则该直线截距取最大值时， z 有最小值，此时直线1 1y = x - z 过点 A ， 5 5ì 3ì4x - 3y - 3 = 0 x =ï联立 íí 2，解得2x + 6y - 9 = 0îï =y 1î，即æ 3 öA ,1 ，ç ÷è ø2则3 7z = -5´1= - .min2 2故选：D.4B1【分析】由 S = S 结合等差中项的性质可得a = ，即可计算出公差，即可得8 05 10a 的值.1【详解】由S10 - S5 = a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = 5a8 = 0 ，则a8 = 0 ，a -a 1则等差数列 = = - ，故a 的公差 d 8 5n3 3æ 1ö 7a a d= - 4 = 1- 4´ ç- ÷=1 5è ø3 3.故选：B.5C【分析】由焦点坐标可得焦距 2c，结合双曲线定义计算可得 2a ，即可得离心率.【详解】由题意， F1 (0,-4)、 F2 (0, 4)、 P(-6, 4)，则 F1F2 = 2c = 8， PF = +( + ) = ， ( )1 6 4 4 10 PF = 2 + - = ，22 22 6 4 4 6则 2a = PF1 - PF2 =10-6 = 4，则e2c 8= = = 2. 2a 4故选：C.6A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】 ( )f ¢ x =( )( ) ( )ex + 2 cos x 1+ x - ex + 2sin x ×2x22(1+ x )2，( 0 )( ) ( 0 )e + 2cos 0 1+ 0 - e + 2sin 0 ´0则 f ¢(0)= = 3， 2(1+ 0)即该切线方程为 y -1= 3x ，即 y = 3x +1，1令 x = 0，则 y =1，令 y = 0 ，则 x = - ，3 1 1 1故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 S = ´1´ - = . 2 3 6故选：A.7B【分析】利用函数的奇偶性可排除 A、C，代入 x =1可得 f (1)> 0，可排除 D.【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f -x = -x2 + e-x - ex sin -x = -x2 + ex - e-x sin x = f x ，又函数定义域为-2.8, 2.8，故该函数为偶函数，可排除 A、C，æ 1ö æ 1ö e 1 1 1又 (1) 1 e sin1 1 e sin 1 0f = - + ç - ÷ > - + ç - ÷ = - - > - >è ø è øe e 6 2 2e 4 2e，故可排除 D.2故选：B.8B【分析】先将cosacosa-sina弦化切求得 tana ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cosacosa -sina=3，1所以1- tana= 3， tan 1 3 Þ a = - ，3æa + ö = = -p tan a +1所以 tan 2 3 1，ç ÷è 4 ø 1- tan a故选：B.9C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对 A，当 a b时，则 a×b = 0 ，所以 x×(x +1)+ 2x = 0，解得 x = 0 或 -3，即必要性不成立，故 A 错误；对 C，当 x = 0时， a = (1, 0),b = (0, 2)，故 a×b = 0 ，所以 a b，即充分性成立，故 C 正确；对 B，当 a / /b时，则2(x +1) = x ，解得 x =1± 3 ，即必要性不成立，故 B 错误；2对 D，当 x = -1+ 3 时，不满足 2(x +1) = x ，所以a / /b不成立，即充分性不立，故 D 错误.2故选：C.10A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断；举反例即可判断；根据线面平行的性质即可判断.【详解】对，当n Ì a，因为 m/ n， m Ì b ，则 n / /b ，当 n Ì b ，因为m/ n，m Ì a ，则 n / /a ，当 n既不在a 也不在 b 内，因为 m/ n，m Ìa,m Ì b ，则 n / /a 且n / /b ，故正确；对，若m n ，则 n 与a,b 不一定垂直，故错误；对，过直线 n 分别作两平面与a,b 分别相交于直线 s 和直线t ，因为 n / /a ，过直线 n的平面与平面a 的交线为直线 s ，则根据线面平行的性质定理知 n / /s ，同理可得 n / /t ，则 s / /t ，因为 s Ë平面 b ，t Ì 平面 b ，则 s / / 平面 b ，因为 s Ì平面a ，a I b = m ，则 s / /m ，又因为 n / /s ，则 m/ n，故正确；3对，若a Ç b = m,n 与a 和 b 所成的角相等，如果 n / /a,n / /b ，则 m/ n，故错误；综上只有正确，故选：A.11C1 13sin Asin C = ，再利用余弦定理有 2 2a +c = ac ，再利用正弦定理得到sin2 A+sin2 C 的 【分析】利用正弦定理得3 4值，最后代入计算即可.【详解】因为p 2 9 4 1B b ac= , = ，则由正弦定理得sin AsinC = sin2 B = .3 4 9 32 2 2 9由余弦定理可得:b = a + c - ac = ac ，4 2 2 13 13 13即: a +c = ac ，根据正弦定理得sin2 A+sin2 C = sin Asin C = ， 4 4 122 2 2 7所以(sin A+ sinC) = sin A+ sin C + 2sin AsinC = ，4因为 A,C 为三角形内角，则sin A+ sinC > 0，则sin sin 7 A+ C = .2故选：C.12C【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为 a,b,c 成等差数列，所以 2b = a +c，c = 2b-a ，代入直线方程ax +by +c = 0得ax + by + 2b - a = 0 ，即 a(x -1)+b(y + 2)= 0 ，令ì ìx -1= 0 xí 得íy + 2 = 0 yî î=1，= -2故直线恒过(1,-2)，设 P(1,-2)，圆化为标准方程得： 2 ( )2C : x + y + 2 = 5，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 PC AB时， AB 最小，PC =1, AC = r = 5 ，此时 AB = 2 AP = 2 AC2 - PC2 = 2 5-1 = 4.4故选：C135ì æ ö10-r æ ö9-r1 1r r +1ï ç ÷ ç ÷C ³C10 10ï è ø è ø3 3【分析】先设展开式中第 r +1项系数最大，则根据通项公式有 í10-r 11-rï æ 1ö æ 1öC ³Cr r -1ï è ø è øç ÷ ç ÷10 103 3î，进而求出 r 即可求解.10-ræ 1 ö【详解】由题展开式通项公式为 = C ç ÷T xr rr+1 10è ø3，0 £ r £10且 r ÎZ ，ì æ ö -r æ ö -r10 91 1r r +1ï ç ÷ ç ÷C ³C10 10ï è ø è ø3 3设展开式中第 r +1项系数最大，则í10-r 11-rï æ 1ö æ 1öC ³Cr r -1ï è ø è øç ÷ ç ÷10 103 3î，ì r ³ïïÞ íï £rïî294334，即29 33£ r £ ，又 r ÎZ ，故 r = 8，4 42æ 1 ö所以展开式中系数最大的项是第 9 项，且该项系数为 C = 58ç ÷10è ø3.故答案为：5.14 64【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.2 2【详解】由题可得两个圆台的高分别为 甲 ( ) ( ) ( )，h = éë2 r - r ùû - r - r = 3 r - r1 2 1 2 1 22 2h = éë r - r ùû - r - r = r - r乙 ，3( ) ( ) 2 2 ( )1 2 1 2 1 21( )S + S + S S h r -r 2 1 2 1 甲V h 3( ) 63所以 = = = =甲 甲 1 2V S S S S h h (r -r )1 2 2 4( )乙 + + 乙1 22 1 2 1 乙3.故答案为： 64.51564【分析】将log a, log 4利用换底公式转化成log a 来表示即可求解.8 a 21 1 3 1 5- = - log = - ，整理得( )a 2 【详解】由题 2 log a - a - = ，2 5 log 6 0log a log 4 log a 2 22 8 a 2Þ log a = -1或log a = 6 ，又 a > 1 ，2 2所以log a = 6 = log 2 ，故 a = 26 = 646 2 2故答案为：64. 716 15【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 a,b ，第三个球的号码为c，则a +b-3£ 2c £ a +b+3，就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从 6 个不同的球中不放回地抽取 3 次，共有 A =120 种，36设前两个球的号码为 a,b ，第三个球的号码为c，则a + b + c a + b 1 - £ ，3 2 2故 2c -(a +b) £ 3，故 -3 £ 2c - (a + b) £ 3，故 a +b-3£ 2c £ a +b+3，若c =1，则 a + b £ 5 ，则(a,b)为：(2, 3),(3, 2)，故有 2 种，若c = 2，则1£ a +b £ 7，则(a,b)为：(1, 3),(1, 4),(1, 5),(1, 6),(3, 4)，(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4, 3)，故有 10 种，当c = 3，则3 £ a + b £ 9 ，则(a,b)为：(1, 2),(1, 4),(1, 5),(1, 6),(2, 4),(2, 5),(2, 6),(4, 5)，(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4, 2),(5, 2),(6, 2),(5, 4)，故有 16 种，当c = 4，则5 £ a +b £11，同理有 16 种，当c = 5 ，则7 £ a +b £13，同理有 10 种，当c = 6 ，则9 £ a +b £15，同理有 2 种，共 m 与 n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为 2(2+10+16)= 56，56 7故所求概率为 = .120 1567故答案为：1517(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 K2，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得 p = 0.64，根据题意计算pp(1- p)+1.65 ，结合题意分析判断.n【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品 非优级品甲车间 26 24乙车间 70 302 可得 ( )2 150 26 30 24 70 75´ - ´，K = = =4.6875 50´100´96´54 16因为3.841 < 4.6875 < 6.635 ，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.96（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为150= 0.64 ，用频率估计概率可得 p = 0.64，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 p = 0.5，则 1.65 (1 ) 0.5 1.65 0.5 (1 0.5 ) 0.5 1.65 0.5 0.568p - p -p + = + » + ´ » ，n 150 12.247可知p(1- p)p > p +1.65 ，n所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18(1) 4 ( 3)na = × - -1 n(2)T = (2n -1)×3 +1 nn【分析】（1）利用退位法可求 a 的通项公式n（2）利用错位相减法可求T .n7【详解】（1）当 n = 1时， 4S1 = 4a1 = 3a1 +4 ，解得a1 = 4 当 n ³ 2时， 4Sn-1 = 3an-1 + 4 ，所以 4Sn -4Sn-1 = 4an = 3an -3an-1 即 an = -3an-1 ，而 a = ¹ ，故 a ¹ 0 ，故1 4 0nanan-1= -3，数列a 是以 4 为首项， -3为公比的等比数列，nn-1所以 a ( )= 4× -3 . n（2）b = - - ×n× × - - = n× - ,( 1)n 4 ( 3)n 4 3n1 1 1 n所以T = b +b +b + L+b = 4×30 +8×31 +12×32 +L+ 4n×3n-1n 1 2 3 n故3 4 3 8 3 12 3 4 3nT = × 1 + × 2 + × 3 +L+ n×n所以 - = + × + × +L+ × - ×2T 4 4 31 4 32 4 3n-1 4n 3nn3 1-3( )n-1= 4 + 4× - 4n×3n1-3= 4 + 2×3× 3n- -1 - 4n×3n( 1 )= (2-4n)×3n -2，T = (2n-1)×3n +1.n19(1)证明见详解；(2)4 313【分析】（1）结合已知易证四边形 BCDM 为平行四边形，可证 BM /CD ，进而得证；（2）作 BO AD 交 AD 于O，连接OF ，易证OB,OD,OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【详解】（1）因为 BC/AD, EF = 2, AD = 4,M 为 AD 的中点，所以 BC/MD,BC = MD ，四边形 BCDM 为平行四边形，所以 BM /CD ，又因为 BM Ë 平面CDE ，CD Ì 平面CDE ，所以 BM / 平面CDE ；（2）如图所示，作 BO AD 交 AD 于O，连接OF ，因为四边形 ABCD为等腰梯形， BC/AD, AD = 4, AB = BC = 2，所以CD = 2 ，结合（1） BCDM 为平行四边形，可得 BM = CD = 2，又 AM = 2 ，所以VABM 为等边三角形，O为 AM 中点，所以OB = 3 ，又因为四边形 ADEF 为等腰梯形， M 为 AD 中点，所以 EF = MD, EF/MD ，8四边形 EFMD为平行四边形， FM = ED = AF ，所以AFM 为等腰三角形，VABM 与AFM 底边上中点O重合，OF AM ，OF = AF 2 - AO2 = 3 ，因为OB2 + OF2 = BF2 ，所以OB OF ，所以OB,OD,OF 互相垂直，以OB 方向为 x 轴，OD 方向为 y 轴，OF 方向为 z 轴，建立O- xyz 空间直角坐标系，F ， B( 3,0,0),M (0,1, 0 ),E (0, 2,3 )， BM = (- 3,1, 0), BF =(- 3, 0,3)，(0, 0, 3)BE = - ，设平面 BFM 的法向量为 ( )( 3, 2,3)m = x1, y1, z1 ，平面 EMB 的法向量为 n = (x2, y2, z2 )，rì × = ì- + =m BM 0 3x y 0ï ï1 1则 r uuur ，即 ííïm×BF = 0 ï- 3x + 3z = 0î î1 1，令rx = ，得 y1 = 3,z1 =1，即 m = ( 3, 3,1)1 3 ，rì × = ì- + =n BM 0 3x y 0ï ï2 2则 r ，即í íuuurï ïî în ×BE = 0 - 3x + 2y + 3z = 02 2 2，令x2 = 3 ，得 y2 = 3, z2 = -1，r rr即 n = ( 3,3,-1)cosm,n，m×n 11 11r r ，则sin , 4 3r r= = =m n =m × n 13× 13 1313，故二面角 F - BM - E 的正弦值为4 313.20(1)x y2 2+ =4 31(2)证明见解析【分析】（1）设 F (c,0)，根据 M 的坐标及 MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设 AB : y = k(x - 4) ， A(x1, y1 )， ( 2, 2 )B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用 A, B 的坐标表示y - y ，结合韦达1 Q定理化简前者可得 y1 - yQ = 0 ，故可证 AQ y 轴.【详解】（1）设 F (c,0)，由题设有c =1且b2 3= ，故a 2a2 -1 3= ，故 a = 2，故b = 3 ，a 2故椭圆方程为x y2 2+ = 1.4 39（2）直线 AB 的斜率必定存在，设 AB : y = k(x - 4) ， A(x1, y1 )， ( )B x2, y2 ，ì3x2 + 4y2 =12由 3+ 4k x -32k x + 64k -12 = 0 ，可得( )2 2 2 2íy = k(x -4) î1 1故 ( )( ) =1024k - 4 3+ 4k 64k -12 > 0 ，故 - < k < ，4 2 22 2又32k 64k - 122 2x + x = , x x = ，1 2 2 1 2 23+ 4k 3+ 4k而Næ 5 ö,0ç ÷è ø2，故直线y æ 5öBN y x: = ç - ÷25 2è øx -22，故yQ3- y - y232= = 25 2x -5x - 222，所以3 2 5 3y y ´( x - )+ yy - y = y + 2 =1 2 21 Q 12x -5 2x -52 2=k (x 4) (2x 5) 3k (x 4 )- ´ - + -1 2 22x -5264k -12 32k2 22´ -5´ +82x x -5 x + x +8 3+ 4k 3+ 4k( )2 2= k = k1 2 1 22x -5 2x -52 2128k -24 -160k +24 +32k2 2 23 4 0+ k2= k =2x -52，故 y1 = yQ ，即 AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为( 1, 1 ),( 2, 2 )x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为 x1 + x2 、 x1x2 （或y + y 、1 2y y ）的形式；1 2（5）代入韦达定理求解.21(1)极小值为0 ，无极大值.(2) a £ -1210【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.1 1（2）求出函数的二阶导数，就 a £ - 、- < a < 0 、 a ³ 0 分类讨论后可得参数的取值范围.2 2【详解】（1）当 a = -2 时， f (x) = (1+ 2x) ln(1+ x)- x，故 1+ 2x 1f ¢(x) = 2 ln(1+ x)+ -1= 2 ln(1+ x)- +1 1+ x 1+ x，因为 1y = 2 ln(1+ x), y = - +1 1+ x在(-1,+¥)上为增函数，故 f ¢ (x) 在(-1,+¥)上为增函数，而 f ¢(0) = 0 ，故当 -1< x < 0时， f ¢(x) < 0 ，当 x > 0 时， f ¢(x) > 0 ，故 f (x)在 x = 0处取极小值且极小值为 f (0)= 0，无极大值.1 (a +1) x- ax（2） ¢( ) ( )+ - = - ( + ) - > 1+ x 1+ xf x = -aln 1+ x 1 aln 1 x , x 0，(a +1)x设 ( ) ( )s x = -a ln 1+ x - ,x > 01+ x，则 ( )s¢ x-a (a +1) a( x +1) + a +1 ax +2 a +1= - = - = - ，x +1 (1+ x) (1+ x) (1+ x)2 2 21a £ - 时， s¢(x)> 0，故 s(x)在(0,+¥)上为增函数， 当2故 s(x)> s(0)= 0，即 f ¢(x)> 0，所以 f (x)在0,+¥ )上为增函数，故 f (x)³ f (0)= 0.1当 - < a < 0 时，当022a +1< < - 时， s¢(x)< 0，xaæ 2a +1ö æ 2a +1ö故 s(x)在 上 s(x)< s(0)，0,- 上为减函数，故在 0,-ç ÷ ç ÷è ø è øa aæ 2a +1ö即在 0,-ç ÷è øa上 f ¢(x)< 0即 f (x)为减函数，æ 2a +1ö故在 0,-ç ÷è øa上 f (x)< f (0)= 0，不合题意，舍.当 a ³ 0，此时 s¢(x)< 0在(0,+¥)上恒成立，同理可得在(0,+¥)上 f (x)< f (0)= 0恒成立，不合题意，舍； 1综上， a £ - . 2【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.1122(1) y2 = 2x +1(2) a =34ìïr = x + y2 2【分析】（1）根据 íïr cosq = xî可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法 1：结合参数 s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数 a 的值；法 2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求 a 的值.【详解】（1）由 r = r cosq +1，将ìïr = x + y2 2íïr cosq = xî代入 r = r cosq +1，故可得 x2 + y2 = x +1，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为 y2 = 2x +1.（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为 y = x + a .法 1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为4，ì2x = sïï 2故直线的参数方程可设为 í2ï = +y a sïî 2， sÎR .将其代入 y2 = 2x +1 中得 ( )s2 + 2 2(a -1)s + 2 a2 -1 = 0设 A, B 两点对应的参数分别为 1 2 2 2 1 , 1 2 2 1s1,s2 ，则 s + s = - (a - ) s s =