江苏南京六校联合体2024年高二下学期期末调研测试数学试卷含答案.pdf

2023-2024 学年第二学期六校联合体期末调研测试高二数学2023-2024 学年第二学期六校联合体期末调研测试高二数学2024.6.24注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1对于 x，y 两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数 r（如下），则线性相关性最强的是A0.87B0.72C0.78D0.852在空间直角坐标系 Oxyz 中，点(1，2，3)关于 x 轴的对称点坐标是A(1，2，3)B(1，2，3)C(1，2，3)D(1，2，3)3已知(x2)8a0a1(x1)a8(x1)8，则 a0a1a8A1B0C1D243 个男生 2 个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是A24B48C96D1205已知函数 f(x)tanx，那么 f (3)的值是A.33B.3C.2D.46已知随机变量 X，Y 满足:XB(4，p)，P(X0)1681，X2Y1，则AE(X)23BE(Y)13CD(X)49DD(Y)297给出下列四个命题，其中真命题是A若向量 a 与向量 b，c 共面，则存在实数 x，y，使 axbycB若存在实数 x，y，使MPxMAyMB，则点 P，M，A，B 共面C直线 a 的方向向量为 a(1，0，1)，平面的法向量为 m(1，1，1)，则 aD若平面经过三点 P(1，2，0)，Q(1，0，1)，T(0，1，0)，向量 n(1，x，y)是平面的法向量，则 xy2#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#江苏南京六校联合体2024年高二下学期期末调研测试数学试卷含答案8若函数2)(xaexfx有两个极值点21,xx，且21xx，则下列结论中不正确的是A12xB112xexCa的范围是)2,0(eD0lnln21xx二二选择题选择题：本题共本题共 3 3 小题小题，每小题每小题 6 6 分分，共共 1818 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多有多项符合题目要求项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 6 6 分分，部分选对得部分分部分选对得部分分，不选或有选错的得不选或有选错的得 0 0 分分9 A，B分别为随机事件 A，B 的对立事件，下列命题正确的是AP(A|B)P(A|B)1B若 P(A)0，P(B)0，则 P(A)P(B)P(AB)C若 P(A|B)P(A)，则 A 与 B 独立DP(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A)10已知函数 f(x)13x3ax2x，下列选项正确的是A若 f(x)在区间(0，2)上单调递减，则 a 的取值范围为(34，)B若 f(x)在区间(0，2)上有极小值，则 a 的取值范围为(，34)C当 a0 时，若经过点 M(2，m)可以作出曲线 yf(x)的三条切线，则实数 m 的取值范围为(2，23)D.若曲线 yf(x)的对称中心为(1，53)，则 a111在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 F 在底面 ABCD 内运动(含边界),点 E 是棱 CC1的中点,则A.若 F 在棱 AD 上时，存在点 F 使 cosD1B1F56B.若 F 是棱 AD 的中点，则 EF/平面 AB1CC.若 EF平面 B1D1E，则 F 是 AC 上靠近 C 的四等分点D.若 F 在棱 AB 上运动，则点 F 到直线 B1E 的距离最小值为255三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分12 平面过点 A(0，1，0)，其法向量为 m(0，2，1)，则点 B(1，1，1)到平面的距离为_13从集合 U=a1，a2，a3，a4的子集中选出 2 个不同的子集 A，B，且 AB，则一共有_种选法14现有甲、乙两个盒子，甲盒有 2 个红球和 1 个白球，乙盒有 1 个红球和 1 个白球先从甲盒中取出 2 个球放入乙盒，再从乙盒中取出 2 个球放入甲盒 记事件 A 为“从甲盒中取出 2 个红球”，事件 B 为“乙盒还剩 1 个红球和 1 个白球”，则 P(B|A)_，P(AB)_#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#四四、解答题解答题：本题共本题共 5 5 小题小题，共共 7777 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤15(本小题满分 13 分)为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的 100 名学生，整理得到如下，左表数据：（1）求 a,b 的值，并判断是否有 90的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？（2）经调查，学生的学习效率指数 y 与每天锻炼时间 x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见右下表，求 y 关于 x 的线性回归方程附：（1）22n adbcabcdacbd（2）1122211,nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx16(本小题满分 15 分)已知),3()2()(*Nnnxxfn的展开式中，第 2，3，4 项的二项式系数成等差数列（1）求n的值；（2）求)001.0(f的近似值（精确到0.01）；（3）求nx)2(的二项展开式中系数最大的项男学生女学生合计喜欢运动ab60不喜欢运动bb合计60100 x23456y2.533.5560.10.050.01x2.7063.8416.635#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#17(本小题满分 15 分)如图，所有棱长均为 2 的正四棱锥 PABCD，点 M，N 分别是 PA，BD 上靠近 P，B 的三等分点.（1）求证：MNBC；（2）求二面角 MCNB 的余弦值18(本小题满分 17 分)某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮 4 次，选手在连续投篮时，第一次投进得 1 分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多 1 分；若某次未投进，则该次得 0 分，且下一次投进得 1 分已知甲同学每次投进的概率为13，乙同学每次投进的概率为23，且甲、乙每次投篮相互独立（1）求甲最后得 3 分的概率；（2）记甲最后得分为 X，求 X 的概率分布和数学期望；（3）记事件 B 为“甲、乙总分之和为 7”，求 P(B)19(本小题满分 17 分)定义：如果函数 yf(x)与 yg(x)的图象上分别存在点 M 和点 N 关于 x 轴对称，则称函数 yf(x)和 yg(x)具有“伙伴”关系.（1）判断函数 f(x)9x4 与 g(x)3x+1是否具有“伙伴”关系；（2）已知函数 f(x)lnxax1，x(1，)，a0，g(x)1ax2a.若两函数具有“伙伴”关系，求 a 的取值范围；若两函数不具有“伙伴”关系，求证：1n11n21n31nn14nln2，其中 n 为正整数#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#第第 1页页2023-2024 学年第二学期六校联合体期末调研测试学年第二学期六校联合体期末调研测试高二数学参考高二数学参考答案答案2024.6一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1A2C3B4B5D6D7B8B二二选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0 分分9 ACD10BCD11BCD三三、填空题填空题：本大题共本大题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上12551365142192四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）解：（1）20,40ba分分假设0:H认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，2210040202020252.7782.706604040 609分分所以根据0.1的独立性检验，认为0H不成立，即认为学生的性别与喜欢运动有关联；分分（2）由题意得552114,4,90,89iiiiixyxx y，2895 440.9905 4b ，40.9 40.4a，分分回归方程为0.90.4yx分分16（本小题满分 15 分）解：（1）展开式中第 2，3，4 项的二项式系数成等差数列，2312nnnCCC，整理得01492 nn解之，得7,2nn，又3n，7n分分（2）70716252777(0.001)(20.001)220.001+2(0.001)fCCC128.448672128.45分分#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#第第 2页页（3）rrrrxCT7712依题意得211rrrrTTTT，即rrrrrrrrCCCC77617778172222解之，3835 r，又*Nr，2r故展开式中系数最大得项为2252736722xxCT分分17（本小题满分 15 分）解：连接AC交BD于O，建立如图所示的空间直角坐标系则2,0,0A，0,2,0B2,0,0C，0,2,0D，0,0,2P，22 2,0,33M，20,03N（1）222 2,333MN ，分分2,2,0BC ，分分0BC NM BCMN分分（2）222 2,333MN ，22,03CN，设平面MCN的法向量为 m,x y z，则m0MN ，m0CN 解得：m1,3,2 分分设 平 面BCN的 法 向 量 为 n0,0,1,分分设二面角MCNB的平面角为，214coscos,714m n 分分由图可知二面角MCNB的余弦值为147分分18（本小题满分 17 分）解：（1）记事件A为“甲得 3 分”，274)32()31(3)(22AP分分（2）X的取值为 0，1，2，3，4，6，10，8116)32()0(4XP8132)32(314)1(3XP8112)32()31(3)2(22XP#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#第第 3页页8112)32()31(3)3(22XP81432)31(2)4(3XP81432)31(2)6(3XP811)31()10(4XPX01234610P8116813281128112814814811分分142()81E X 分分（3）记Y为乙最后得分，则事件B为“甲 1 分，乙 6 分”，“甲 3 分，乙 4 分”，“甲 4 分，乙 3 分”，“甲 6 分，乙 1 分”811631)32(2)6(3YP811631)32(2)4(3YP222112(3)3()()3381P Y 3128(1)4()3381P Y 故656184781881481128148116811281168132)(BP分分19（本小题满分 17 分）（1）函数 f(x)与 g(x)具有“伙伴”关系，理由如下：根据定义，若 f(x)与 g(x)具有“伙伴”关系，则在 f(x)与 g(x)的定义域的交集上存在 x，使得 f(x)g(x)0.所以 9x43x+10，即(3x4)(3x1)0，解得 x0，所以 f(x)与 g(x)具有“伙伴”关系.分分（2）函数 f(x)lnxax1，x(1，)，a0，g(x)1ax2a令 h(x)f(x)g(x)lnxaxa1x2a1，x(1，)，a0，#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#第第 4页页h(x)1xaa1x2(x1)1a(x1)x2分分两函数具有“伙伴”关系,则函数 h(x)在(1，)上有零点.当 a12时，h(x)0，所以 h(x)在(1，)上递减，所以 h(x)h(1)0，此时函数 h(x)无零点，不符合题意.分分当 0a12时，h(x)在(1，1a1)上递增，在(1a1，)上递减，且 x(1，1a1)时，h(x)h(1)0，h(1a1)0当 x1 时，函数 ylnxx 的导函数 y 1x11xx，所以该函数在(1，)上递减，所以 yln110，所以 lnxx，从而 ln x x，即 lnx2 x此时，h(x)lnxaxa1x2a12 xaxa112a1ax2 xa取x0a211a所以 h(x0)a(a211a)22a211aa0从而 h(1a1)h(x0)0，又函数 h(x)图象在(1a1，)上连续不间断，由零点存在定理可得，函数 h(x)在(1a1，)上存在唯一零点，即存在 x1(1，)，使得 h(x1)0综上可得，若两函数具有“伙伴”关系，a 的取值范围为(0，12)分分由可得若两函数不具有“伙伴”关系，a 的取值范围为12，)，且当 a12时，恒有 h(x)0 成立，即11ln2xxx在(1，)恒成立分分所以当1nxn时，可得1111 11ln2121nnnnnnnn同理2111ln1212nnnn，3111ln2223nnnn，111ln121nnnnnnnn两边分别累加得：12lnlnln11nnnnnnnn111111121121nnnnnnnn#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#第第 5页页即1211111ln1121214nnnnnnnnnnnnnn即11111ln21234nnnnnn分分#QQABBQYEggCgAIBAAQhCUwWCCgOQkAECCagOwFAAMAAAQANABCA=#