好题赏析全网最热的85个问题！.pdf

1 好题好题赏析，全网最热门的赏析，全网最热门的8585个问题个问题 1.貌似一元貌似一元，实则三元实则三元，二元搞定二元搞定 例 设函数()=2+(2 1)2在区间3，4上至少有一个零点，则2+2的最小值为_.分析：从题目面目来看，是一个一元函数问题，但它也可以看做关于,的三元问题，即存在实数,，(,3,4-，使得方程2+(2 1)2=0成立，而要解决问题，这个方程又可以看做关于,的直线方程，由于2+2表示点(,)到原点的距离的平方，根据垂线段最短，得到以下解法.解析：由已知可得(2 1)+2 2=0(,3,4-)，则2+2(|:2|(2;1)2:(2)2)2=(:2)24:22:1=.:22:1/2，令g()=:22:1(,3,4-)，则g()=2:1;(:2)2(2:1)2=1;4;2(2:1)2 0，g()为减函数.则g()=g(4)=617，所以2+2的最小值为36289.2.最值函数的最值最值函数的最值问题问题 例 若函数()=2+有两个零点,，若存在 ，+1，则min*(),(+1)+的最大值为_.解析：由已知可得()=()()，显然min*(),(+1)+取得最大值时()=(+1).当()=(+1)时，可得:(:1)2=:2，所以=:;12.则()=()()=()().;:;2/2=.:;22/2=14.所以min*(),(+1)+的最大值为14.3.用比例法用比例法或赋值法或赋值法直接凑目标函数直接凑目标函数 例 1 已知不等式 2 2在平面区域=*(,)|1 且|1+上恒成立，若+的最大值和最小值分别为和，则的值为（）A.4 B.2 C.4 D.2 答案：C.解析：由1=;21，得=12，则由 2 2，得(+)2.当0 1时，+2恒成立，得+2；当1 0时，+2恒成立，得+2；所以=2,=2，则=4.补充：当+=2时，=1，则 2 2等号成立时，必有=1,=1，即 2=2，所以=2,=0；【不要把+与 2取得最大值的条件混为一谈】当+=2时，=1，则 2 2等号成立时，必有=1,=1，即 2=2，所以=2,=0；【不要把+与 2取得最小值的条件混为一谈】释疑：为什么直接赋值（用比例法找到该值）得到的就是目标函数的最大值，原因就在于满足所有条件下（条件更苛刻）求目标函数的最大值，一定满足 。它又类似于对函数的最大值的理解，即，若0，()(0)，则，()(0)。2 变式 已知不等式 2 2在平面区域=*(,)|1 且|13+上恒成立，若+的最大值和最小值分别为和，则的值为_.答案：9.解析：由1=;21，得=2，则由 2 2，得(+)1.当0 13时，+1恒成立，得+3；当13 0对 ,0,+)恒成立，则实数的取值范围为_。解析：命题等价于 2:1对 (0,+)恒成立，令g()=2:1，则g()=2(;1);12，显然g(2)=0。易知g()在（0，2）递减，在（2，+）递增。所以g()=g(2)=1，所以 1.则原命题等价于g()=2+(+2)|+1 2(1)有三个零点，作出有三个零点的g()的图象，由图可知，只需g(0)0，解得1 0，且82+1=1，则+的最小值为_.答案：6.解析：+=.82+1/+=8+383=6，=4,=2时等号成立。12.两个不等式同时成立两个不等式同时成立 例.设函数()=2+3，g()=2，若0，使得(0)0与g(0)0，得 6或 2，此时()6;2;4;122 2或 2，解得 6或 0，则的取值范围是_.答案：,23,1).解析：3+32 2 0 3+32 +2，令g()=3+32，()=+2，作出符合题意的图象，要满足题设，则g(1)(1)g(2)(2)，解得23 ，无论取何值，()在(,+)上总是不单调，则的取值范围是_.5 答案：(,34-解析：当4 3 0，即 34时，满足题设；当4 3 0，即 34时，由于()=23 6在,1,+)单调递增，要满足题设，则只需(4 3)+2 4 23 6对 1恒成立，即 23;3:44:2对 1恒成立，此时不存在。故 (,34-.15.三角形的面积三角形的面积 例.在中，=7，=8，且cos()=1314，则的面积为_.答案：103.解析：设7sin=8sin=1(0)，则sin=7，sin=8，则由cos()=1314，可得1 642 1 492+562=1314，解得=314，所以sin=32，sin=437，易得sin=5314，故=12 8 7 5314=103.16.矩形大法矩形大法 已知矩形，设为其所在平面上任意一点（或为空间任意一点），则2+2=2+2 证明：（法 1，分析法）2+2=2+2 (+)2 2 =(+)2 2 =(+)(+)=(+)(+)(+)=(+)0=0，所以2+2=2+2.（法 2，坐标法）过程略。例.已知|=|=2，|=1，且()()=0，则|的取值范围是_.答案：,7 1，7+1-.解析：作出矩形，如右图，则由2+2=2+2，得=7。当，同向时，|=7 1；当，反向时，|=7+1.1.在平面直角坐标系中，已知,两点在圆2+2=4上，点(1,1)，且 ，则线段长的取值范围是_.答案：,6 2,6+2-.解析：以,为邻边作矩形，则由2+2=2+2，得=6；又 +，所以6 2 6+2.2.在平面直角坐标系中，圆1:2+2=4，圆2:2+2=16，点(1,0)，动点,分别在圆1,2上，且 ，则线段长的取值范围是_.答案：,19 1,19+1-.17.平面向量基本定理平面向量基本定理 6 例.在平面四边形中，与相交于点，若3+=3，=3=3，=3，则 =_ 答案：3.解析：由3+=3，得=+13=+13，又=+，所以+=+13，则=1,=3（系数的唯一性），所以=1,=2，则 =2 3 .12/=3.18.奔驰定理奔驰定理 奔驰定理：设为内一点，则+=0.例.为内一点，且满足+2+4=0，则与的面积比为_.答案：4:1.解析：由奔驰定理，得:=1:2:4，所以:=4:1.练习：1.为内一点，且满足 3+4+5=0，则与的面积比为_.答案：5:3.2.已知 P 是ABC 所在平面内一点，若=34 23，则PBC 与ABC 的面积的比为()A.13 B.12 C.23 D.34 答案：A.解析：（法 1）=34 23 =34()23()4 +9=0.如右图，=4，=1，=9，则=44:9;1=13.（法 2）如右图，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，设 A(xA，yA)，P(xP，yP)，C(xC，0)，=34 23，即(xPxA，yPyA)34(xC，0)23(xA，yA)，故 yPyA023yA，所以 yP13yA，故SPBCSABC13.19.靠观察破解靠观察破解 例.已知等比数列*+满足1 1，若1+2+3+4=ln(1+2+3)，则1,2,3,4按照从大到小的顺序排列为_ 解析：由1+2+3+4=ln(1+2+3)，得4=ln 0，所以 0，与已知矛盾；当 1时，1+2+3+4 ln1 0，与已知矛盾；所以1 3 0，2 4 3 4 2.20.点差法点差法解决弦中点问题解决弦中点问题 例.设直线与抛物线2=4相交于,两点，与圆:(5)2+2=2(0)相切于点，且为线段的中点。若这样的直线恰有 4 条，则的取值范围为（）7 A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案：D。解析：由于可以作出两条垂直于轴的直线，根据对称性，只需探讨如图所示的直线状态，设(1,1),(2,2),(0,0)(0 0)，则12=4122=42，1+2=201+2=20，1;21;200;5=1，点差法可得0=3.又点必须在抛物线包围的区域内，则02 40，得0 02 12.所以2=(0 5)2+02=02+4 (4,12).则 (2,4).21.用换元法解决边界纷争用换元法解决边界纷争 例 1.已知函数()=ln+1 1.（1）当=2时，求函数()在点(1,(1)处的切线方程；（2）判断函数()的单调性；（3）当0 12时，求证：对任意的 (12,+)，都有.1+/:0)，当 0时，()0时，()=2.1/，易知()在(0,1)递减，在(1,+)递增.（3）依题设，.1+/:(+)ln.1+/1 ln.1+/12,0 0，所以g()在(0,12)单调递增，则g()g.12/，即g()=ln.1+/1:ln.1+12/22:1=ln(1+)2:1(=12(0,1).令()=ln(1+)2:1(0 1)，则()=11:2(1:)2=;1(1:)2 0，则()在（0，1）上为减函数，所以()(0)=0，即g()0.从而当0 12时，对任意的 (12,+)，都有.1+/:0时，()=在(0，+)有且仅有一个零点.证明：当 0，0时，()=()，令=ln(1)，则只需证明函数ln(ln)在(1，+)上有且仅有一个零点.又即只需证明g()=ln 在(1，+)上有且仅有一个零点.由于g()=1+2 0，则g()在(1，+)上单调递增.注意到g(1)=0)，则()=1:11(:1)2=(:1)2 0，所以()在(0，+)上单调递增，则()(0)=0，即g(+1)0.所以g()=ln 在(1，+)上有且仅有一个零点.从而 0时，()=在(0，+)有且仅有一个零点.【点评】通过指数函数与对数函数的互化（换元法），使()在区间(0，+)边界 0 不可取，变为g()在区间(1，+)边界 1 可取，是解决这类问题的关键所在.22.数形结合数形结合求向量模的最值求向量模的最值 理解|()的几何意义：表示 ，共起点时向量 的终点到向量 所在直线上的点的距离.且|的最小值为|sin ,。例.已知不共线向量 ,满足()=43，且,，|=1，|=2，则|的最小值为_.答案：4.解析：由()=43，得|cos 43；由|=1，得垂线段=|sin=1；由|=2，得垂线段=|sin=2；所以2cossin2 43，即(2cos 3)(3cos+2)0，解得cos 32，即 (0,6-，所以|=2sin 4.23.阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 例.在中，=2，是的角平分线，且交于点，=，若的面积为 1，则当边最短时，=_.解析：以中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，记(,0),(,0)。设(,)，则由|=2|，可得.53/2+2=1629.又=12 2 =1，当边最短时，取最大值43，此时(53,43).由角平分线定理得=2 =2，则(3,0).所以=|=4225=2105.24.切线型不等式切线型不等式 的应用的应用 例.若实数,满足2 3 ln(+1)+ln(2)，则=_.解析：由 1 ln，可得+ln(+1)，3 ln(2)，两式相加，得2 3 ln(+1)+ln(2)，又已知2 3 ln(+1)+ln(2)，所以2 3=ln(+1)+ln(2)，此时+=0 =3，解得=32，=32，所以=94.25.数形结合失灵时数形结合失灵时 O A B C D 9 例 已知函数()=2sin(+),0，若.4/=2，()=0，且()在(4,3)上具有单调性，那么的取值共有（）A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 答案：D.解析：由()在(4,3)上具有单调性，得34122，所以0 0)，直线与抛物线相交于,两点，与抛物线的准线相交于点（在线段上），若=，则=_.答案：22.解析：设,两点在准线上的射影分别为1,1，令=1=,=1=，直线的倾斜角为，由=知=+，则cos=:=2(:)，所以=2，则cos=13，则=tan=22.说明：涉及过抛物线焦点或过准线与对称轴的交点的直线问题，利用抛物线定义、焦半径公式|=1cos、解三角形、平面几何等知识可以简捷地解决，比“硬解”计算量小许多。31.换元法使三元问题变二元问题换元法使三元问题变二元问题（线性规划）（线性规划）例 已知二次函数()=2+，且4 9，若()0恒成立，则(1)(0);(;1)的取值范围是_.答案：.,116/(3,+).解析：由已知可得 02 9；11 又(1)(0);(;1)=:;=:1;1=:1;1=1+:2;1，其中=，=，则由 02 9 294.作出可行域，如图阴影部分（不含边界线）.设过点(1,2)的直线方程为+2=(1)，与2=4联立消元，得2 4+4+8=0，令=0，可得2=1=2，或2=2=4，又设.3,94/，则=1716.则由图可知:2;1 2，所以(1)(0);(;1).,116/(3,+).32.含含(-1)n的数列问题的数列问题 1.已知数列*+的前项的和满足=2+(1)，求数列*+的通项公式.1.=23,2;2+(1);1-.解析：方法一：(;1)+13=201(;1)1+131 =13,2(1)-=23,2;2+(1);1-；方法二：(;1)+23=201(;1)1+231 =23,2;2+(1);1-.2.已知数列*+满足1=1，:1=2+(1)，求*+前 2018 项的和2018.2.解：由:1=2+(1)，得:2:1=2 (1)，两式相加，得:2=4，则为偶数时，=2+.2 1/4=2 2，为奇数时，=2+;1+1=2 1，所以=2 3:(;1)2，故2018=(1+2018)2018 3 1009=4071315.3.已知数列*+满足1=2=1，:3+(1):1=2，求*+前 2018 项的和2018.3.解：当=2时，2:3+2:1=2；(奇数项平均值为 1)当=2 1时，2:2 2=2；（偶数项成等差数列）从而易得2018=1009+10092=1019090.4.已知=(1)(2 1)cos2+1，则60=_.4.解析：当=4 3()时，4;3=1；当=4 2()时，4;2=8+6；当=4 1()时，4;1=1；当=4()时，4=8；则4;3+4;2+4;1+4=8，所以60=8 15=120.33.三角形面积公式的坐标表示三角形面积公式的坐标表示 1.在中，=(2sin32，2cos32)，=(cos77，cos13)，则的面积为_.1.2.【解析：=|2sin32cos13 2cos77cos32|=2sin45=2.】2 4 12 2.设(1,1)，(2,2)，(3,3)是圆:2+2 2+4=0上任意三点，则12 21+23 32 的最大值为_。答案：20.解析：显然圆:(1)2+(+2)2=5经过原点。根据三角形面积公式的坐标表示，+=12|12 21|+12|23 32|=10.（圆的内接正方形面积最大，正方形边长为10.）则12 21+23 32|12 21|+|23 32|=20.34.三次函数一定可以因式分解三次函数一定可以因式分解 例 若对任意 0，函数()=3+2+1在区间(,0)内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_.答案：(,3-.解析：设函数()在区间(,0)内的唯一零点为(0)，则3+2+1=(+).2+1/，所以=+=+1，（1）当2+1=0有重根时，可得=1，=2，=3.（2）当2+1=0无负数解，即=1;无负数解时，得 21，则=+1 21+1=2+1，由于2+1=+1 3，所以 0，则()在上单调递增，即在区间上()的切线斜率是递增的，曲线()是向下凹的。在区间上，若()0，则()在上单调递减，即在区间上()的切线斜率是递减的，曲线()是向上凸的。例 1 已知()=(+1)()是函数()的导函数，若()在=处取得极大值，则实数的取值范围是_.答案：(1，0).解析：()=(+1)，要满足题设，则()=(+1)0，解得1 0.36.容易忽略的配方容易忽略的配方 例 1 求()=sin;16;4cos;2sin(0 2)的值域。解：由于sin ,1,1-，所以()0；当sin ,1,1)，()=sin;16;4cos;2sin=sin;1(cos;2)2:(sin;1)2=11:.cos2sin1/2，cos;2sin;1的几何意义是过(sin,cos)，(1,2)两点的直线的斜率，且点在圆2+2=1上。设直线的方程为 2=(1)，即 +2 =0，则|2;|2:1 1，解得 34。O A B C 13 所以=34时，()=11:.34/2=45.故()的值域为,45,0-.37.函数有极值，则导函数必有变号零点函数有极值，则导函数必有变号零点 例 已知函数()=e在(0，+)上存在极值点，且极值大于ln4+2，求的取值范围.解：显然 2(ln2+1)，由于()=(+1)e在（0，+）上递增，且(ln2)=2(ln2+1)，所以可得0 ln2.又()=2e在（ln2，+）上递减，则由=02e0可得 0)，若()在=1处的切线与g()在=2处的切线平行，且1 2 0恒成立，则的最小值为（）A.12 B.1 C.12 D.1e 答案：D。解析：设(1)=g(2)=，即ln1=2=0，所以1=，2=1ln.则1 2 0 1ln ln +ln ln(ln)，左边函数零点为ln，右边函数零点为，则ln ，即ln+0，由于()=ln+为增函数，且.1/=0，所以 1.39.面积型线性规划面积型线性规划 武汉市二调 11 题 若,满足约束条件|+2|2|2 3|6，则(+1)的取值范围是（）A.,3,0-B.,3,94-C.,0,98-D.,3，98-答案：D。解析：令=+1=，则约束条件为|+2 1|2|3 2 3|6，目标函数为=，【由于=具有面积的含义，即过可行域一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的面积（或其相反数）】则由图可知，当点(,)在直线+2=3上时，=(3 2)，,0,32-，=34时，=98；当点(,)在直线3 2=9上时，=13(2+9)，,32,0-，=32时，=3；【事实上，最小值结合选项是不需要主动求的。】【事实上，=(+1)也具有面积的含义，过可行域一点(,)向直线=1，=0作垂线，它们围成的矩形+2=3 +2=1 3 2=9 3 2=3 14 面积=|】40.验证法验证法、观察法、观察法确定选项确定选项 武汉市二调 12 题 已知函数()=ln()+(0)，若关于的不等式()0恒成立，则实数的取值范围是（）A.(0,e2-B.(0,e2)C.1,e2-D.(1,e2)答案：B.解析：法 1（验证法），当=2时，()=2ln(1)2，由于(2)=0，不合题意，则 0 ln(1)1，作出两边函数图象，不等式也会恒成立。故选 B。法 2（反函数法），()0 1+1 ln(1)，左右两边互为反函数，所以只需1+1 ，即1;1，可得112.法 3（同构法），()=ln()+0 1 ln(1)1 ;ln+ln ln(;1)+ln(1)，令g()=+，显然g()为增函数.则原命题又等价于g(ln)g(ln(1)ln ln(1)ln ln(1).由于 ln(1)(2)=2，所以ln 2，即得0 0，恒有(+1)2.+1/ln，则实数的最小值为_.答案：2e.解析：(+1)2.+1/ln (+1)(2+1)ln2(+1)ln(2+1)ln2【同构】令()=(+1)ln，则()=ln+:1，()=112=;12，易知()在（0，1）上递减，在(1,+)上递增，所以()(1)=2 0，所以()在(0,+)单调递增。则(+1)ln(2+1)ln2()(2)2 2ln 2ln，由导数法易证2ln2，所以 2.42.指数好基友，对数单身狗指数好基友，对数单身狗 例 已知()=:1+1 1，若 0时，()0恒成立，求实数的取值范围。解：由()0，即:1 1 1 0恒成立，知+1 0恒成立，所以 0；又由(1)=1:1+1 1 0，得 1;1。所以0 1;1.又()0 .1:1/1，令g()=.1:1/，则g()=(:1)2,(2)+2 1-.（1）当=0时，g()=0，则g()在,0,+)上单调递减，则g()g(0)=1恒成立；（2）当0 1;1时，g()=(2;)(:1)2.1;22;/.15 若1;22;0，即0 0，即 12，则g()在(0,1;22;)上单调递增，此时g()g(0)=1，不合题意。综上可知，实数的取值范围是,0,12-.43.利用临界状态快速求取值范围利用临界状态快速求取值范围 例 已知直线与抛物线=22相交于,两点，直线1是线段的垂直平分线，若直线1的斜率为 2，则1在轴上的截距的取值范围是_.答案：(932,+).解析：直接考虑直线与抛物线相切状态.由=22，得=4，令4=12，得=18，则切点坐标为(18,132)，直线1经过切点时的直线方程为 132=2(+18)，即=2+932，则1在轴上的截距的取值范围是(932,+).44.解决向量问题中的同乘法解决向量问题中的同乘法 例 已知点为的外心，且=45，若cossin+cossin=，求实数的值.解：因为cossin+cossin=，所以cossin 2+cossin =.【同乘】由于 =cos，=12 2=122，所以cossin2+cossin cos=122，则由正弦定理，得 =2(cos:coscos)sin=2 coscos;cos(:)sin=2sinsinsin=2sin=2.45.关于双变量不等式恒成立的证明关于双变量不等式恒成立的证明（承上启下）（承上启下）例.已知()=(+)ln(+1).（1）当=2时，求()的单调区间；（2）若 2，1 2(1 ;).解：（1）当=2时，()=(+2)ln(+1)2(1)，则()=ln(+1)+:2:1 2=ln(+1):1，()=1:11(:1)2=(:1)2，当1 0时，()0时，()0，()在(0,+)单调递增；所以()(0)=0，则()在定义域(1,+)单调递增.（2）令g()=()2(1 ;)=(ln(+1)+ln(+1)2(1 ;)，由于ln(+1)0恒成立，则只需g()=g(2)=(2)ln(+1)+2 0，下面证明(2)ln(+1)+2 0(1 0).设()=(2)ln(+1)+2(1 0)，当1 0时，由（1）得()(0)，即ln(+1)2(;2):2+2，则只需证明2(;2):2+2 0，即2:2;，又即2;2:1.令()=2;2:(1 0)，则()=2(2:)2(0)=1.因此，当 2，1 2(1 ;).【另解：()=(2)ln(+1)+2，两次求导后，对进行放缩，来说明原函数的单调性】46.极值点是变号零点极值点是变号零点 例 已知函数()=ln 存在唯一的极值点，则实数的取值范围是_ 解析：依题意知()=(ln+1)有唯一的变号零点，即1:ln=1有唯一实数根，且不为重根（即不为相等根）令g()=1:ln，则g()=1;ln;1，由于()=1 ln 1为减函数，且(1)=0，易知g()在（0，1）递增，在(1,+)递减，所以g()的图象如图所示，要满足题设，则1 0，即 0).（1）求函数()的单调区间；（2）若 0，恒有()2成立，求的取值范围.解析：（1）过程略，()在(1,0)，(0,+)上单调递减.（2）()2(0)ln(+1)2(0)ln(+1)2 0(0).令g()=ln(+1)2(0)，则g()=:12(1;).又由g()g(0)=0恒成立，可知 0，使得g()在,0,)上单调递增，【第一次端点效应】则g()0在,0,)上恒成立，所以g(0)=2 0，得 2.【第二次端点效应】当 2时，g()=:12(1;)=1:12(1;)1:122(1;)=22:12(1;)=2(:22;1)(2:1).令()=+22 1(0)，则()=+4 1(0)为增函数，所以()(0)=0，则g()0，所以g()在,0,+)上为增函数，则g()g(0)=0恒成立。综上可知，的取值范围是,2,+).48.承上启下、切线放缩承上启下、切线放缩 例 已知函数()=2.（1）求曲线()在=1处的切线方程；1e 1 17（2）求证：当 0时，:(2;);1 ln+1.解（1）切线方程为=(2)+1；（2）由（1）易得 2(2)+1，且 ln+1，【两个相切型不等式证明略】所以(2)+1+2(2)+1+(ln+1)，从而:(2;);1 ln+1.另解：:(2;);1 ln+1:(2;);12ln:1.【凹凸性反转】由导数法，易得g()=ln:1 g(1)=1，()=:(2;);12(1)=1，所以:(2;);12ln:1，故:(2;);1 ln+1.49.滑动的切线滑动的切线（方程）（方程）及及切线型不等式切线型不等式 例 已知(+1)+(,)恒成立，则(+1)的最大值为_.答案：2.解析：曲线=在点=0处的切线方程为=0+0 00，【滑动的切线（方程）】显然 0+0 00【切线型不等式】，又(+1)+，则(+1)=0(0 00)=20(1 0)，【显然(+1)取最大值是相切状态】令()=2(1 )，则()=2(1 2)，易得()=.12/=2，故(+1)的最大值为2.50.解析几何与平面几何是一家解析几何与平面几何是一家 例 已知为坐标原点，圆:(+1)2+2=1，圆:(2)2+2=4，点,分别为圆,上的动点，则的最大值为_.答案：332.解析：如图，延长交圆于点，则由，得=2，所以=12，根据“在圆的内接三角形中，等边三角形面积最大”，可得()=34(23)2=33，所以()=332.51.回到零点回到零点 性质：如果直线=+与曲线=+()相切，则直线=+(+)与曲线=()也相切.其中,中至少有一个为参数.【前一句话 =+(0)，后一句话 =(0).】例 直线=与函数()=2+3，g()=+ln的图象分别相交于,两点，若|的最小值为 2，则+=_.答案：2 解析：直线=2+3向右平移两个单位后的直线方程为=2(2)+3=2 1，依题意知直线=2 1与曲线g()=+ln相切，【依题意知g()为凸函数】则2 1=+ln，即(2 )1=ln有唯一解，【有相切的含义】又左边函数零点为12;，右边零点为 1，则12;=1，得=1，唯一解=1，=2 1=1，所以+=2.18 52.二次渐近线也能用垂径定理二次渐近线也能用垂径定理（第三定义）（第三定义）例 过双曲线2222=1(,0)的左焦点1作斜率为13的直线，与该双曲线的渐近线交于,两点，若线段的垂直平分线过双曲线的右焦点2，则双曲线的离心率为（）.A.6 B.5 C.62 D.52 答案：D.解析：直线的方程为=13(+)，线段的垂直平分线方程为=3()，联立可得线段的中点(45,35).则由=2 1，得2 1=1334=14，所以=52.【说明：二次渐近线2222=0对应2222=1的离心率】53.恒成立之参数取值范围端点不可求恒成立之参数取值范围端点不可求 例 已知函数()=1;+ln，要使()0恒成立，则实数一定满足（）答案：C.A.;12;1 1 B.;11;2 1 D.;11;2 1 解析：()=(+1)1+ln，显然 0，否则 (0,1)时，()0.又若0 0也不可能恒成立，如.12/=52 2 ln2 12 ln2 1.【根据选项特点，这个过程其实可以不要】又()=+1;2+1=2:1;2=(:1).;1/2，所以只需()=.;1/=2 1+ln;1 0;12;1 1.54.最值函数最值函数（即分段函数）（即分段函数）的单调性的单调性 例设()=min22e，13(0)，若函数g()=()2为增函数，求实数的取值范围.解：令()=2e(1)(0)，则()=(2;)e 1 12(0)，当 2时，()0，当0 2时，()=(2;)e 1 12(2 )1 12=(1)212 0时，()0，(2)=4e232 0；(0，+)时，()0，则()=1，0 0，则g()=1 2，0 0，所以g()=1+12 2，0 0，由于g()在=0处连续，则只需1+12 2 0(0 0)同时恒成立，而由，即 2;2e(0)，令()=2;2e(0)，则()=;32e，易知()min=(3)=12e3，所以 12e3，此时恒成立，故实数的取值范围是(，12e3-.1 2 19 55.洛必达法则洛必达法则 例 若=0是函数()=ln.+12/+222;1的极大值点，则实数的取值集合是（）A.2163 B.2123 C.012,+/D.,121 答案：A.解析：由于g()=22 1在=0处满足g(0)=1 0，所以在=0两侧附近g()0，使得 (0,)时，()(0)=ln12恒成立，即ln(2+1)+222;1 0，所以222;1 1ln(2:1):1221 ln(:1)=(:1)ln(2:1);222ln(2:1)，根据洛必达法，lim0(:1)ln(2:1);222ln(2:1)=lim0ln(2:1):2(+1)2+1;24 ln(2:1):422+1=14lim0(2:1)ln(2:1);2(22:)ln(2:1):2 =14lim02ln(2:1)(4:1)ln(2:1):414lim042+14ln(2:1):2(4+1)2+1):4=16，所以 16 （2）存在 0，使得 (,0)时，()(0)=ln12恒成立，即ln(2+1)+222;1 0，所以222;1 1ln(2:1)0)上存在一点，使为等边三角形，则的最大值为_.答案：8 解析：直接猜想22为边长最大的正三角形时半径最大，此时2(12,332)，则=|2|=8.事实上，由于=3，2=3，即,2三点共线，则=|+|+|2|=|2|=8=.【幸亏有上面那样的特殊条件，否则求最大值会很麻烦。】问题来了：如果圆:.72/2+.+532/2=2(0)改成.72/2+.+732/2=2(0)，又该如何求出的最大值？57.关于双零点的一道证明题关于双零点的一道证明题（差值换元）（差值换元）例已知函数()=2 恰有两个极值点1，2，求证：1:22 1，则2 1=0，【差值换元】则1:22 ln(2)1+222;12;1(2 1)212 2;1 1 2 1 0)2 2 20 令g()=2;2(0)，则g()=122+12;2 1 0，所以g()为增函数，所以g()g(0)=0.故1:22 ln(2).58.满足韦达定理的双零点满足韦达定理的双零点 例.(2018 国 1 理)已知函数()=1 +ln.（1）讨论()的单调性；（2）若()存在两个极值点1，2，证明:(1);(2)1;2 2时，()=;(2;:1)=;(;1)(;2)，其中1=;2;42，2=:2;42.则当（0，;2;42）（:2;42，+）时，()0.所以()在（0，;2;42），（:2;42，+）单调递减，在（;2;42，:2;42）上单调递增.（2）由（1）知，()存在两个极值点当且仅当 2.由于()的两个极值点1，2满足方程2 +1=0，所以12=1，1+2=0，不妨设1 1.则(1);(2)1;2 2 (2)(1)(2)(2 1)12 2+ln211+1 ln1(2)(2 1).12 2+ln2 2+12+ln2(2)(212).12 2/+2 ln2 0 12 2+2ln2 1)，由（1）知g()在(1,+)上单调递减，则g()g(1)=0.所以12 2+2ln2 0，即(1);(2)1;2 2.59.含含双变量双变量（非零点）（非零点）的不等式的不等式证明证明（比值换元）（比值换元）例 已知函数()=;2+ln，其中 .（1）讨论()的导函数()的零点个数；（2）当0 1 1 21.解：（1）()=2;2+=;22:(0)，令g()=2;2(0)，则g()=2(1 2);2，易知g()在区间(0,12)上单调递增，在(12,+)上单调递减，g()=g.12/=1.（作出g()的图象），易知 21 当 0或 1时，()无零点；当0 1时，()有两个零点；当=1时，()有一个零点.（2）由（1）知，当=1时，1 2;2成立，则()0，所以()在(0,+)上单调递增。则当0 1;21+1ln1，即1;22 1;21 ln1 ln2，所以只需证明ln1 ln2=ln12 1 21，令12=(0 1 1成立。设()=ln 1+1(0 1)，则()=112=;12;1(1)=0，即ln12 1 21成立。从而1;22 1;21 1 21。60.双零点双零点+双参数双参数（消元、（消元、比值比值换元）换元）例 已知函数()=ln ()在其定义域内有两个零点.（1）求的取值范围；（2）记两个零点为1,2，且1 0，若不等式(ln2 1)+ln1 1 0恒成立，求的取值范围.解：（1）过程略，答案：(0,1).（2）显然ln1=1ln2=2，所以ln1 ln2=(1 2)，即=ln1;ln21;2.所以(ln2 1)+ln1 1 0 1+ln1+ln2=1+2=(1+2)1+ln1 ln2(1:).12;1/12:ln12，令12=(0 1)，即ln(1:)(;1):(0 1)恒成立.令g()=ln(1:)(;1):(0 0，g()在(0,1)上单调递增，g()g(1)=0恒成立；当0 g(1)=0，这与题意不合。综上可知，的取值范围是,1,+).61.双零点问题中的单零点不等式双零点问题中的单零点不等式证明证明 例 已知函数()=2 ln+2 4().（1）讨论()的极值点的个数；（2）若()存在两个极值点1,2，且1 2，求证：(2)+22 0)，记=42 4.当 0，即0 1时，()0，()单调递增，()无极值点；当 0，即 1或 1，则()有两个极值点；若 1，且2 1.由22 22+=0，得=2222;1.则(2)+22 0 2 ln2+22 42+22 0 22 22222;1ln2+22 42+22 0 2ln2 2222+3 1)，则()=2 2+22=;2(2;1)2=;2(;152)(;1+52)2，易知()在（1，1:52）上递增，在（1:52,+）上递减，所以().1:52/=2ln1:52+3 25 2.1:52 1/+3 25=2 5 0，即2ln2 2222+3 0成立，所以(2)+22 0成立。62.双零点问题（解不等式）双零点问题（解不等式）例 已知函数()=122(,)。若函数()有两个极值点1,2，且21 2，则实数的取值范围是_.答案：（0，12ln2.解析：（方法 1，临界状态）()=，作出g()=的图象，则由2=2122=11，解得1=ln2，此时=ln22，所以0 ln22.（方法 2，比值换元）()=1=12=2 2;1=21，令21=(2)，则2=1，所以(;1)1=，得1=ln;1(2)1(0,ln2-。则由=11(1(0,ln2-)，得0 ln22。（方法 3，差值换元）()=1=12=2 2;1=21，令2 1=，则2=+1，所以=21 2，得 ln2；又=:11 1=;1(0,ln2-，则由=11(1(0,ln2-)，得0 0，令=（含参换元），则.ln2/=21ln2=1 21ln2=1 ln2.1/=0，记g()=ln2.1/，当 0时，g()=2ln().1/单调递减，且g(1)=0，又g(1)=0，所以只需g()=0在(0,+)有两个不等于 1 的不等根。则ln2.1/=0 =2ln2;1，记()=2ln2;1，则()=2(2;2ln;ln;1)(2;1)2=2(2:1)(212+1;ln)(2;1)2（对数单身狗），1 2 1 =1 1 0 24 令()=2;12:1 ln，()=4(2:1)21=;(2;1)2(2:1)2 0，则()为减函数，注意到(1)=0，从而易知()在(0,1)单调递增，在(1,+)上都是单调递减。所以()的图象如图所示，（两个空心点的值要用洛必达法则计算）由图可知，0 0，2 2ln 1 0恒成立，证明略）则g()在（0,2）上单调递减，在(2,+)上单调递增，g()=g(2)=18(ln2;1)，画出g()的图象（此处略），则由图可知18(ln2;1)0)，直线与抛物线相交于,两点，若=60，则|=_.答案：473.解析：设,两点在准线上的射影分别为1,1，则=1,=1，直线的倾斜角为，利用平面几何知识，易证AQF，则=，所以=60.则|=21;cos60=4，|=21;cos120=43，所以，由