江西省多校联考2023-2024学年高二下学期6月摸底考试数学试题.pdf

高二数学高二数学考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分本试卷分选择题和非选择题两部分.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时考生作答时，请将答案答在答题卡上请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后选择题每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围本卷命题范围：高考范围.一一 选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知复数1 i 1i a在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（）A.1,B.,1C.1,1D.,12.对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取 200 个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示：使用寿命（小时）100120150165185200210230个数832453523261912估计这批电子元件使用寿命的第 60 百分位数为（）A.165B.170C.175D.1853.抛物线2:4C yx的准线方程为（）A.1x B.1y C.116x D.116y 4.如图，在矩形ABCD中，过边AB上的点12,P P分别作AB的垂线，分别交CD于78,P P，过AD边上点3P作AD的垂线，分别交1728,PP P P BC于4P，56,P P，则集合,1,2,3,8iy yAB AP i 中的元素个数为（）A.2B.4C.6D.85.已知aR，集合2,1,3Aaa，则“0a”是“1A”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c.若2222231,cossin14abCcBc，则cosB的最小值为（）A.74B.64C.3 25D.2 257.设 f x是定义在R上的奇函数，且 20f，当0 x 时，0 xfxf x，则不等式 0f x 的解集为（）A.2,02,B.2,2C.,22,D.,20,28.已知点1,0,4,0,2,1ABC，动点P满足12PAPB，则2PBPC取得最小值时，点P的坐标为（）A.71,71B.61,61C.7171,22D.6161,22二二 多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现黑子白子空三种情况，因此整个棋盘上有3613种不同的情况，下面对于数字3613的判断正确的是（）（参考数据：lg30.4771）A.3613的个位数是 3B.3613的个位数是 1C.3613是 173 位数D.3613是 172 位数10.已知函数 22cos3sin(0)2xf xx在 2,63内无极值点，且2463ff，则（）A.2B.f x的最小正周期为43C.若不等式 2f x 在区间0,a上有解，则3a D.将 f x的图象向左平移6个单位长度后所得图象关于y轴对称11.如图，在棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D中，E为棱BC的中点，10,1,0,1BPBDCQCB ，过点,P E Q的平面截该正方体所得的截面为，则（）A.不存在,，使得PQ 平面1ACDB.当平面EPQ平面1ACD时，12C.线段PQ长的最小值为4 33D.当14时，124PEQ的面积的面积三三 填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知8238012382(2)(2)(2)xaaxa xa xa x，则5a _.13.在三棱锥PABC中，2,1,6PAPBPCABACB，若该三棱锥的所有顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为_.14.已知12,F F分别为椭圆222:1(2)4xyEaa的上下焦点，2,0A，直线l经过点1F且与E交于,B C两点，若l垂直平分线段2AF，则ABC的周长为_.四四 解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分 100 分，成绩不低于 60 分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校 180 名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图.（1）若抽查的学生中，分数段20,40,40,60,60,80,80,100内的女生人数分别为6,24,48,12，完成2 2列联表，根据小概率值0.05的独立性检验，能否认为测试成绩与性别有关联？不合格合格合计男生女生合计（2）若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记 5 分，“不合格”记 0 分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取 10 人进行座谈，再从这 10 人中任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望.附：22()n adbcabcdacbd，其中nabcd.0.10.050.005x2.7063.8417.87916.（本小题满分 15 分）已知函数 21e2xxf xaxax aR.（1）若0a，当0 x时，证明：ln1f xx；（2）若0a，讨论 f x的单调性.17.（本小题满分 15 分）如图，在ABC中，,D E分别为边,AC AB的中点，将ADE沿DE折起到PDE处，F为线段PB的中点.（1）求证：平面PBE 平面PBC；（2）若,22ACBC PCCDDE，求平面PCE与平面CEF的夹角的余弦值.18.（本小题满分 17 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyabab的左右顶点分别为,A B，右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为2,3的离心率为,1e M e e在上.（1）求的方程；（2）过F的直线l交于,C D两点（C在x轴上方），直线,AC BD分别交y轴于点,P Q，判断OPOQ（O为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.19.（本小题满分 17 分）对任意正整数n，定义n的丰度指数 S nI nn，其中 S n为n的所有正因数的和.（1）若2nnaI，求数列nna的前n项和nT；（2）对互不相等的质数,p m n，证明：33I p mnI pI m I n，并求2024I的值.高二数学参考答案高二数学参考答案 提示及评分细则提示及评分细则1.D因为1 i 1i11 iaaa，所以1 i 1i a在复平面内对应的点为1,1a a，由题意知10,10,aa 解得1a .故选 D.2.C因为200 60%120为整数，所以该组数据的第 60 百分位数是将这组数据从小到大排列后第 120 个数据和第 121 个数据的平均数，由表知，第 120 个数据为 165，第 121 个数据为 185，所以第 60 百分位数为165 1851752.故选 C.3.D把C的方程化为标准方程为214xy，所以焦点到准线的距离18p，且焦点在y轴的正半轴上，所以其准线方程为116y .故选 D.4.B1,2,3,8iAPi 在AB 上的投影向量仅有 4 种情况，由数量积的几何意义知1,2,3,8iAB APi 也仅有 4 个不同的值，所以该集合中有 4 个元素.故选 B.5.C若1A，则11a，或31a，所以2a ，或0a.当2a 时，311aa，不满足集合中元素的互异性，故2a ；当0a 时，2,1,3A，故由1A，可得0a；反之，当0a 时，显然1A也成立.故“0a”是“1A”的充要条件.故选 C.6.A因为2222231,cossin14abCcBc，所以2222223cossin4bCcBca，由正弦定理，得2222223sincossinsinsinsin4BCCBCA，所以2223sinsinsin4BCA，所以22234bca，所以222222222371777444cos222288884accaacacbacacBacacaccaca，当且仅当77ca时等号成立，即cosB的最小值为74.故选 A.7.A当0 x 时，令 f xg xx，则 20 xfxf xgxx，所以 g x在0,上单调递减，因为 2f0，所以 20g，于是当0,2x时，0g x，即 0f x；当2,x时，0g x，即 0f x.又 f x为R上的奇函数，所以当2,0 x 时，0f x，当,2x 时，0,00f xf，又 220ff，所以 0f x 的解集为 2,02,.故选 A.8.C设,P x y，由12PAPB，得2222(1)12(4)xyxy，化简得224xy，由12PAPB，得2PBPA，所以22PBPCPAPC，故当且仅当,P A C三点共线，且点P在,A C之间时，2PBPC取得最小值，此时线段AC的方程为1 12yxx，由224,1,xyyx并结合12x，解得71,271,2xy故此时点P的坐标为7171,22.故选 C.9.AC由1234533,39,327,381,3243,个位数分别为3,9,7,1,3,以 4 为周期循环往复，因为361 4的余数为 1，故3613的个位数与13的个位数相同，即3613的个位数为 3，故 A 正确，B 错误；因为361lg3361lg3361 0.4771172.2331，所以361172.23310.23311723101010，因为0.2331101,2，所以3613为 173 位数，故 C 正确，D 错误.故选 AC.10.ACD 22cos3sin1 cos3sin2sin126xf xxxxx，由2463ff，得maxmin2(),()63f xff xf，所以 f x的最小正周期2236T，又 f x在 2,63内无极值点，所以2236T，所以T，所以22T，经验证2符合条件，所以 2sin 216f xx，故 A 正确，B 错误；若0,xa，则2,2666xa，由 2f x 在0,a上有解，得1sin 262x在0,a上有解，所以5266a，解得3a，故 C 正确；将 f x的图象向左平移6个单位长度，得2cos21yx的图象，显然2cos21yx为偶函数，其图象关于y轴对称，故 D 正确.故选 ACD.11.BCD当1时，P与D重合，Q与1B重合，易证1B D 平面1ACD，即存在,，使得PQ 平面1ACD，故 A 错误；若平面EPQ平面1ACD，因为平面EPQ平面ABCDPE，平面1ACD 平面ABCDAC，所以PEAC，设ACBDF，因为E为BC的中点，所以P为BF的中点，所以14，延长11BC到2C，使得1211C CBC，同理可得2CCEQ，又2CC1BC，所以EQ1BC，又E为BC的中点，所以114CQCB，所以14，所以12，故 B 正确；由题意知PQPBBCCQ ，且3,43PB BCBC CQPB CQ ，故222222222321632323232PQPBBCCQPB BCBC CQCQ PB 232()162232()162224()3216（当且仅当时等号成立221616)24333，当且仅当13时等号成立，所以min164 333PQ，故 C 正确；当14时，易得为正六边形（如图六边形EGHIJK），其边长为2 2，故的面积为2316(2 2)12 3,42PEQSEP.22133sin(2)3222EQ，所以124PEQ的面积的面积，故 D 正确.故选 BCD.12.-448由题意知5a为8 22 x 的展开式中5(2)x项的系数，即展开式中第 6 项的系数，其为538C(2)448.13.163因为2PAPBPC，所以点P在平面ABC上的射影为ABC的外心，又1,6ABACB，所以ABC的外接圆的半径112sin6r，从而三棱锥PABC的高为22213.设该三棱锥外接球的半径为R，则222(3)1RR，解得23R，故球O的表面积为222164433R.14.16 33由题意知A为E的左顶点，设E的半焦距为c，则120,0,FcFc，所以线段2AF的中点为1,2c，直线2AF的斜率为2c，所以l的斜率为2c，所以直线l的方程为2yxcc，又l过1,2c，所以212ccc，解得23c，所以44 3433a.连接22,CF BF，因为l垂直平分线段2AF，所以22,CFACBFAB，所以ABC的周长为221116 343CFBFBFCFa.15.解：（1）由频率分布直方图知，得分在20,40,40,60,60,80,80,100的人数分别为0.005 20 18018，0.015 20 18054,0.020 20 18072,0.010 20 18036，由题意知“不合格”的人数为 72，“合格”的人数为 108，故2 2列联表为：不合格合格合计男生424890女生306090合计72108180零假设0H：测试成绩与性别无关联，根据2 2列联表中的数据，计算得220.05180(42 6030 48)103.3333.84190 90 72 1083x，根据小概率值0.05的独立性检验，没有充分的证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即测试成绩与性别无关联.（2）在“合格”中抽的人数为101086180，“不合格”中抽的人数为10724180，故X的取值为0,5,10,15,20，则3122446464444101010C CC CC1430,5,10C210C35C7P XP XP X，134466441010C CC8115,20C21C14P XP X，故所求分布列为X05101520P121043537821114所以1438105101520122103572114E X .16.（1）证明：当0a 时，exxf x，即证当0 x时，ln1exxx，令 ln1exxg xx，则 2111e,e11 exxxxxgxxx当0 x 时，22021e1e0 xxxx 恒成立，所以 0gx，所以 g x在0,上单调递减，所以对 0,00 xg xg，所以ln1exxx，即 ln1f xx.（2）解：1e11eexxxxaxfxaxa，令 0fx，得1x 或1lnxa，当1ea 时，0fx恒成立，所以 f x在R上单调递增；当10ea时，1ln1a，令 0fx，得1x，或1lnxa，令 0fx，得11lnxa，所以 f x在1,1,ln,a上单调递增，在11,lna上单调递减；当1ea 时，1ln1a，令 0fx，得1x，或1lnxa，令 0fx，得1ln1xa，所以 f x在1,ln,1,a上单调递增，在1ln,1a上单调递减.综上所述，当10ea时，f x在1,1,ln,a上单调递增，在11,lna上单调递减；当1ea 时，f x在R上单调递增；当1ea 时，f x在1,ln,1,a上单调递增，在1ln,1a上单调递减.17.（1）证明：取PC的中点G，连接,DG FG，则FGBC，且12FGBC，由题意知DE1,2BC DEBC，所以FGDE，且FGDE，所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG，由题意知,DPDC EPEB，因为,G F分别为,PC PB的中点，所以,DGPC EFPB，因为EFDG，所以EFPC，因为,PB PC 平面,PBC PBPCP，所以EF 平面PBC，又EF 平面PBE，所以平面PBE 平面PBC.（2）解：设1CD，则1,2,2DEPDBCPC，所以222PCPDCD，所以PDCD，因为在ABC中，ACBC，所以,DEAD DECD，所以,DEPD DECD，所以,DE DC DP两两垂直，故以D为原点，直线,DE DC DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则1 10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2 2DECPF，所以1 11,1,0,0,1,1,1,2 2CEPCCF .设平面PCE的一个法向量,nx y z，则0,0,n PCn CE 即0,0,yzxy令1y，解得1xz，所以1,1,1,n 设平面CEF的一个法向量,ma b c，则0,0,m CFm CE 即110,220,abcab令1b，解得1,1ac，所以1,1,1m，所以11cos,333m nm nmn ，所以平面PCE与平面CEF夹角的余弦值为13.18.解：（1）因为的一条渐近线的倾斜角为23，所以其斜率为2tan33，所以3ba，所以222212abbeaa，又,1M e e，即2,3M在上，所以2222494913abaa，所以1,3ab，故的方程为2213yx.（2）由（1）得1,0,1,0,2,0ABF，设1122,C x yD xy，由题意知l的斜率不为 0，设l的方程为2xmy，代入的方程并整理，得22311290mymy，则2222310,(12)4 9 313610mmmm ，所以33m ，且121222129,3131myyy ymm.直线AC的方程为1111yyxx，令0 x，得111yyx，故110,1yPx，直线BD的方程为2211yyxx，令0 x，得221yyx，故220,1yQx，所以1121212111222121221113131yyxymyOPmy yyxOQmy yyyxymyyx11221212299131319391233313131mmyymmmmmyymmm所以OPOQ为定值，且定值为13.19.（1）解：因为2n共有1n个正因数，它们是21,2,2,2n，所以2121112221111221212222212nnnnnnnaI，即122nna，所以22nnnnan，所以1231232 12 22 322222nnnTn 1231232 1232222nnn 令123nAn ，则22nnnA；令1231123122222nnnnnG，则234111231222222nnnnnG，两式相减，得12311111111111222112222222212nnnnnnnnnG，所以222nnnG，所以2222nnnTnn.（2）证明：因为,p m n为质数，则3p的正因数有 4 个，它们是231,;,p pp m n的正因数均有 2 个，分别为1,m和1,n；3p mn的正因数有4 2 216 个，分别为232323231,p pp m mp mpmp n np npnp mn mnp mnpmnp.所以 2333111,pppmnI pI mI npmn，23232323331pppmmpmpmpnnpnpnpmnmnpmnpmnpI p mnp mn2323232331111pppmpppnpppmnpppp mn23233311111pppmnmnpppmnp mnp mn 2333111pppmnI pI m I npmn因为32024211 23，所以 332024211 2321123IIIII23312221 11 1231512245402112381123253.