河北邯郸2024年高一下学期期末质检数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 邯郸市邯郸市 20232024 学年第二学期期末质量检测学年第二学期期末质量检测 高一数学高一数学 班级班级_姓名姓名_ 注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名班级和考号填写在答题卡上班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在写在本试卷上无效本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.有三组数据（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.设它们的方差依次为222123,sss，则（）A.222123sss B.222132sss C.222132sss D.222123sss 2.在复平面内，非零复数z满足izz=（i为虚数单位），则复数z对应的点在（）A.一三象限 B.二四象限 C.实轴上（除原点外）D.坐标轴上（除原点外）3.已知向量()1,3,1ab=，且()23abb+=，则向量a与向量b的夹角为（）A.6 B.4 C.3 D.2 4.已知ABC的顶点坐标分别是()()()2 2,0,2,0,0,2 2ABC，则sinC=（）A.3 1010 B.1010 C.5 22 510 D.1010 5.设,是两个平面，,m l是两条直线，则下列命题为假命题的是（）A.若,ml，则ml B.若,ml ml，则 C.若,mml，则l 学科网（北京）股份有限公司 D.若m,l ml，则 6.在ABC中，60,2AABAC=，平面内一点O满足OAOBOC=，则向量OC在向量AB 上的投影向量为（）A.14AB B.34AB C.14AB D.34AB 7.在三棱锥SABC中，SA平面,4,6ABC ABACBC=，若该三棱锥的体积为4 7，则其外接球的表面积为（）A.2567 B.3687 C.48 D.32 8.甲乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷 2 次，乙抛掷 3 次，事件M=“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N=“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S=“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（）A.MN B.()()()P MNP MP N=+C.()()P SP N D.()()P SP M=二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，分，9.已知非零向量,a b c，下列说法错误的是（）A.若a ab b=，则ab=B.若abab+=+，则a ba b=C.若()2,1,1ab=，且ab，则()2,2a=D.若()3,4a=，则与a垂直的单位向量的坐标为43,55 10.已知复数,z w均不为 0，则下列式子正确的是（）A.20z B.zwwz=C.2zzz+=D.学科网（北京）股份有限公司 11.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知sin:sin:sin4:5:6,ABCD=为线段AC上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC为钝角三角形 B.ABC的最大内角是最小内角的 2 倍 C.若D为AC中点，则:79:10BD AC=D.若ABDCBD=，则:3 2:5BD AC=三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.某校高一年级有 1250 人，全年级学生的近视率为60%，男生中有 390 人近视.学校医务室计划通过抽样的方法估计高一年级所有近视学生的平均度数.现从近视的学生中通过按比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为 100 的样本，样本中男生的平均度数为 300 度，女生的平均度数为 350 度，则估计高一年级近视学生的平均度数为_度.13.在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为AB的中点，24ABOP=，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为_.14.已知,OA OB 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP，有且只有一对实数,x y使OPxOAyOB=+，且当,P A B共线时，有1xy+=.同样，在空间中若三个向量,OA OB OC 不共面，那么对任意一个空间向量OP，存在唯一的在度实数组(),x y z，使得OPxOAyOBzOC=+，目当,P A B C共面时，有1xyz+=.如图，在四棱锥PABCD中，BC,2AD ADBC=，点E是棱PD的中点PC与平面ABE交于F点，设PFxPAyPBzPE=+，则PFPC=_；2yzx+=_.学科网（北京）股份有限公司 四四解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）为响应“强化学校体育工作，推动学生文化学习和体育锻炼协调发展”的号召，现从某学校随机抽取了 100名学生，获得了他们一周体育运动的时间（单位：h），将数据绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的a，并估计该校学生一周体育运动时间的平均数；（2）为鼓励同学们积极参加体育运动，学校计划对一周运动时间较长的前30%同学给予奖励，若小华一周体育运动时间为 9.4 小时，他能否获得奖励？请说明理由.16.（本小题满分 15 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，2,ABACD=为BC的中点.（1）证明：1AB平面1AC D；（2）若三棱柱111ABCABC的体积为4 3，且ABBC=，求直线1AC与平面11BCC B所成角的正弦值.l7.（本小题满分 15 分）如图，在平面四边形ABCD中，设,sin3 cosBCa ABc ACb aCBAbBAC=.（1）求sinBAC，（2）若,22ABAC CDAD=，求ADC为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？18.1（本小题满分 17 分）学科网（北京）股份有限公司 龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出 10 和K共 8 张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）方块（红色）黑桃（黑色）梅花（黑色）.现从 8 张牌中依次取出 2张，抽到一张红 10 和一张红K即为成功.现有三种抽取方式，如下表：方式 方式 方式 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 1p 2p 3p（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；（2）若三种抽取方式小明各进行一次，（i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明.19.（本小题满分 17 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面,ABCD PDDC=，点H在棱PC上.（1）证明：平面HAB 平面PAD；（2）当13CHCP=时，求二面角HDBC的正切值；（3）过H且与,PB CD都平行的平面分别交,BC PD BD于,Q M N，若3PD=，当H在线段PC的两个三等分点之间运动时（含三等分点），求四边形MHQN面积的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 邯郸市邯郸市 20232024 学年第二学期期未质量检测学年第二学期期未质量检测 高一数学参考答案高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C A C C B D ACD BD BCD 1.D 解析：由对称性可知三组数据的平均数相等，再结合数据的集中与离散程度可知选 D.命题意图考查方差的意义.2.A 解析：设izab=+，由已知得izz=，即()ii ii,ababbaab+=+=，故选 A.命题意图考查复数的运算及几何意义.3.C 解析：()()21,3,2,22cos,|4cos,13aaabba ba bba b=+=+=+=，1cos,2a b=，又,0,3a ba b=，故选 C.命题意图考查向量的数量积.4.A 解析：方法一：由()()()2 2,0,2,0,0,2 2ABC，知3 2,4,10ABACBC=，由余弦定理知22210cos210ACBCABACBAC BC+=，所以3 10sin10ACB=，故选 A.方法二：如图，由()()()2 2,0,2,0,0,2 2ABC，知52 5,sin,cos455ACOBCOBCO=，()3 10sinsinsincoscossin10ACBACOBCOACOBCOACOBCO=+=+=，故选A.学科网（北京）股份有限公司 命题意图考查余弦定理及同角三角函数关系.5.C 解析：C中由,m可得m，当ml且满足l时，不满足l，故C错误.命题意图考查空间直线平面间的位置关系.6.C 解析：在ABC中，由余弦定理知222222cos603,BCACABAC ABACACBCABABC=+=+=为直角三角形，又OAOBOC=，故外心O是斜边AB的中点，AOC为正三角形，由投影向量的几何意义，向量OC在向量AB 上的投影向量为14AB，故选 C.命题意图考查投影向量的定义.7.B 解析：如图，将三棱锥SABC补成三棱柱SDEABC，则三棱锥SABC和三棱柱SDEABC的外接球相同，设12,O O分别为ABC和SDE的外心，则三棱柱SDEABC的外接球球心O为12OO的中点，连接1AO并延长交BC于点F，则F为BC的中点，连接AO，因为ABAC=，所以7,sin4AFAFBCABCAB=，由正弦定理可得116 72sin7ACAOABC=，所以18 77AO=，由114 732SABCVBC AF SA=可得4SA=，则222111922,7OOAOAOOO=+=，则外接球的表面积236847SAO=，故选 B.命题意图考查几何体的体积，外接球等综合问题.8.D 解析：用()1,2ix i=表示甲第i次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用()12,x x表示.用 1 表示 学科网（北京）股份有限公司 正面向上，0 表示反面向上，则样本空间()()()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,(0MN=，()0),1,1，故 A，B 错误；对于事件S，方法一：借助表格列举如下，()0,0,0()0,0,1()0,1,0()1,0,0()1,1,0()1,0,1()0,1,1()1,1,1()0,0 ()0,1 ()1,0 ()1,1 ()744 11322P S+=，又()()12P MP N=，所以 C 错误，D 正确，故选 D.方法二：设事件T=“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则()()P SP T=，下证事件S与事件T对立.若事件S与事件T同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件S与事件T都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件S与事件T对立，()()12P SP T=，故选 D.命题意图考查事件的互斥与相互独立的定义，考查古典概型概率的计算.9.ACD 解析：若a ab b=，即22|ab=，则ab=，故A错误；由abab+=+知,a b同向共线，则a ba b=，故B正确；由ab，设(),ab=，又()222,4,2,2,2aa=+=或()2,2a=，故 C 错误；设与a垂直的单位向量的坐标为(),x y，则221,340,xyxy+=+=解得4,535xy=或4,53,5xy=故 D 错误，故选 ACD.命题意图考查向量数量积与模的运算向量的共线与垂直的坐标运算.学科网（北京）股份有限公司 10.BD 解析：设iz=，则22i10z=，故C为锐角，所以ABC为锐角三角形，故A错误；对于B，由上知A为最小角，且3cos4A=，又1cos8C=，知cos13cos224CC+=，且,A C均为锐角，则2CA=，故 B 正确；对于C,2BDBABC=+，平方得()2222222222227942cos2279,22acbBDcaacABCcaacacbmBDmac+=+=+=+=，又5ACm=，故:79:10BD AC=，故 C 正确；对于 D，由9cos16B=得5 7sin16B=，又29cos1 2sin216BB=，所以14sin28B=，由ABCBCDBADSSS=+，即()1146sin46sin222BmmBmmBD=+，故3 2BDm=，故 D 正确，故选 BCD.命题意图考查三角函数正余弦定理解三角形三角形中线角平分线的应用.12.324 解析：高一年级女生近视人数为1250 60%390360=，则高一年级近视学生的平均度数为390360300350324750750+=.命题意图考查分层随机抽样的平均数.13.12 解析：方法一：如图，连接AC，分别取,PB AC的中点,D E，连接,OD OE DE，则OD,PA OEBC，则DOE或其补角为异面直线AP与BC所成角，作DFAB于点F，连接EF，学科网（北京）股份有限公司 由C为AB的中点可得ACBC=，且ACBC，而4AB=，则2 2,2,3,45ACBCAEAFBAE=，由余弦定理可得2215,1,6,22EFDFOPDEDFEFOEOD=+=，则2221cos22ODOEDEDOEOD OE+=，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为12.方法二：如图，连接,AC PC，分别取,AC PC的中点,D E，连接,OD DE OE，则DE,PA ODBC，则ODE或其补角为PA与BC所成角，112,222DEPAODBC=，Rt POC中，122OEPC=，则ODE为等边三角形，则60ODE=，即异面直线AP与BC所成角的余弦值为12.命题意图考查异面直线所成的角.14.23；2 解析：方法一：1,22zPFxPAyPBzPExPAyPBPD PCACAPABBCAPABADAP=+=+=+=+，()()111222PBPAPDPAAPPAPBPD=+=+又,P F C三点共线，即存在实数，使得PFPC=，故11,222zxy=，又1xyz+=，所以23=，故 学科网（北京）股份有限公司 1222,223333PFxyzyzxPC=+=.方法二：过P作lAD，延长AE交l于点.GAD,BC AD,lBCl，连接BG，与PC的交点即为21,2,32PFPGPG ADPEADPFFPCACAPABBCAPABADAPFCBCAD BCED BCPC=+=+()()111,222PBPAPDPAAPPAPBPD=+=+22113322PFPCPAPBPD=+122221,222333333PAPBPEyzx=+=+=.注：确定F位置的方法不唯一.命题意图考查立体几何与向量的综合运用.15.解：（1）（0.01 0.020.070.170.070.040.01)21,0.11aa+=该校学生一周体育运动时间的平均数的估计值为 1 0.023 0.045 0.147 0.349 0.22 11 0.14 13 0.08 15 0.028.08+=.（2）不能.()0.220.30.020.080.14168289.459.40.2211+=+.故小华不能获得奖励.命题意图考查频率分布直方图及平均数百分位数的计算.16.解：（1）证明：如图，连接1AC交1AC于点O，连接OD，则OD为1ABC的中位线，OD1AB，又OD 平面11,AC D AB 平面11,AC DAB平面1AC D.（2）2ABACBC=，1 1 1113,34 3,4ABCA B CABCSVAAAA=，D为BC的中点，ADBC，又1BB 平面1,ABCBBAD，又1,BBBCBAD=平面11BCC B，1AC D为直线1AC与平面11BCC B所成角，22112 5ACACCC=+=，学科网（北京）股份有限公司 又3AD=，1115sin10ADAC DAC=.命题意图考查线面平行的判定和线面角.17.解：（1）由已知及正弦定理知sinsin3sincosBACCBACBABAC=，因为sin0CBA，故tan3BAC=，又0BAC+，故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式或抽取概率最大.方法二：若按的顺序，1137115874874112p=+=，同理顺序下的概率分别为1391395,224 224 224 224 112，（每个顺序的 概率值 1 分）故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式或抽取概率最大.命题意图考查古典概型，相互独立事件及其概率运算.19.解：证明：PD 平面,ABCDPDAB，在正方形ABCD中，,ABAD PDADDAB=平面PAD，AB 平面HAB，平面HAB 平面PAD.（2）如图，在平面PCD内过点H作HGCD于点G，则HGPD，又PD 平面,ABCDHG平面ABCD，过G作GEBD于点E，连接HE，HEBD，则GEH为二面角HBDC的平面角，学科网（北京）股份有限公司 连接AC交BD于点O，则有23GEDGPHOCCDCP=，设PDa=，易得22OCa=，则23GEa=，123tan223aGHGEHGEa=.（3）PB平面MHQN，平面MHQN 平面PBCHQ=，PBHQ，同理PB,MNHQMN，又CD平面MHQN，同理可得MHNQ，即四边形MHQN为平行四边形.方法一：sinMHQNSMH MNHMN=，PB,MN MH,sinsinABHMNPBA=，sinMHQNSMH MNPBA=，而6sin3PAPBAPB=，设1233PHPC=，则3MH=，()1,3 3 1HQCHMNHQPBPC=，()2219 29 29 224MHQNS=+.又129 2,2 2,334MHQNS.方法二：如图，延长QN交AD于点F，连接MF，学科网（北京）股份有限公司 由（1）得AB 平面,PADQFAB，QF平面,MHQNPADQFMFSMH MF=，设1233PHPC=，又3,3PDPMMH=，则33,33MDDFCQ=，()223 2 1MFMDDF=+=，()()2219 233 2 19 29 224MHQNS=+，又129 2,2 2,334MHQNS.命题意图考查面面垂直的判定二面角以及线面平行的性质.