浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 宁波市宁波市 2023 学年第二学期期末九校联考高一数学试题学年第二学期期末九校联考高一数学试题 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第卷卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1四棱锥至多有几个面是直角三角形？A2 B3 C4 D5 2已知点()2,3A，()3,1B，若直线 l 过点()0,1P且与线段 AB 相交，则直线 I 的斜率 k 的取值范围是（）A23 k或1k B23 k或01k C203k或1k D213k 3若平面向量,a b c两两的夹角相等，且1=a，1=b，2=c，则+=abc（）A1 B4 C1 或 4 D1 或 2 4 已知 m，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，若m，n，则“mn”是“”的（）A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 5逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在 A，B，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为 30，45，60，若=ABa，()03=P A，()0P B，则事件 A，B 相互独立与 A，B 互斥一定不能同时成立 D必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 10已知复数1322=+zi，则下列说法正确的是 Az 的虚部为32i B1322=ziz C复平面内1+zz对应的点位于第二象限 D2024=zz 11如图，已知四面体 ABCD 的各条棱长均等于 2，E，F 分别是棱 AD，BC 的中点G 为平面 ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（）A三棱锥 E-AFC 体积为22 学科网（北京）股份有限公司 B线段+CGGF的最小值为573 C当 G 落在直线 BD 上时，异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值最大为63 D垂直于 EF 的一个面，截该四面体截得的截面面积最大为 1 第第卷卷 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分，分，12已知直线1:40+=laxy23:202+=lxay平行，则实数=a_ 13已知圆 O 的直径 AB 把圆分成上下两个半圆，点 C，D 分别在上、下半圆上（都不与 A，B 点重合）若2=AC，1=AD，则=AB DC_ 14已知三棱锥 P-ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且4 2=PA，2 5=PBAB，点 D 为三棱锥P-ABC 的外接球球面上一动点，3 3=PD时，动点 D 的轨迹长度为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，2222=ADDCCBABa，E，F 分别为 AB，AD 的中点，BF 与 DE 交于点 M （1）用 AD，AE表示 BF；（2）求线段 AM 的长 16（15 分）已知直线 l：()()1231=+ayax（1）求证：直线 l 过定点；（2）若直线 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围；（3）若直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l 的方程 17（15 分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动在活动中，共有 20 道数学问题，满分 100 分在所有的答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩分成六段：)40,50，)50,60，90,100，得到如图所示的频率分布直方图 学科网（北京）股份有限公司 （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了 12 道，乙同学答对了 8 道，丙同学答对了 n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求 n 的值 18（17 分）如图 1，有一个边长为 4 的正六边形 ABCDEF，将四边形 ADEF 沿着 AD 翻折到四边形 ADGH的位置，连接 BH，CG，形成的多面体 ABCDGH 如图 2 所示 （1）求证：ADCG：（2）若 AHCD，试求直线 CH 与平面 ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角 H-AD-B 的大小为3，M 是线段 CG 上的一个动点（M 与 C，G 不重合），试问四棱锥 M-ABCD与四棱锥 M-ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由 19（17 分）矩形 ABCD 中，P，Q 为边 AB 的两个三等分点，满足=APPQQBBC，R 点从点 A 出发沿着折线段 AD-DC-CB 向点 B 运动（不包含 A，B 两点），记=ARP，=BRQ（1）当APR 是等腰三角形时，求sin；（2）当 R 在线段 AD（不包含 A，D 两点）。上运动时，证明：BRP；（3）当 R 在线段 CD（包含 C，D 两点）上运动时，求tan()+的最大值 宁波市宁波市 2023 学年学年第二学期第二学期期末九校联考高一数学参考答案期末九校联考高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A C C B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 学科网（北京）股份有限公司 题号 9 10 11 答案 ACD BD BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 1212 133 143 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分 15解：（1）易判断等腰梯形 ABCD 中，3=BAD 又因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，122=BFAFABADAE（2）因为 B，M，F 三点共线，则()1122=+=+AMABAFAEAD 又因为 D，M，E 三点共线，则有1212+=，解得13=，故有2133=+AMAEAD 所以2217333=+=AMAEADa 16解：（1）由直线方程()()1231=+ayax变形可得()2310+=a yxxy 则有20310=yxxy，解得12=xy，所以直线 l 过定点()1,2（2）结合图像易得 当直线 l 斜率不存在时，即1=a时，直线:1=l x符合题意；当直线 l 斜率存在时，2321aa，解得1ya，得1a，令0=y，得1032=xa，得32a 则2111121324106=+Saaaa，当54=a时，S取到最大值 此时，直线 l 的方程为：240+=xy 17解：（1）由频率分布直方图有()101 100.0050.010 20.0200.025=+a，得0.030=a 学科网（北京）股份有限公司 设数学成绩的中位数为 x，则有()()100.0050.0100.0200.03700.5+=x，得75=x所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为 75（2）设=A“任选一道题，甲答对”，=B“任选一道题，乙答对”，=C“任选一道题，丙答对”则由古典概型概率计算公式得：()123205=P A，()82205=P B，()20=nP C，所以有()25=P A，()35=P B，()120=nP C（i）记=D“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有=DABAB，且有AB与AB互斥 因为每位同学独立作答，所以 A，B 互相独立，则 A 与B，A与 B，A与B均相互独立 所以()()()()()()()332213555525=+=+=+=P ABABP ABP ABP A P BP A P B 答：任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率1325（ii）记=E“甲、乙、两三个人中至少有一个人答对”，则=EABC 所以()()()()()()232211111552025=nP EP EP ABCP A P B P C，解得：10=n 18解：（1）如图，连接 EC 交 AD 于 N，则 N 为 CE 的中点由正六边形的性质，可知 ADNG，ADNC，因为=NGNCN，NG，NC平面 GNC 故 AD平面 GNC而CG平面 GNC，所以 ADCG （2）如图，连接 AC，在正六边形中，有4 3=AC，4=CD，8=AD，则有222+=ACCDAD，即 ACCD，又因为 AHCD，故 CD平面 AHC，连接 FD，同理 AFFD，即 AHHD，即有 AH平面 CDH 所以有 AHCH 学科网（北京）股份有限公司 因为4=AH，4 3=AC，所以4 2=CH 由体积法=HACDD AHCVV，有1133=ACDAHCShSCD，解得4 23=h 设 CH 与平面 ABCD 所成的角为，则3sin3=hCH 所以 CH 与平面 ABCD 所成角的正弦值为33 （3）由（1）知 AD平面 GNC，所以GNC 就是二面角 H-AD-B 的平面角，即3=GNC，过 M 作 MMNC，垂足为点1M，过 M 作2MMNG，垂足为点2M 因为 AD平面 GNC，所以1ADMM，2ADMM，所以1MM平面 ABCD，2MM平面 ADGH，所以121133+=+梯形梯形MABCDMADGHABCDADGHVVSMMSMM 在GNC 中，2 3=NGNC，3=GNC，所以132=MMMC，232=MMMG，得()12332 3322+=+=MMMMMCMG 故()124 312 3+=+=MABCDMADGHVVMMMM 即四棱雉 M-ABCD 与四棱雉 M-ADGH 的体积之和是定值12 3 19解：学科网（北京）股份有限公司（1）若=APAR，则此时 R 与 D 重合，2sin2=；若=APPR，则 APPR，2sin2=；若=APPR，因为=ADAR，此时有1tan22=，则22tan42sin51tan2=+；综上，2sin2=或45 （2）不妨设1=ADAPPQQB，()0,1=ARh 要证BRP，即证1tantan=BRPh，又有)t n3(a+=hBRP，故()22221tantantan331=+=+hhBRPBRPhhh故得证！（3）设1=ADAPPQQB，作 RHAB 于 H，由对称性，不妨设AHHB，设1=+AHx，1=+BHy，则有1+=xy，1212 xy 学科网（北京）股份有限公司()()211tantan111+=+xxARHPRHxxxx 当 H 在 PQ 上时，()()211tantan111+=+yyBRHQRHy yyy；当 H 在 QB 上时，()()()()211tantan111+=+=+yyBRHQRHyyyy；故21tan1=+yy 所以()222211tantan11tan111tantan111+=+xxyyxxyy()()()()222222222223 1 2111+=+xyxyxyxyxyxyxyx yx yxxyy 22422=+xyx y，（令12,4=xyt）2422=+tt，（令72,44=mt）()222262622 64224+=+mmmm 当且仅当6=m，即26=xy时去等，故()max62tan2+=