山东部分学校2024年高一下学期联合测评数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年下学期学年下学期高高一一联合测评联合测评数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项：1答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效纸和答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1复数20232024iz=+在复平面内所对应的点位于（）A第象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2如图，平面/平面，PAB所在的平面与，分别交于CD，AB，若2PC=，3CA=，1CD=，则AB=（）A32B2 C52D3 3已知向量,a b满足1=ab，且ab，若()()abab+，则（）A0+=B1+=C1=D0=4ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若33ca=，6B=，ABC面积为3，则b=（）A2 2B6C4 D2 5有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）山东部分学校2024年高一下学期联合测评数学试卷+答案 学科网（北京）股份有限公司 A第 75 百分位数 B平均数 C极差 D众数 6甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为1 2 3,2 3 4且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A14 B724 C1124 D1724 7故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图 1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图 2 所示.已知三楼柱ABFCDE和BDGACH是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF与GH互相垂直平分，,EF GH交于点 I，AFBFa=，AFBF，则点G到平面ACEF的距离是（）A33a B12a C22a D24a 8如图，在棱长为 2 的正方体111ABCDABC D中，E，F，G分别是AB，BC，1CC的中点，点 P 在线段11B D上，/BP平面EFG，则以下错误的是（）A1DC与EF所成角为60 B点 P 为线段11B D的中点 C三棱锥PEFG的体积为12 D平面EFG截正方体所得截面的面积为3 3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知sin2sinAB=，则下列说法正确的是（）A若23C=，则2 2cb=；学科网（北京）股份有限公司 B若tan3C=，则ABC是直角三角形；C若ABC是等腰三角形，则15sin8B=；D若3c=，则ABC的面积最大值为 3.10下列说法错误的是（）A已知向量()()2,3,2abx=，则“,a b的夹角为锐角”是“3x ”的充要条件 B已知向量()()1,3,cos,sinab=，若ab，则3tan3=C若向量()()4,3,1,3ab=，则a在b方向上的投影向量坐标为1 3,2 2 D在ABC中，向量AB 与AC满足0ABACBCABAC+=，则ABC为等边三角形 11已知事件,A B C满足()0.6P A=，()0.2P B=，则下列结论正确的是（）A如果()1P ABC=，那么()0.2P C=B如果BA，那么()0.6P AB=，()0.25P B A=C如果A与B互斥，那么()0.8P AB=D如果A与B相互独立，那么()0.32P A B=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为 .13在边长为 1 的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，1,2CEDE BEBABC=+，则+=；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF DG 的最小值为 14定义：abadbccd=已知 a，b，c 分别为ABC的三个内角 A，B，C 所对的边，若2cos12cos1cosCCC+0=，且5ab+=，则边 c的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分解分解答答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题 13 分）已知向量a，b，c在同一平面上，且()2,1a=(1)若/a c，且25c=，求向量c的坐标；(2)若()3,2b=，且kab与2ab+垂直，求 k 的值 16.（本小题 15 分）在ABC中，角,A B C的对边分别是,tan(1)tana b cCaB=(1)求证：cos1bC=；(2)若2a=，ABC面积为 1，求边c的长 17.（本小题 15 分）新高考实行“312+”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题 17 分）在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C的对边.(1)若()cos2cos0aCbcA+=，求 A 的大小；(2)若 BC边上的高等于2a，且02A，求cbbc+的取值范围；(3)求实数 t的取值范围，使得对任意实数 x和任意角 A（02A”的充要条件 B已知向量()()1,3,cos,sinab=，若ab，则3tan3=C若向量()()4,3,1,3ab=，则a在b方向上的投影向量坐标为1 3,2 2 D在ABC中，向量AB 与AC满足0ABACBCABAC+=，则ABC为等边三角形【答案】AD【详解】对于 A，由,a b的夹角为锐角，得cos,0a b 且,a b 不共线，则26034xx+，解得3x 且43x，因此“,a b的夹角为锐角”是“3x ”的充分不必要条件，A 错误；对于 B，由量()()1,3,cos,sinab=，ab，得cos3sin0+=，解得3tan3=，B 正确；对于 C，由向量()()4,3,1,3ab=，得224 1 3 35,|1310a bb=+=+=，因此a在b方向上的投影向量为11 3(,)22 2|a bbbbb=，C 正确；对于 D，在ABC中，()()()|ABACABACAB ACAB ACBCACACABACABABAABACACB+=+|(0)(1cos)ACBAA=+，而1cos1A，因此|ABAC=，所以ABC不一定为等边三角形，D 错误.故选：AD.11已知事件,A B C满足()0.6P A=，()0.2P B=，则下列结论正确的是（）A如果()1P ABC=，那么()0.2P C=B如果BA，那么()0.6P AB=，()0.25P B A=C如果A与B互斥，那么()0.8P AB=D如果A与B相互独立，那么()0.32P A B=【答案】CD 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于选项 A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球,从中摸出一个小球,记下球的编号,记事件 A=“球的编号是偶数”，事件 B=“球的编号是 1，2，3”，事件 C=“球的编号是奇数”满足()1P ABC=,但是()0.5,P C=选项 A 错误;对于选项 B，如果 BA,那么()()()()()P AB0.210.6,P A0.63P ABP AP B A=,选项 B 错误;对于选项 C，如果A与B互斥，那么()()()0.8P ABP AP B=+=,所以选项 C 正确;对于选项 D，如果A与B相互独立，那么()()()(1()(1()0.4 0.80.32P A BP A P BP AP B=所以选项 D 正确。故选：CD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为 .【答案】3【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故有2rrllr22=，即圆锥母线长为2lr=，又圆锥的表面积为()22212332rrr+=，解得1r=，所以圆锥的高为2222213hlr=.故答案为：3.13在边长为 1 的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，1,2CEDE BEBABC=+，则+=；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF DG 的最小值为 【答案】43 518【详解】解法一：因为12CEDE=，即23CEBA=，则13BEBCCEBABC=+=+，学科网（北京）股份有限公司 可得1,13=，所以43+=；由题意可知：1,0BCBABA BC=，因为F为线段BE上的动点，设1,0,13BFkBEkBAkBC k=+，则113AFABBFABkBEkBAkBC=+=+=+，又因为G为AF中点，则11 111122 32DGDAAGBCAFkBAkBC=+=+=+，可得11 1111132 32AF DGkBAkBCkBAkBC=+221 11563112 329510kkkk=+=，又因为0,1k，可知：当1k=时，AF DG 取到最小值518；解法二：以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,13ABCDE，可得()()11,0,0,1,13BABCBE=，因为(),BEBABC=+=，则131=，所以43+=；因为点F在线段1:3,03BE yx x=上，设()1,3,03F aaa，且G为AF中点，则13,22aGa，可得()131,3,122aAFaaDGa+=+=，则()()22132331522510aAF DGaaa+=+=+，学科网（北京）股份有限公司 且1,03a，所以当13a=时，AF DG 取到最小值为518；故答案为：43；518.14定义：abadbccd=已知 a，b，c 分别为ABC的三个内角 A，B，C 所对的边，若2cos12cos1cosCCC+0=，且5ab+=，则边 c的最小值为 【答案】5 32/532【详解】由题可知()()2cos1 cos2 cos10CCC+=，化简得22cos3cos20CC=，即()()2cos1 cos20CC+=，C为三角形内角，解得1cos2C=，由余弦定理得()()22222222752cos24abcababCababababab+=+=+=+=，所以755 342c=，52ab=时等号成立，所以边 c的最小值为5 32.故答案为：5 32.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分解分解答答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题 13 分）已知向量a，b，c在同一平面上，且()2,1a=(1)若/a c，且25c=，求向量c的坐标；(2)若()3,2b=，且kab与2ab+垂直，求 k 的值【答案】(1)()10 5,5 5c=或()10 55 5c,=(2)223【详解】（1）/a c，设()2,ca=，25c=，即()22225+=，5 5=，()10 5,5 5c=或()10 55 5c,=.（2）()2,1a=，()3,2b=，()232kabk,k=，()24,5ab+=，学科网（北京）股份有限公司，()()2kabab+，()()20kabab+=即()()423520kk+=，即322k=，则223k=.16.（本小题 15 分）在ABC中，角,A B C的对边分别是,tan(1)tana b cCaB=(1)求证：cos1bC=；(2)若2a=，ABC面积为 1，求边c的长【答案】(1)证明见解析；(2)2【详解】（1）证明：根据tan(1)tanCaB=，以及sintancosCCC=，sintancosBBB=，得sinsin(1)coscosCBaCB=，sin cos(1)cos sinCBaCB=所以cos sinsin coscos sinaCBCBCB=+，即cos sinsin()aCBCB=+，根据BCA+=，得sin()sinCBA+=所以cos sinsinaCBA=，由正弦定理，得cosabCa=，因此cos1bC=（2）由（1）知，1cosCb=，21sin1Cb=，2211sin1112ABCSabCbbb=，所以22b=，得2b=，2cos2C=，又2a=，所以由余弦定理得24222222c=+=17.（本小题 15 分）新高考实行“312+”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；学科网（北京）股份有限公司(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.【答案】(1)样本空间见详解，512(2)95144【详解】（1）依题意，样本空间为=物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，()12n =，记事件A=“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则A=物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，()5n A=，所以()5()()12n AP An=.（2）记事件1M=“甲符合该大学某专业报考条件”，事件2M=“乙符合该大学某专业报考条件”，事件M=“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，由（1）可知，()()12512P MP M=，所以()()()127795111212144P MP MP M=.18.（本小题 17 分）在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C的对边.(1)若()cos2cos0aCbcA+=，求 A 的大小；(2)若 BC边上的高等于2a，且02A，求cbbc+的取值范围；(3)求实数 t的取值范围，使得对任意实数 x和任意角 A（02A），恒有()()22132sincossincos32xAAxtAtA+.【答案】(1)23A=(2)(2,2 2(3)13,7,4+【详解】（1）因为()cos2cos0aCbcA+=，所以由正弦定理可得()sincos2sinsincos0ACBCA+=，整理得sin()2sincos0ACBA+=，即sin2sincos0BBA+=，因为(0,)B，sin0B，学科网（北京）股份有限公司 所以1cos2A=，因为(0,)A，所以23A=；（2）因为BC边上的高等于2a，由三角形面积公式得111sin222aabcA=，即22sinabcA=，又由余弦定理可得2222cosabcbcA=+，222sin2cosbccAbbcA=+，从而有222(sincos)bcbcAA+=+，所以sincos2 2sin()24cbAAAbc=+=+，因为02A，所以3444A+，所以2sin()124A+，22 2sin()2 24A+，所以cbbc+的取值范围为(2,2 2.（3）令()()22()32sincossincosf xxAAxtAtA=+22222(32sincos)(32sincos)2(sincos)(sincos)xAA xAAxtAtA xtAtA=+22222(32sincos)2(sincos)(32sincos)(sincos)xAAtAtA xAAtAtA=+，所以当(32sincos)(sincos)2xAAtAtA+=+时，min(32sincos)(sincos)2(fAAtxfAtA=+，所以22min(32sincos)(sincos)(sincos)(32sincos)()22AAtAtAtAtAAAf x+=+22(32sincos)(sincos)(32sincos)(sincos)1222AAtAtAAAtAtA+=+=所以2211(32sincos)(sincos)32AAtAtA+，所以21(32sincos)(sincos)16AAtAtA+，所以1(32sincos)(sincos)4AAtAtA+或1(32sincos)(sincos)4AAtAtA+，因为sincos2sin()4AAA+=+，又3444A+，所以12sin()24A+，由可得212(sincos)(sincos)4AAtAA+，7(sincos)4(sincos)tAAAA+，学科网（北京）股份有限公司 所以77(sincos)2(sincos)74(sincos)4(sincos)AAAAAAAA+=+，所以7t，由可得29(sincos)(sincos)4AAtAA+，所以9(sincos)4(sincos)AAtAA+，由对勾函数性质可知913(sincos)4(sincos)4AAAA+，所以134t.综上所述：实数t的取值范围为13(,7,)4+.19.（本小题 17 分）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型PABCD,点 E 在棱 PB 上，满足23PEPB=,点 F在棱 PC上，满足12PFPC=，要求同学们按照以下方案进行切割：(1)试在棱 PC上确定一点 G，使得/EF平面ABG，并说明理由；(2)过点 A，E，F的平面 交 PD于点 H，沿平面 平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定 H 点的位置；请求出 PHPD的值；若正四棱锥模型PABCD的棱长均为 6，求直线PA与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)G为 PC上靠近 C 的四等分点，理由见解析(2)23；55 【分析】（1）由条件23PEPB=及12PFPC=结合图形，考虑取 PC上靠近 C 的四等分点为 G,即可推得/BGEF,即得/EF平面ABG；（2）延长 FE，与CB的延长线交于点 M，连接MA并延长与CD的延长线交于 N，连接 FN，交 PD于 H，利用相似形即得到2PDFK=，23DHFK=，即可推得结果；学科网（北京）股份有限公司 先证明BD平面PAC，再证/BDEH得EH 平面PAC，从而平面PAC，作PQAF，证PQ得到PAQ即直线PA与平面 所成角，解Rt APF即得.【详解】（1）由已知得，点 E在棱 PB上，满足23PEPB=,点 F 在棱 PC上，满足12PFPC=，如图，取 PC 上靠近 C的四等分点为 G，则必有23PFPEPGPB=,则根据三角形相似，必有/BGEF，因EF 平面ABG,BG 平面ABG,易得 EF平面ABG.（2）延长 FE，与CB的延长线交于点 M，连接MA并延长与CD的延长线交于 N，连接 FN，交 PD于H，由（1）可得34FGCGPC=，即 G为CF的中点，由/EFBG，可得 B为 MC的中点，由 ADBC 及 12ADMC=可得 D为 CN 的中点，在等腰三角形 PCD中，F为 PC的中点，取 CD的中点 K，连接 FK，则2PDFK=，23DHFK=,所以，3PDDH=，即 23PHPD=.学科网（北京）股份有限公司 连接,AC BD,两线交于点O，连接PO,则PO平面ABCD，因BD平面ABCD，则POBD,因ABCD是正方形，则BDAC，又POACO=，故得BD平面PAC，由得23PHPEPDPB=,则/BDEH,故有EH 平面PAC，又EH,则有平面PAC，且平面PACAF=,过点P作PQAF于点Q，则PQ，则PAQ即直线PA与平面 所成角.因6,6 2PAPCAC=，则PAPC，在Rt APF中，22633 5AF=+=,故5sin5PFPAFAF=，即直线 PA与平面 所成角的正弦值为 5.5