浙江镇海中学2024年高二下学期期末考试数学试题含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 镇海中学镇海中学 2023 学年第二学期期末考试试题学年第二学期期末考试试题 高二年级数学学科高二年级数学学科 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合()20,2Ax xxBx x=，下列不等式一定成立的是（）A.22mmnn+C.11mnnm D.22mnmmnn+4.已知三个平面向量,a b c满足230abc+=，则“向量,a b c均是单位向量”是“向量,a b方向相同”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知12,l l是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若1/l且/，则1/l B.若12,ll，则12ll C.若1l且/，则1l D 若1l不垂直于，且2l，则1l必不垂直于2l 6.一个袋子中有n个大小质地完全相同球，其中 3 个为红球，其余均为绿球，采用不放回方式从中依次随机地摸出 2个球.已知摸出的 2 个球都是红球的概率为17，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）A.314 B.27 C.37 D.47.的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 3，以1D为球心，21为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线E，则曲线E的长度为（）A.33 B.3 C.4 33 D.2 3 8.已知()log,1af xx a=，记集合()()()1,1Axf xBxff xb=+RR，若AB=，则实数a的取值范围为（）A.31,2+B.3,2+C.51,2+D.61,2+二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9 已知正实数,a b满足221aabb+=，则（）A.ab+的最大值为 2 B.ab的最小值为 1 C.22ab+的最大值为 2 D.22ab+的最小值为 1 10.已知定义域为R的偶函数()f x满足()()20f xfx+=，若对任意12,0,1x x 且12xx，都有()()()12120 xxf xf x，下列结论一定正确的是（）A.()10f=B.2 是()f x的一个周期 C.函数()f x()2,3上单调递减 D.函数()f x图象关于直线2x=对称 11.一个同学投掷 10 次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数 6 的有（）A.平均数为 3，中位数为 4 B.中位数为 4，众数为 3 C.平均数为 2，方差为 2.1.在 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 D.中位数为 3，方差为 0.85 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知()2i1 3iz+=，则z=_.13.如图，在长方形ABCD中，2,1ABAD=，点E在线段AB（端点除外）上，现将ADE沿DE折起为A DE，设AED=，二面角ADEC的大小为.若=，则三棱锥ABDE体积的最大值为_.14.在锐角ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，若22abbc=+，则22coscbB+的最小值为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()23cos 22sin2f xxx=+.（1）求()f x的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x在区间0,2上的单调区间.16.镇海中学采购了一批电子白板电容笔，这一批电容笔使用三年后即被淘汰.电容笔头属于消耗品，现在需要决策在购买电容笔时笔头的数量，为此搜集并整理了 10支笔在一年内消耗的笔头数（单位：个），发现均落在15,75范围内，将统计结果按如下方式分成六组，第一组15,25），第二组25,35），第六组65,75，画出频率分布直方图如图所示.（1）求x的值；（2）估计 10支笔一年内消耗笔头数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第 30 百分位数（3）在搜集这 10支笔的使用情况数据时，发现其中 3支是高一班级在使用，另外 7支是高二班级在使用，现已知高二班级消耗的笔头数的平均值和方差分别为 50 和 221，所有班级消耗的笔头数的方差为 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 200，试估计高一班级消耗的笔头数的平均值和方差.17.如图，在ABC中，D是AC的中点，E在边AB上，且2,AEEB BD=与CE交于点F.（1）用,BA BC 表示,EC BF ；（2）若24BF EFBA BC=，求ABBC的值.18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD矩形，FBC为等腰直角三角形，且FCFB.面BCF 面,/,44,2 2ABCD EF AB ABEFBC=.（1）求证：BECF：（2）在线段AB上是否存在点T，使得DT与平面ACF所成角的正弦值为53？若存在，请求出BT的长度；若不存在，请说明理由.19.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时.处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()eecosh2xxx+=，相应的双曲正弦函数的表达式为()eesinh2xxx=（1）求()()22coshsinhxx的值；（2）若直线yt=与函数()coshyx=和()sinhyx=的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为123,x xx，证明：()123ln 12xxx+；为 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（3）函数()()()cosh 2sinh,f xxaxb a b=R，若()4f x 对任意的()()ln21,ln21x+恒成立，求ab+的最大值.第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 镇海中学镇海中学 2023 学年第二学期期末考试试题学年第二学期期末考试试题 高二年级数学学科高二年级数学学科 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合()20,2Ax xxBx x=，下列不等式一定成立的是（）A.22mmnn+C.11mnnm D.22mnmmnn+【答案】B 第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】利用作差法即可判断 A，利用不等式性质即可判断 B，举出反例即可判断 CD.【详解】对于 A，()()()()()2222222m nn mmnmmnnn nn n+=+，因为0mn，所以()0,20mnn n+，所以()()22022mnmmnnn n+=+，所以22mmnn+，故 A错误；对于 B，因为0mn，所以110nm，所以11mnnm+，故 B正确；对于 C，当0.2,0.1mn=时，119.84.9mnnm=，故 C 错误；对于 D，当2,1mn=时，25224mnmmnn+=，记集合()()()1,1Axf xBxff xb=+RR，若AB=，则实数a的取值范围为（）A.31,2+B.3,2+C.51,2+D.61,2+第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】【分 析】作 出 函 数()log,1af xx a=的 简 图，求 出1,Aaa=，即 得()1f xbaa+，即()1bf xaba，要使AB=，结合图象知，需使110abba=，消元后求解不等式即得.【详解】如图，作出函数()log,1af xx a=的简图.由()1f x 可得log1ax，因1a，解得1xaa，即1,Aaa=，由()()1ff xb+可得()1f xbaa+，即()1bf xaba,因AB=，结合图象，可得：110abba=，消去b可得，1(1)0aa，因1a，即得，210aa，解得152a.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查对数型绝对值函数图象的应用，属于难题.解题思路即是，先作出函数的简图，由()1f x 求出自变量的范围，再将套函数内的()f xb+看成整体自变量，推得()f x的范围，结合AB=及函数图象，可得110abba=，消元后解之即得.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知正实数,a b满足221aabb+=，则（）第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.ab+的最大值为 2 B.ab的最小值为 1 C.22ab+的最大值为 2 D.22ab+的最小值为 1【答案】AC【解析】【分析】由题可得223()124bba+=，可令cos2ba=，3sin2b=，即3cossin3a=+，2 3sin3b=，代入选项依次化简即可结果.【详解】由221aabb+=，可得223()124bba+=，令cos2ba=，3sin2b=，所以3cossin3a=+，2 3sin3b=，20,3 对于 A，则cos3sin2sin()6ab=+=，当3=时，ab+取最大值为 2，故 A正确 对于 B，22 332 3231121sincossinsin cossinsin2cos2sin(2)3333333363ab=+=+=+=+当3=时，ab的最大值为 1，故 B错误；对于 C、D，由 B可得01ab，由221abab+=+，则2221ab，下列结论一定正确的是（）A.()10f=B.2 是()f x的一个周期 C.函数()f x在()2,3上单调递减 D.函数()f x图象关于直线2x=对称 第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数性质及单调性，结合赋值法逐项分析判断即可.【详解】对于 A，由()f x是偶函数，()()20f xfx+=，得()()112(1)0fff+=，则()10f=，A 正确；对于 B，由对任意12,0,1x x 且12xx，都有()()()12120 xxf xf x，得()f x在0,1上单调递增，则(0)(1)0ff，因此 2不是()f x的周期，B 错误；对于 D，由()()2fxf x+=，得()()42()fxfxf x+=+=，4是()f x的一个周期，(4)()()fxfxf x=，则函数()f x图象关于直线2x=对称，D正确；对于 C，由()()20f xfx+=，得()()20fxfx+=，则函数()f x图象关于点(1,0)对称，于是函数()f x在1,2上单调递增，在()2,3上单调递减，C正确.故选：ACD 11.一个同学投掷 10 次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数 6 的有（）A.平均数为 3，中位数为 4 B.中位数为 4，众数为 3 C.平均数为 2，方差为 2.1 D.中位数为 3，方差为 0.85【答案】ABD【解析】【分析】ABD举例，C用反证法证明不能出现 6.【详解】对于 A：10次点数为1,1,1,1,4,4,4,4,4,6符合题意，故 A正确；对于 B：10次点数为3,3,3,3,4,4,4,6,6,6符合题意，故 B正确；对于 C：设 10 次点数为12345678910,xx x x x x xx x x且12345678910 xxxxxxxxxx，平均数为m，假设有一次点数为6，不妨设106x=，由方差公式 第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 2222222222221234567891010 xxxxxxxxxxsm+=，代入相关数据得：222222222123456789362.1410 xxxxxxxxx+=，即22222222212345678925xxxxxxxxx+=，显然9x最大只能取4，不妨设94x=得22222222123456789xxxxxxxx+=，此时方程无解，所以94x，当93x=时得：222222221234567816xxxxxxxx+=，8x最大只能取3，不妨设83x=得222222212345677xxxxxxx+=，此时方程有唯一解，12345671xxxxxxx=，即 10 次点数为1,1,1,1,1,1,1,3,3,6，但此时平均数为1.9不合题意，所以93x，当92x=得222222221234567821xxxxxxxx+=取56782xxxx=得222212345xxxx+=，此时方程无解（其余情况也均无解），所以92x，当91x=时，平均数为1.5不合题意.综上所述，假设有一次点数为6不成立，故 C 错误；对于 D：10次点数为3,3,3,3,3,3,3,4,4,6符合题意，故 D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知()2i1 3iz+=，则z=_.【答案】2【解析】【分析】根据条件，利用复数的四则运算求出复数z，再求其模长即得.【详解】由()2i1 3iz+=可得，13i(13i)(2i)17i2i(2i)(2i)5z=+，则17i|25z=.故答案为：2.13.如图，在长方形ABCD中，2,1ABAD=，点E在线段AB（端点除外）上，现将ADE沿DE折起为A DE，设AED=，二面角ADEC的大小为.若=，则三棱锥ABDE体积的最大 第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 值为_.【答案】511212【解析】【分析】将三棱锥ABDE的底面面积及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求出三棱锥ABDE体积的最大值.【详解】过A作AFDE，交DE于F，过A作A H平面EBCD，因为A H平面EBCD，DE平面EBCD，所以A HDE，因为A FDE，A FA HA=，,A F A H平面A FH，所以DE平面A FH，则DEFH，所以二面角ADEC的平面角为A FH=，则1tanAE=，1tan2，1sinDE=，sincosAFAE=，则三棱锥ABDE高sinsinsincosA HA FAF=，三棱锥ABDE的底面面积11111(2)122tan2tanBDESBE=，所以2111cos111sincos(1)sincossin2cos232tan3661212ABDEV=11151sin2cos2sin(2)612121212ABDEV=，(其中1tan2=)，故当()sin 21=时，三棱锥ABDE体积的最大值为511212，故答案为：511212 的 第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 14.在锐角ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，若22abbc=+，则22coscbB+的最小值为_.【答案】4 21#14 2+【解析】【分析】根据22abbc=+结合余弦定理可得2AB=，再将所求利用正弦定理化边为角，再根据二倍角公式化简，结合基本不等式即可得解.【详解】由余弦定理得2222cosabcbcA=+，又22abbc=+，所以2222cosbbcbcbcA+=+，即22cosbccbcA=，所以2 cosbcbA=，由正弦定理得sinsin2sincosBCBA=，即()()sinsin2sincossincoscossinsinBABBAABABAB=+=，因为(),0,A B，所以(),AB，所以BAB=或BAB+=（舍去），所以2AB=，()222sin2sin22cossincossincosABcCbBBBBB+=+=+222sincos2cossin22cossincossin3sinBBBBBBBBB+=+=+22222cossincossinsi2cons BBBBBB=+222214cos4c221214 2cosscoosBBBB=+=，当且仅当222cos4cosBB=，即22cos2B=时取等号，所以22coscbB+的最小值为4 21.故答案为：4 21.【点睛】关键点点睛：根据22abbc=+结合余弦定理得出2AB=是解决本题的关键.第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()23cos 22sin2f xxx=+.（1）求()f x的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x在区间0,2上的单调区间.【答案】（1）；3 （2）单调增区间为0,3，单调减区间为,3 2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期公式和最值进行求解即可；（2）利用正弦函数的单调性即可求出函数()f x在区间0,2上的单调区间.【小问 1 详解】函数()23cos 22sin3sin2cos212sin(2)126f xxxxxx=+=+=+，所以()f x的最小正周期22T=，当22 62xk=+()kZ，即3xk=+()kZ时，()f x取最大值为3；【小问 2 详解】令2 22 262kxk+()kZ，解得：63kxk+()kZ，令32+22 262kxk+()kZ，解得：5+36kxk+()kZ，所以函数()f x的单调增区间为0,3，单调减区间为,3 2 16.镇海中学采购了一批电子白板电容笔，这一批电容笔使用三年后即被淘汰.电容笔头属于消耗品，现在需要决策在购买电容笔时笔头的数量，为此搜集并整理了 10支笔在一年内消耗的笔头数（单位：个），发现均落在15,75范围内，将统计结果按如下方式分成六组，第一组15,25），第二组25,35），第六组65,75，画出频率分布直方图如图所示.第13页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求x的值；（2）估计 10支笔一年内消耗笔头数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第 30 百分位数（3）在搜集这 10支笔的使用情况数据时，发现其中 3支是高一班级在使用，另外 7支是高二班级在使用，现已知高二班级消耗的笔头数的平均值和方差分别为 50 和 221，所有班级消耗的笔头数的方差为200，试估计高一班级消耗的笔头数的平均值和方差.【答案】（1）0.015 （2）47；38.75.（3）40；1733.【解析】【分析】（1）由概率之和为1即面积为 1解出0.015x=.（2）由频率分布直方图的平均值公式算出答案；第 30 百分位数即是面积和从左到右为 0.3的横坐标.（3）由分层抽样的平均值和方差公式即可解出本题.【小问 1 详解】由概率之和为1得：()0.0060.0240.0240.0200.011101x+=，解出0.015x=.【小问 2 详解】()1020 0.00630 0.01540 0.02450 0.02460 0.02070 0.01147+=.频率分布直方图前两列面积和为0.060.150.21+=，设第 30百分位数为 a，()350.0240.09a=，解出38.75a=，所以第 30百分位数为38.75.【小问 3 详解】由题意知总平均数47=，设高一年级平均数1x，方差为21s，高二年级平均数250 x=，方差为22221s=，12373737xx=+，解出140 x=；()()()()2222220470.0630470.1540470.2450470.24s=+第14页/共19页 学科网（北京）股份有限公司()()2260470.270470.11193+=()()222221122373737ssxsx=+，代入公式得()()222137193404722150471010s=+，解出211733s=，所以高一班级消耗的笔头数的平均值为40，方差为1733.17.如图，在ABC中，D是AC的中点，E在边AB上，且2,AEEB BD=与CE交于点F.（1）用,BA BC 表示,EC BF ；（2）若24BF EFBA BC=，求ABBC的值.【答案】（1）13ECBABC=+，1144BFBABC=+（2）3【解析】【分析】（1）根据平面向量得线性运算即可求出EC，设,BFBD EFEC=，分别用,及,BA BC 表示BF，再根据平面向量基本定理求出,，即可求出BF；（2）先将EF 表示,EC BF ，再根据平面向量数量积得运算律化简即可得解.【小问 1 详解】13ECEBBCBABC=+=+，设,BFBD EFEC=，则112222BFBDBABCBABC=+=+，1113333BFBEEFBAECBABABCBABC=+=+=+=+，第15页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以1232=，解得1214=，所以1144BFBABC=+，【小问 2 详解】由（1）得1114124EFECBABC=+，则22111111144124481624BF EFBABCBABCBABCBA BC=+=+，因为24BF EFBA BC=，所以221322BABCBA BCBA BC+=，即223BABC=，所以3BABC=，即3ABBC=.18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，FBC为等腰直角三角形，且FCFB.面BCF 面,/,44,2 2ABCD EF AB ABEFBC=.（1）求证：BECF：（2）在线段AB上是否存在点T，使得DT与平面ACF所成角的正弦值为53？若存在，请求出BT的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）12BT=或3BT=.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得.（2）取BC的中点O，以O为原点，建立空间直角坐标系，设(0,4)BTtt=，求出平面ACF的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】由矩形ABCD，得ABBC，而平面BCF 平面ABCD，平面BCF 平面ABCDBC=，AB平面ABCD，则AB平面BCF，又CF 面BCF，于是ABCF，而FCFB，/EFAB，,ABBFB AB BF=平面ABFE，因此CF 平面ABFE，又BE 平面ABFE，所以BECF.【小问 2 详解】取BC的中点O，作/OxAB，连接OF，由（1）知，Ox 平面BCF，而OF 平面BCF，则OxOF，又FCFB，FCFB=，则OFBC，即,Ox OB OF两两垂直，以O为原点，直线,Ox OB OF分别为,x y z建立空间直角坐标系，假定在线段AB上存在点T，使得DT与平面ACF所成角的正弦值为53，设(0,4)BTtt=，则(4,2,0),(0,2,0),(0,2,0),(4,2,0),(0,0,2),(,2,0)ABCDFT t，(4,2 2,0),(0,2,2),(4,2 2,0)CACFDTt=，设平面ACF的法向量(,)nx y z=，则42 20220n CAxyn CFyz=+=+=，令1x=，得(1,2,2)n=，于是2|8|5|cos,|3|5(4)8n DTtn DTn DTt=+，整理得22730tt+=，解得12t=或3t=，所以在线段AB上存在点T，使得DT与平面ACF所成角正弦值为53，此时12BT=或3BT=.19.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时.处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为()eecosh2xxx+=，相的 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 应的双曲正弦函数的表达式为()eesinh2xxx=（1）求()()22coshsinhxx的值；（2）若直线yt=与函数()coshyx=和()sinhyx=的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为123,x xx，证明：()123ln 12xxx+；（3）函数()()()cosh 2sinh,f xxaxb a b=R，若()4f x 对任意()()ln21,ln21x+恒成立，求ab+的最大值.【答案】（1）1 （2）答案见解析 （3）7【解析】【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）画出两个函数的大致图像得到120 xx+=，只需证明()3ln 12x+即可；（3）首先通过换元把()f x绝对值里的函数整理成一个关于m二次函数，再把不等式()4f x 去掉绝对值变成两个一元二次不等式的恒成立问题，最后在通过分类讨论的方法求出ab+的最大值.【小问 1 详解】()()222222ee2ee2coshsinh144xxxxxx+=；【小问 2 详解】令()eecos02xxh x=得0 x=，当0 x，()cos0h x，当0 x，()cos0h x恒成立，所以sinh()x在R上单调递增，当x +，sinh()x +，当x ，sinh()x ，所以sinh()x的大致图像如图所示，不妨设123xxx，令()eesinh12xxxt=，整理得2e2e10 xx，解得e12x+或e12x+，即()3ln 12x+，又因为120 xx+=，所以()123ln 12xxx+；【小问 3 详解】设()eesinh2xxxm=，两边平方得：222ee24xxm+=则()222eecosh 2212xxxm+=+，所以()221f xmamb=+，因为()eesinh2xxx=单调递增，所以当()()ln21,ln21x+，()sinh1,1x ，即1,1m，由()4f x 得：24214mamb+，即22250230mambmamb+，该不等式组只需在1m=和1m=时同时满足，即1771abab+，上述不等式组两边同乘-1得7117abba ，当0a，0b，7abab+=+；当0a，0b，0b，1abab+=；当0a，7abab+=+；综上所述：ab+的最大值为7.第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】思路点睛：本地第三问函数()f x的形式上比较复杂，对于形式比较复杂的函数，一般要考虑是否是复合函数，而通常情况下比较喜欢考查其它函数与二次函数的复合，转化为二次函数以后在用二次函数相关知识去解决问题，另外对于函数值域问题，虽然方法较多，最基础的方法是利用函数单调性求值域.