圆锥曲线--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编含答案.pdf
水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢圆锥曲线圆锥曲线1(新课标全国卷)已知曲线C：x2+y2=16(y0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()A.x216+y24=1(y0)B.x216+y28=1(y0)C.y216+x24=1(y0)D.y216+x28=1(y0)2(全国甲卷数学(理)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上、下焦点分别为F10,4,F20,-4，点P-6,4在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.23(新高考天津卷)双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x28-y22=1B.x28-y24=1C.x22-y28=1D.x24-y28=14(新课标全国卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C C的一部分.已知C C过坐标原点O.且C C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C C于A A，B B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C C的离心率为7(新高考北京卷)已知抛物线y2=16x，则焦点坐标为8(新高考北京卷)已知双曲线x24-y2=1，则过 3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为9(新高考天津卷)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为10(新高考上海卷)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为11(新课标全国卷)已知A(0,3)和P 3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程12(新课标全国卷)已知双曲线C:x2-y2=m m0，点P15,4在C上，k为常数，0kb0)的右焦点为F，点M 1,32在C上，且MFx轴(1)求C的方程；(2)过点P 4,0的直线与C交于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQy轴14(新高考北京卷)已知椭圆方程C：x2a2+y2b2=1 ab0，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 0,tt2的直线l与椭圆交于A，B，C 0,1，连接AC交椭圆于D(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢15(新高考天津卷)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)椭圆的离心率e=12左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中SABC=3 32(1)求椭圆方程(2)过点 0,-32的动直线与椭圆有两个交点P，Q在y轴上是否存在点T使得TP TQ 0恒成立若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由16(新高考上海卷)已知双曲线:x2-y2b2=1,(b0),左右顶点分别为A1,A2，过点M-2,0的直线l交双曲线于P,Q两点.(1)若离心率e=2时，求b的值(2)若b=2 63,MA2P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标(3)连接OQ并延长，交双曲线于点R，若A1R A2P=1，求b的取值范围4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢一、单选题一、单选题1(2024福建泉州二模)若椭圆x2a2+y23=1(a0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.2 6 或3D.2 3 或62(2024河北衡水三模)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)，圆O1:(x-2)2+y2=4与圆O2:x2+(y-1)2=1的公共弦所在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为()A.3B.2C.5D.63(2024北京三模)已知双曲线E:3mx2-my2=3的一个焦点坐标是 0,2，则m的值及E的离心率分别为()A.-1,2 33B.-1,2C.1，2D.102,104(2024贵州贵阳三模)过点A(-3,-4)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点P的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分5(2024湖南模拟预测)已知点A 1,0，点B-1,0，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为()A.x24-y2=1B.x24-y2=1(x1)C.x2-y24=1D.x2-y24=1(x1)6(2024陕西榆林三模)在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1-a,0,F2a,0距离之积等于a2(a0)的点的轨迹称为双纽线.若a=2，点P x0,y0为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是()C关于x轴不对称C关于y轴对称直线y=x与C只有一个交点C上存在点P，使得 PF1=PF2A.1个B.2个C.3个D.4个7(2024福建泉州二模)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢题正确的是()A.存在直线l，使得BQOSB.当且仅当直线l平行于x轴时，|PR|=|SQ|C.存在过(0,b)的直线l，使得SORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),BR=3BS，则双曲线C的离心率为38(2024河南二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，焦距为8 2，点P在双曲线C上，OP=OF2，且POF2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.49(2024重庆三模)已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点O为坐标原点，且SAOF=2SBOF，则直线l的斜率为()A.2 2B.3C.1D.-110(2024黑龙江齐齐哈尔三模)设F为抛物线C:y=ax2的焦点，若点P(1,2)在C上，则|PF|=()A.3B.52C.94D.17811(2024山东泰安二模)设抛物线x2=4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若PQF=30，则 PQ=()A.43B.4 33C.3D.2 33二、多选题二、多选题12(2024江西模拟预测)已知A-2,0，B 2,0，C 1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-34，动点M的轨迹记为，过点C的直线交于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为16水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢C.若O为坐标原点，则OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍13(2024江苏常州二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点如图，双曲线E:x24-y26=1的左、右焦点分别为F1,F2，从F2发出的两条光线经过E的右支上的A,B两点反射后，分别经过点C和D，其中AF2,BF2 共线，则()A.若直线AB的斜率k存在，则k的取值范围为-,-6262,+B.当点C的坐标为 2 10,10时，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为6C.当AB AD=AB 2时，BF1F2的面积为12D.当AB AD=AB 2时，cosF1F2A=-101014(2024重庆三模)已知双曲线C:x2a2-y216=1(a0)的左，右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上点，且PF1F2的内切圆圆心为I(3,1)，则下列说法正确的是()A.a=3B.直线PF1的斜率为14C.PF1Fz的周长为643D.PF1F2的外接圆半径为651215(2024湖北襄阳二模)抛物线C:x2=2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、B两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x2=8yB.抛物线的准线方程为：y=-1C.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切D.AF+BF416(2024浙江杭州三模)如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若 OA+OB=1恒成立，则l始终和曲线C：x+y=1相切，关于曲线C的说法正确的有()7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.曲线C关于直线y=x和y=-x都对称B.曲线C上的点到12,12和到直线y=-x的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是24,1 D.曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于1-417(2024河南三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(2,1)，且离心率为22记C在P处的切线为l，平行于OP的直线l与C交于A，B两点，则()A.C的方程x24+y22=1B.直线OP与l的斜率之积为-1C.直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形18(2024辽宁模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么()A.若PA与C相切，则PB也与C相切B.APB2C.若点P在x轴上，则PA PB 为定值D.若点P在x轴上，且满足|PA|=4|PB|，则直线l的斜率绝对值为4319(2024广东汕头二模)用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为2时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率e=coscos.例如，当=时，e=1，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M、N分别为SD、SO的中点，AB、CD为底面的两条直径，且ABCD、AB=4，SO=2.现用平面(不过圆锥顶点)截该圆锥，则()8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.若MN，则截口曲线为圆B.若与SO所成的角为60，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分C.若M、A、B，则截口曲线为抛物线的一部分D.若截口曲线是离心率为2 的双曲线的一部分，则O三、填空题三、填空题20(2024北京三模)已知双曲线C:y24-x2=1则C的离心率是；若C的一条渐近线与圆D:x-12+y2=1交于A，B两点，则 AB=21(2024河北衡水三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1,1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB中点，则AF1B的周长为22(2024山东聊城三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(ba0)的一个焦点为F,O为坐标原点，点A,B在双曲线上运动，以A,B为直径的圆过点O，且 OA+OB OF OA OB 恒成立，则C的离心率的取值范围为23(2024湖南衡阳三模)如图所示，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于A，B两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，AB=2BF，且三点A，O，G共线(其中O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为24(2024北京三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，则F的坐标为；过点F的直线交抛物线C于A,B两点，若 AF=4，则OAF的面积为9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢25(2024湖南长沙三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A,B两点.若 AB=12，则C的焦距为.26(2024河北保定三模)若双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点为F1，F2，P是其右支上的动点.若存在P，使得|PF2|，t|F1F2|，|PF1|(t0)依次成等比数列，则t的取值范围为.四、解答题四、解答题27(2024北京三模)已知椭圆E:x24+y2b2=1 b20,b0的离心率为2，顶点到渐近线的距离为62(1)求C的方程；(2)若直线l:y=kx+2交C于A,B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为2 6，求k的值10水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢29(2024山东模拟预测)已知抛物线E：y2=2px p0经过点P 1,2.(1)求抛物线E的方程；(2)设直线y=kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补.(i)求k的值；(ii)若mb0)的左焦点为F，上顶点为B，离心率e=22，直线FB过点P(1,2).(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点(M、N都不在坐标轴上)，若MPF=NPF，求直线l的方程.11水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢31(2024重庆三模)已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，OMN的重心为G.(1)求点G的轨迹方程;(2)记(1)中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1)，若点H(3,0)恰好是ABQ的垂心，求直线l的方程.32(2024云南曲靖模拟预测)已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点P为曲线C的准线与对称轴的交点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点.(1)证明：当APB=90时，PA、PB与抛物线相切；(2)当APB=45时，求 AB.12水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢33(2024四川模拟预测)已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，A为抛物线上一点，B p,0，若AB的最小值为2(1)求抛物线C的方程；(2)直线l过点P 5,-4且交抛物线C于M，N两点，求 FM FN的最小值34(2024湖南长沙二模)已知椭圆E中心在原点，左焦点为F(-1,0)，其四个顶点的连线围成的四边形面积为2 2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的左焦点F作斜率存在的两直线AB、CD分别交椭圆于A、B、C、D，且ABCD，线段AB、CD的中点分别为M、N.求四边形BCMN面积的最小值.13水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢35(2024福建厦门三模)平面直角坐标系xOy中，动点P在圆x2+y2=4上，动点Q(异于原点)在x轴上，且|PQ|=2，记PQ的中点M的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点(3,1)的动直线l与交于A，B两点.问：是否存在定点N，使得k1k2为定值，其中k1,k2分别为直线NA，NB的斜率.若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.14水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢圆锥曲线圆锥曲线1(新课标全国卷)已知曲线C：x2+y2=16(y0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()A.x216+y24=1(y0)B.x216+y28=1(y0)C.y216+x24=1(y0)D.y216+x28=1(y0)【答案】A【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P(x,0)，因为M为PP的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，又P在圆x2+y2=16(y0)上，所以x2+4y2=16(y0)，即x216+y24=1(y0)，即点M的轨迹方程为x216+y24=1(y0).故选：A2(全国甲卷数学(理)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上、下焦点分别为F10,4,F20,-4，点P-6,4在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.【详解】由题意，F10,-4、F20,4、P-6,4，则 F1F2=2c=8，PF1=62+4+42=10，PF2=62+4-42=6，则2a=PF1-PF2=10-6=4，则e=2c2a=84=2.故选：C.3(新高考天津卷)双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x28-y22=1B.x28-y24=1C.x22-y28=1D.x24-y28=1【答案】C1水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【分析】可利用PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 PF2=m，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a.【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，F1PF2=90，设 PF2=m，PF2F1=1,PF1F2=2，由kPF2=tan1=2，求得sin1=25，因为F1PF2=90，所以kPF1kPF2=-1，求得kPF1=-12，即tan2=12，sin2=15，由正弦定理可得：PF1:PF2:F1F2=sin1:sin2:sin90=2:1:5，则由 PF2=m得 PF1=2m,F1F2=2c=5m，由SPF1F2=12PF1 PF2=12m2m=8得m=2 2，则 PF2=2 2,PF1=4 2,F1F2=2c=2 10,c=10，由双曲线第一定义可得：PF1-PF2=2a=2 2，a=2,b=c2-a2=8，所以双曲线的方程为x22-y28=1.故选：C4(新课标全国卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C C的一部分.已知C C过坐标原点O.且C C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a-2且x-22+y2 x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02 0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2 x+2=4，而x-2，故x-22+y2 x+2=4.当x=2 2,y=0时，2 2-22 2 2+2=8-4=4，故 2 2,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-2454940，故此时y21，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点 x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-2216x0+22，故-4x0+2y04x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PAABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 PB=2先算出P的坐标，然后验证kPAkAB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成 PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PAl，则P的纵坐标yP=4，由y2P=4xP，得到xP=4，故P(4,4)，此时切线长 PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当 PB=2时，xP=1，此时y2P=4xP=4，故P(1,2)或P(1,-2)，3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，kPA=4-20-1=-2，kAB=4-20-(-1)=2，不满足kPAkAB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，kPA=4-(-2)0-1=-6，kAB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足kPAkAB=-1；于是PAAB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是 PA=PB时P点的存在性问题转化成 PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF=14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，=162-430=1360，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得 PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PBl可得B-1,t，又A(0,4)，又 PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，=162-430=1360，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C C于A A，B B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C C的离心率为【答案】32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 AF2，结合双曲线第一定义求出 AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入x2a2-y2b2=1得y=b2a，即A c,b2a,B c,-b2a，故 AB=2b2a=10，AF2=b2a=5，又 AF1-AF2=2a，得 AF1=AF2+2a=2a+5=13，解得a=4，代入b2a=5得b2=20，故c2=a2+b2=36,，即c=6，所以e=ca=64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y2=16x，则焦点坐标为【答案】4,0【分析】形如y2=2px,p0的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y2=16x，所以其焦点坐标为 4,0.故答案为：4,0.8(新高考北京卷)已知双曲线x24-y2=1，则过 3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为【答案】12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x=3与x24-y2=1，解得y=52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k，则过点 3,0且斜率为k的直线方程为y=k x-3，联立x24-y2=1y=k x-3，化简并整理得：1-4k2x2+24k2x-36k2-4=0，由题意得1-4k2=0或=24k22+4 36k2+41-4k2=0，解得k=12或无解，即k=12，经检验，符合题意.故答案为：12.9(新高考天津卷)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢则原点到直线AF的距离为【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线AF的距离.【详解】圆(x-1)2+y2=25的圆心为F 1,0，故p2=1即p=2，由x-12+y2=25y2=4x 可得x2+2x-24=0，故x=4或x=-6(舍)，故A 4,4，故直线AF:y=43x-1即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0，故原点到直线AF的距离为d=45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为【答案】4 2【分析】根据抛物线的定义知xP=8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y2=4x知抛物线的准线方程为x=-1，设点P x0,y0，由题意得x0+1=9，解得x0=8，代入抛物线方程y2=4x，得y20=32，解得y0=4 2，则点P到x轴的距离为4 2故答案为：4 211(新课标全国卷)已知A(0,3)和P 3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程【答案】(1)12(2)直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.【分析】(1)代入两点得到关于a,b的方程，解出即可；(2)方法一：以 AP为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的距离，再设B x0,y0，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点 B到直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线y=kx+3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率不存在的情况，再设PB:y-32=k(x-3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：kAP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-322=3 52，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=293 52=12 55，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移12 55单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=12 55，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3 或x=-3y=-32，即B 0,-3或-3,-32，当B 0,-3时，此时kl=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-32时，此时kl=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0 得2y2-27y+117=0，=272-42117=-2070，且kkAP，即k-12，x1+x2=24k2-12k4k2+3x1x2=36k2-36k-274k2+3,PB=k2+1x1+x22-4x1x2=4 3k2+13k2+9k+2744k2+3，A到直线PB距离d=3k+32k2+1,SPAB=124 3k2+13k2+9k+2744k2+33k+32k2+1=9，k=12或32，均满足题意，l:y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢法六：当l的斜率不存在时，l:x=3,B 3,-32,PB=3,A到PB距离d=3，此时SABP=1233=929不满足条件.当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-3)+32，设l与y轴的交点为Q，令x=0，则Q 0,-3k+32，联立y=kx-3k+323x2+4y2=36，则有 3+4k2x2-8k 3k-32x+36k2-36k-27=0，3+4k2x2-8k 3k-32x+36k2-36k-27=0，其中=8k23k-322-4 3+4k236k2-36k-270，且k-12，则3xB=36k2-36k-273+4k2,xB=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQxP-xB=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.12(新课标全国卷)已知双曲线C:x2-y2=m m0，点P15,4在C上，k为常数，0kb0)的右焦点为F，点M 1,32在C上，且MFx轴(1)求C的方程；(2)过点P 4,0的直线与C交于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQy轴【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c,0，根据M的坐标及MFx轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，联立直线方程和椭圆方程，用A,B的坐标表示y1-yQ，结合韦达定理化简前者可得y1-yQ=0，故可证AQy轴.【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.12水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得 3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故=1024k4-4 3+4k264k2-120，故-12kb0，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 0,tt2的直线l与椭圆交于A，B，C 0,1，连接AC交椭圆于D(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t【答案】(1)x24+y22=1,e=22(2)t=2【分析】(1)由题意得b=c=2，进一步得a，由此即可得解；13水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(2)说明直线AB斜率存在，设AB:y=kx+t,t2，A x1,y1,B x2,y2，联立椭圆方程，由韦达定理有x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-42k2+1，而AD:y=y1-y2x1+x2x-x1+y1，令x=0，即可得解.【详解】(1)由题意b=c=22=2，从而a=b2+c2=2，所以椭圆方程为x24+y22=1，离心率为e=22；(2)显然直线AB斜率存在，否则B,D重合，直线BD斜率不存在与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，从而设AB:y=kx+t,t2，A x1,y1,B x2,y2，联立x24+y22=1y=kx+t，化简并整理得 1+2k2x2+4ktx+2t2-4=0，由题意=16k2t2-8 2k2+1t2-2=8 4k2+2-t20，即k,t应满足4k2+2-t20，所以x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-42k2+1，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D-x2,y2，所以AD:y=y1-y2x1+x2x-x1+y1，在直线AD方程中令x=0，得yC=x1y2+x2y1x1+x2=x1kx2+t+x2kx1+tx1+x2=2kx1x2+t x1+x2x1+x2=4k t2-2-4kt+t=2t=1，所以t=2，此时k应满足4k2+2-t2=4k2-20k0，即k应满足k22，综上所述，t=2满足题意，此时k22.15(新高考天津卷)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)椭圆的离心率e=12左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中SABC=3 32(1)求椭圆方程(2)过点 0,-32的动直线与椭圆有两个交点P，Q在y轴上是否存在点T使得TP TQ 0恒成立若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由14水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【答案】(1)x212+y29=1(2)存在T 0,t-3t32，使得TP TQ 0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e=12，故a=2c，b=3c，其中c为半焦距，所以A-2c,0,B 0,-3c,C 0,-3c2，故SABC=122c32c=3 32，故c=3，所以a=2 3，b=3，故椭圆方程为：x212+y29=1.(2)若过点 0,-32的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y=kx-32，设P x1,y1,Q x2,y2,T 0,t，由3x2+4y2=36y=kx-32 可得 3+4k2x2-12kx-27=0，故=144k2+108 3+4k2=324+576k20且x1+x2=12k3+4k2,x1x2=-273+4k2,而TP=x1,y1-t,TQ=x2,y2-t，故TP TQ=x1x2+y1-ty2-t=x1x2+kx1-32-tkx2-32-t=1+k2x1x2-k32+tx1+x2+32+t2=1+k2-273+4k2-k32+t12k3+4k2+32+t2=-27k2-27-18k2-12k2t+332+t2+3+2t2k23+4k2=3+2t2-12t-45k2+332+t2-273+4k2，因为TP TQ 0恒成立，故3+2t2-12t-450332+t2-270，解得-3t32.若过点 0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3,Q 0,-3或P 0,-3,Q 0,3，此时需-3t3，两者结合可得-3t32.综上，存在T 0,t-3t32，使得TP TQ 0恒成立.15水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线:x2-y2b2=1,(b0),左右顶点分别为A1,A2，过点M-2,0的直线l交双曲线于P,Q两点.(1)若离心率e=2时，求b的值(2)若b=2 63,MA2P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标(3)连接OQ并延长，交双曲线于点R，若A1R A2P=1，求b的取值范围【答案】(1)b=3(2)P 2,2 2(3)0,33,303【详解】(1)由题意得e=ca=c1=2，则c=2，b=22-1=3(2)当b=2 63时，双曲线:x2-y283=1，其中M-2,0，A21,0，因为MA2P为等腰三角形，则当以MA2为底时，显然点P在直线x=-12上，这与点P在第一象限矛盾，故舍去；当以A2P为底时，MP=MA2=3，设P x,y，则 x2-3y28=1(x+2)2+y2=9,联立解得x=-2311y=-8 1711 或x=-2311y=8 1711 或x=1y=0，因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知 MP MA2，矛盾，舍去)；当以MP为底时，A2P=MA2=3，设P x0,y0，其中x00,y00，则有x0-12+y20=9x20-y2083=1，解得x0=2y0=2 2，即P 2,2 2综上所述：P 2,2 2.(3)由题知A1-1,0,A21,0，当直线l的斜率为0时，此时A1R A2P=0，不合题意，则kl0，则设直线l:x=my-2，设点P x1,y1,Q x2,y2，根据OQ延长线交双曲线于点R，根据双曲线对称性知R-x2,-y2，联立有x=my-2x2-y2b2=1 b2m2-1y2-4b2my+3b2=0，16水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢显然二次项系数b2m2-10，其中=-4mb22-4 b2m2-13b2=4b4m2+12b20，y1+y2=4b2mb2m2-1，y1y2=3b2b2m2-1，A1R=-x2+1,-y2,A2P=x1-1,y1，则A1R A2P=-x2+1x1-1-y1y2=1，因为P x1,y1,Q x2,y2在直线l上，则x1=my1-2，x2=my2-2，即-my2-3my1-3-y1y2=1，即y1y2m2+1-y1+y23m+10=0，将代入有 m2+13b2b2m
