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2024 年暑假初升高衔接 数学讲义拓展初中-衔接高中-精准定位-强化练习！1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的 了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。这也是我们继续高中数 学学习的基础。 良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。高一 数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识 中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等， 它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试 题的 60%以上。1 、 有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱 好它，爱好它不如乐在其中。“好 ”和“乐 ”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产 生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，我们把这 种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识 ”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功 者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、 教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提 问的评价，变为鞭策学习的动力。（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、 直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能使对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、 推理时会准确。2 、 建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习 感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过 程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的 自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。3 、 有意识培养自己的各方面能力数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这 些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实 践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维， 把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中 得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课 ”和“智力问题 ”比如对习题的解答时的一题多 解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中， 学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展。2.如何学好高中数学有许多初中阶段数学成绩很好的学生，升入高中后，感觉数学学习困难，他们在做习题或课外练习时，常常感 到茫然，不知从何下手，因而，一个阶段后，数学成绩出现了严重的滑坡现象。出现这种现象的主要原因是什么呢？ 根据我多年的教学实践，主要是以下几个方面的原因：教材的原因：初中数学教材，多数知识点与学生日常生活实际贴近，且初中教材遵循从感性认识上升到理性认 识的规律，叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，应试效果也比较理想。 因而，学生一般容易接受、理解和掌握。相对而言，高中数学概念抽象，逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，知识难度 加大，抽象思维和空间想象能力明显提高，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算相对复杂，体现了“起点高、 难度大、容量多 ”的特点。这一变化，不可避免地造成了部分学生不适应高中数学学习，进而影响成绩的提高。教法的原因：初中数学内容少，知识难度不大，教学要求较低，因而教学进度较慢，对于某些重点、难点，教 师可以有充裕的时间反复讲解、多次演练，来弥补不足。但是进入高中后，数学教材内涵丰富，教学要求不断提高， 教学进度相应加快，知识的重点和难点也不可能象初中那样通过反复强调来排难释疑，且高中教学往往通过设导、 设问、设陷、设变，启发引导，开拓思路，然后由学生自己思考、去解答，比较注意知识的发生过程，倾重对学生 思想方法的渗透和思维品质的培养。这使得刚入高中的部分学生不适应教学方法，听课时存在思维障碍，跟不上教 师的思维，从而产生学习障碍，影响数学的学习。学法的原因：在初中，部分学生习惯于围着教师转，独立思考和对规律进行归纳总结的能力较差，满足于知识 的接受，缺乏学习的主动性。而到了高中，数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思维方法， 做到举一反三，触类旁通。但是，刚入学的高一新生，往往沿用初中时的学法，致使学习出现困难，甚至完成当天 作业都有困难，更谈不上复习、总结等自我消化、 自我调整了。其它原因：学生学习数学的情感、兴趣、性格、意志品质的优劣、学习目的和学习态度如何，在某种意义上也 能影响高一学生数学学习。针对以上影响数学学习的原因，同学们应当怎样弥补这些不足呢？下面从高中学生数学学习的几个常规步骤方 面谈一谈：透彻领悟所学知识：高中数学的理论性、抽象性强，这就需要学生在知识的理解上下大功夫，不仅要弄清数学 概念的实质，还要弄清概念的背景及其与其它概念的联系。例如初三学生都会解一元二次方程，我曾在高一新生中 做过这种调查：为什么一元二次方程在0 时有根？答对率不到 15，说明了什么？学生对一元二次方程这个概 念理解不透彻，相关知识缺乏联系。科学地对待预习：对于一部分数学基础不太理想的同学，我主张课前预习。正确的方法是先不打开书，设想这 节课的内容、结构，然后打开书；看到要对某个概念进行定义，马上盖上书， 自己试着定义一下；看到一个定理的 第一句叙述，再盖上书自己猜想他的结论；看到一个公式时，也是这样。看到例题时，先不要看解法， 自己先在纸 上把它做一遍，再与书上的解法进行比较、思考这样的预习，无论对知识的掌握，还是对思维的训练，都是有 益的。对于数学基础较好，思维反应敏锐的同学，我不主张课前预习。因为通过预习已经知道了课上要讲的内容、结 论、推导过程、例题解法等，那么，课堂上还谈何“超前思维、真正做课堂的主人、在思维运动中训练思维呢？ ” 这白白浪费了课堂上发展自己智力素质的机会。提高听课效率：高中学习期间，学生在课堂的时间占了一大部分。因此听课效率如何，决定着学习的效果。我 认为，提高听课效率应注意以下几个方面：首先应做好课前的物质准备和精神准备，上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于 激烈的体育运动，以免上课后还气喘嘘嘘，不能平静下来。其次就是听课。听课，重要的不是“听 ”，而是“想 ”。听是前提，随之是积极地思维。要全身心地投入课堂学 习，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自 己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师 所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的教学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。 口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出教材的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。 将听课中的要点、思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。总之，“自己动手 ”的课堂听讲，是最科学的。 重视复习和总结：1 、及时做好复习. 听完课的当天，必须做好当天的复习。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时老师讲 的内容，分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写），尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照 一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天课堂听课的效果如何，也 为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。2 、做好单元复习。 学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同及时复习一样，采取回忆式复习，而后与 书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。3 、做好单元小结。 单元小结内容应包括以下部分：（1）本单元（章）的知识网络；（2）本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；（3） 自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章你觉得 最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。做适量的练习题：有不少同学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上，这是不妥当的。事实上，要提高数学 成绩，重要的不在做题多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。如果 你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而加深了你的缺欠，因此，在准确地把握住基本知识和方法的 基础上，做一定量的练习是必要的。而对于中档题，尢其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做 题后进行一定的“反思 ”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想 法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，你就会得到更多的经验和 教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于你今后的学习。当然没有一定量（老师布置的作业量） 的练习是不能形成技能的。另外，无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧， 这也是学好数学的重要方面。课外要自学、研究：课外自学与研究的目的是扩大知识面，开阔眼界，进一步提高应用所学知识解决问题的能 力。课外自学的范围不宜过大，应该围绕所学的教材进度看一些课外参考书及数学杂志，作一些较新鲜或难度较大 的习题。课外自学应该是有计划地有节制地进行，不要因小失大，更不要影响其它学科的学习。在课外自学的过程 中，发现一些新颖而有价值的习题、一些好的思维方法与解题方法 ，应该记下来，以便进一步学习掌握。基础较好， 分析能力较强的学生，可以选一、二个专题，深入进行探讨和研究，把研究结果写成论文，用以培养和锻炼自己的 思维能力。基础不太好、分析能力一般的学生，应该经常和基础好、分析能力强的同学在一起研究、探讨一些数学 问题，从中学习他们好的数学思维方法。方法是学好数学的必要条件。另外，还要记住两句话;“对一切来说，只有热爱才是最好的老师 ”、“书山有路勤 为径，学海无涯苦做舟 ”。有了兴趣，有了方法，再有勤奋的精神，我相信，每一个有志同学一定能学好高中数学。3.熟知高中数学特点是高一数学学习关键一、高中数学与初中数学特点的变化。1 、数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄 ”。确实，初、高中的数学语言有 着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、 逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。2 、思维方法向理性层次跃迁。高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学 生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的 平面几何问题，也对线段相等、角相等分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便 于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，正如上节所述，数学语言的抽象化对思维能力提 出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的事，这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应， 故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证形思维。3 、知识内容剧增初中数学知识少、浅、难度容易、知识面笮。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初 中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0180 ° ”范围内的，但实际当中也有 720 °和“360 °等角， 为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习立体几何，将 在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合 ”知识，以便解决排队方法种数等问题。如： 三个人排成一行，有几种排队方法，（答：=6 种）；四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：=3 种） 高中将学习统计这些排列的数学方法。初中中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了i=-1,就使-1 的平方根为± i. 即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。二、不良的学习状态。1 、学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教学中教师将各种题型都一一罗列，学 生依赖于教师为其提供套用的“模子 ”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学 方法变了，套用的“模子 ”没有了，家长辅导的能力也跟不上了，由“参与学习 ”转入“督促学习 ”。许多同学进入 高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等 上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“ 门道 ”，不会巩固所学的知识。2 、学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而 一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、 总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背， 还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。3 、进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要 求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次 函数值的求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际 应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习 的要求。三、学习数学的几种方法1 、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识 2 、建立数学纠错 本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反 面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3 、记忆数学规律和数学小结论。4 、与同学建立好关系，争做“小老师 ”，形成数学学习“互助组 ”。5 、争做数学课 外题，加大自学力度。6 、反复巩固，消灭前学后忘。7 、学会总结归类。可：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类4.高中数学学习方法和特点回忆初中阶段所学的全部平面几何的内容及代数中的有理数、多项式、二次根式、方程、不等式和函数等，不 仅在知识上而且在数学能力上已经作好了高中继续学习的准备。只要认清高中数学的特点，并促使自己适应这些特 点，那么学好高中数学是完全可能的。高中数学的特点概括地说，有以下三点。1 、知识的抽象性大：在初中学习的“函数”的基础上，高一又要学习“集合”、“对应”、“映射”等更为抽象的知识。 高一的立体几何也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说思维要从直观，经验型向抽象，理论型过渡。2 、知识的密度增大：由于年龄的增长，接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内容多而杂，这就决定了 高中数学每节课的内容较初中时要多，即密度加大了。教师在教法上也随之有所变化。初中时教师常常把知识掰开揉碎地细讲， 同时还选相当数量的习题去巩固这一知识；而在高中却常常是在新知识的开始阶段，例题即有一定的坡度。尤其强调知识的“以 旧带新”和“横向，纵向的沟通、联系”。一节课下来，似乎是听懂了，但一遇到作业常常感到知识的运用不熟练，思路不通畅。 似乎总感到新知识没有完全掌握，更新的知识又接踵而来。3 、知识的独立性大：初中知识的系统性是较严谨的，平面几何尤其如此，这个系统给我们学习带来了很大的 方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。因此，平面几何的知识使人长久不忘，记得清，用得上。但高中的数学却不同了，除了立体几何、解析几何有个相对明确的系统（与平面几何相比也不成体统），代数、三角的 内容具有相对的独立性。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点，否则， 综合运用知识的能力必然会欠缺。高一数学成绩下降的原因分析及对策初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，相当多的高一学生数学不及格，出现了严重 的两极分化，少数学生甚至对学习失去了信心。前几年，不少学校受高考指挥棒的影响，只注重升学率而忽视了合 格率。现在高中搞会考制，上述问题引起了各校足够的重视。本文对高一数学成绩大面积下降谈谈造成的原因及应 采取的对策。一、高一数学成绩大面积下降的原因 1 . 初、高中教材间梯度过大。初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定 义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处 理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一章就是集合、映射等 近世代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题（在幂函数中，由于指数不同，具有不同的性质和图象）。函数单调性 的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高， 高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学。这些都是高一数学成绩大面积下降的客 观原因。2 . 高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法。高一学生普遍反映数学课能听懂但作业不会做。不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不去，追 究其原因是初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会 相当多。为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。在初三，重点题目反复做过多 次。而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推理上下功夫。又由于高中搞小循 环，接高一课程的教师刚带完高三，他们往往用高三复习时应达到的难度来对待高一教学。因此造成初、高中教师 教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。3 . 高一学生的学习方法不适应高中数学学习。高一学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业。但 课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程； 不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上了高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要 求。上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习。二、搞好高一数学教学的对策及方法针对上述问题，笔者认为要想大面积提高高一数学成绩，应采取如下措施。 1 . 高一教师要钻研初中大纲和教材。高中教师应听初中数学课，了解初中教师的授课特点。开学初，要通过摸底测验和开学生座谈会，了解学生掌 握知识的程度和学生的学习习惯。在摸清三个底（初中知识体系，初中教师授课特点，学生状况）的前提下，根据 高一教材和大纲，制订出相当的教学计划，确定应采取的教学方法，做到有的放矢。2 . 新高一要放慢进度，降低难度，注意教学内容和方法的衔接。根据实践，新高一第一章课时数要增加。要加强基本概念、基础知识的教学。教学时注意形象、直观。如讲映 射时可举“某班 5 0 名学生安排到 5 0 张单人桌上的分配方法 ”等直观例子，为引人映射概念创造阶梯。由于新高 一学生缺乏严格的论证能力，所以证明函数单调性时可进行系列训练，开始时可搞模仿性的证明。要增加学生到黑 板上演练的次数，从而及时发现问题，解决问题，章节考试难度不能大。通过上述方法，降低教材难度，提高学生 的可接受性，增强学生学习信心，让学生逐步适应高中数学的正常教学。3 . 严格要求，打好基础。开学第一节课，教师就应对学习的五大环节提出具体、可行要求。如：作业的规范化，独立完成，订正错题等 等。对学生在学习上存在的弊病，应限期改正。严格要求贵在持之以恒，贯穿在学生学习的全过程，成为学生的习惯。考试的密度要增加，如第一章可分为三块进行教学，每讲完一块都要复习、测验及格率不到 7 0 %应重新复习、 测验，课前 5分钟小题测验，应经常化，用以督促、检查、巩固所学知识。实践表明，教好课与严要求，是提高教 学质量的主要环节。4 . 指导学生改进学习方法。良好的学习方法和习惯，不但是高中阶段学习上的需要，还会使学生受益终生。但好的学习方法和习惯，一方 面需教师的指导，另一方面也靠老师的强求。教师应向学生介绍高中数学特点，进行学习方法的专题讲座，帮助学 生制订学习计划。这里，重点是会听课和合理安排时间。听课时要动脑、动笔、动口，参与知识的形成过程，而不 是只记结论。教师应有针对性地向学生推荐课外辅导书，以扩大知识面。提倡学生进行章节总结，把知识串成线， 做到书由厚读薄，又由薄变厚。期中、期末都要召开学习方法交流会，让好的学习方法成为全体学生的共同财富。5.怎样培养好对学习的良好习惯？不要再被动的因为要学习而学习，而是要主动的需求学习的方法，怎么培养对学习的兴趣？以下几点可供参考：（一）培养良好的学习习惯现代教育倡导自主性学习和研究性学习，坚信能力是练出来的，因此我们在课程安排和教学常规中，设置有 课前三分钟准备、晚修分段学习、教学三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，这样设置的目的，就是为了培养同 学们良好的修习养身习惯。我希望同学们领会意图，配合学校的安排。在课前三分钟，提前回到自己的座位，把课 本和学习用品准备好，把自己的思想从课间活动拉回来，在科任老师和科代表的指导下，或朗读课文、定理、定律， 或背诵名句、单词、公式，或做小测练课堂上，聚精会神听老师讲课，深入思考和积极回答问题，善于做笔记， 做到眼晴看、耳朵听、嘴巴说、脑筋想、手头记，充分调动和发挥各器官功能晚修分时段学习，合理安排各科 学习时间，做到复习、作业、预习三不误，照顾到当天学习及第二天学习的全部学科，做到均衡发展，要主动到走 廊上请教下班辅导的老师，维护课室里面安静的晚修秩序，提高晚修的效率。（二）抓好预习环节预习，即课前的自学。指在教师讲课之前， 自己先独立地阅读新课内容。初步理解内容，是上课做好接受新 知识的准备过程。有些学生由于没有预习习惯，对老师一堂课要讲的内容一无所知，坐等教师讲课，老师讲什么就 听什么，老师叫干什么就干什么，学习就很辛苦。有些学生虽能预习，但看起书来似走马观花，不动脑、不分析， 这种预习一点也达不到效果。老师建议：预习时要读、思、问、记同步进行，对课本内容能看懂多少就算多少，不 必求全理解，疑难也不必钻深，只需顺手用笔作出不同符号的标记，把没有读懂的问题记下来，作为听课的重点。 但对牵涉到已学过的知识以及估计老师讲不到的小问题，自己一定要搞懂，以消灭“拦路虎 ”。预习应在当天作业做 完之后再进行。时间多，就多预习几门，钻得深一点；反之，就少预习几门，钻得浅一点。切不可以每天学习任务 还未完成就忙着预习，打乱了正常的学习秩序。若你以前没有预习的习惯，现在可以先选一两门自己学起来感到吃 力的学科进行预习尝试，等尝到甜头，取得经验后，再逐渐增加学科，直到全面铺开。（三）注重听课环节学生的大部分时间是在课堂中度过的。因此，听课是学生接受教师指导，掌握知识，发展智力的中心环节， 是获取知识的重要途径，是保证高效率学习的关键。听课时，有的学生全神贯注，专心听讲；有的分心走神，萎靡 不振，打瞌睡；有的像录音机，全听全录；有的边听边记，基本上能把教师讲的内容都记下来；有的以听为主，边 听边思考，有了问题记下来；有的干脆不记，只顾听讲；有的边听边划边思考。思考时，有的思考当堂内容，有的 思考与本课相关的知识体系，有的思考教师的思路，有的拿自己的思路与教师的思路比较。那么，怎样才能达到听 好课的目的呢？总的要求是：要抓住各学科的不同特点，带着问题听，听清内容，记住要点，抓住关键，着重听老 师的讲课方法与思路，释疑的过程与结论。（四）紧抓复习环节复习是对前面已学过的知识进行系统再加工，并根据学习情况对学习进行适当调整，为下一阶段的学习做好 准备。因此，每上完一节课，每学完一篇课文，一个单元，一册书都要及时复习。若复习适时恰当，知识遗忘就少。 早在 1885 年，德国的心理学家艾滨浩斯，通过实验发现刚记住的材料，一小时后只能保持 44%；一天后能记住 33%； 两天后留下的只有 28%；六天后为 25% 。所有的人，学习的知识都会发生先快后慢的遗忘过程。一些记性好的学生 是因为能经常从不同的角度、不同的层次上进行复习，做到“每天有复习，每周有小结，每章有总结 ”，从而形成了惊人的记忆力。很多学生对所学知识记不住，并不是脑子笨，而是不善于复习，或复习功夫不深。最好的做法是：（1） 当天学的知识，要当天复习清，。否则，内容生疏了，知识结构散了，重新学习花费的时间就会更多。（2）要紧紧围 绕概念、公式、法则、定理、定律复习。通过追根溯源，思考它们是怎么形成与推导出来的？能应用到哪些方面？ （3）要反复复习。学完一课复习一次，学完一章或一个单元，又复习一次，学习一阶段再系统总结一遍，期末还要 专门复习。通过这种步步为营的复习，形成的知识联系就不会消退。学校为此采取了教学“三清 ”措施，希望老师 和同学们认真做好教学三清工作。（五）独立完成作业环节独立完成作业是深化知识，巩固知识，检查学习效果的重要手段，也是复习与应用相结合的主要形式。然而，有些学生 没有真正利用好这个环节。他们一下课就抢着做作业，作业一完，万事大吉。更有些学生课上根本没听懂，下课后也不问，作 业抄袭后向老师交差完事。其实，做好作业有以下意义：1.可以检查自己的学习效果。2、做作业可以发现问题，增强解决问题 的能力。3、做作业可以加深对知识的理解，把易混淆的概念搞清楚，把公式的变换搞熟练，有利于把书本上的知识转化成自己 的知识。希望同学们能按时、独立完成作业。（六）认真记好课堂笔记记笔记是为了学，为了懂，为了用。记笔记的原则是以听为主，以记为辅。简练明白，提纲挈领，详略得当， 书上有的不必多记。难点不放过，疑点有标记。不乱，不混，条理明。对联想、发现的问题，要及时记。笔记要留 有空白处，便于复习时补缺初中板块：第 1 讲 数与式 乘法公式 数与式 根式数与式 公式法 l 分式l分解因式l其它方法知识点一：乘法公式 【内容概述】【公式 1】 (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 【公式 2】 (a + b)(a2 - ab + b 2 ) = a 3 + b3 (立方和公式) 【公式 3】 (a -b)(a2 + ab + b 2 ) = a 3 -b3 (立方差公式) 【公式 4】 (a +b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 （请同学证明） 【公式 5】 (a -b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 （请同学证明） 【典型例题1】：例 1.计算： 例 2.计算： (2a + b)(4a2 - 2ab + b2 )例 3.计算(1)(3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2 ) (2)(2x - 3)(4x2 + 6xy + 9)变式 1：利用公式计算（1） (2) (a + b )(a2 - ab + b2 ) (a -b )(a2 + ab + b2 )变式 2:利用立方和、立方差公式进行因式分解 27m3 - n3 27m3 - x3 -125 m6 - n6【典型例题2】：例 4.计算： 例 5.已知 x2 - 3x +1 = 0 ，求 x 3 + 的值.例 6.已知 a + b + c = 0 ，求 a 的值.变式 1:计算： (x +1)(x -1)(x2 - x +1)(x2 + x +1) .变式 2:已知 a +b + c = 4 ， ab + bc + ac = 4 ，求 a2 + b2 + c2 的值.知识点二、根式 【内容概述】式子 ·(a 0) 叫做二次根式，其性质如下：(1) (2) a2 =| a |(3) (4) 【典型例题1】：基本的化简、求值例 7.化简下列各式 (2) 例 8. 计算变式 1:二次根式a2 = -a 成立的条件是( )A a > 0 B a < 0 C a 0 D a 是任意实数变式 2:若x < 3 ，则 9-6x+x2- | x - 6 | 的值是( )A. - 3 B. 3 C. - 9 D. 9变式 3：计算【说明】1、二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.2、二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开 出来；分母中有根式 或被开方数有分母(如形式(如)这时可将其化为可化为 转化为 “分母中有根式 ”的情况.化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简 化为 其中2 + ·i3 与 2 - 叫做互为有理化因式).【典型例题2】：有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代 数式叫做有理化因式。如 ·ia 与 va ； 与 a 互为有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。例 9.计算：（1） ( + + 1)(1 - + ) - ( + ) 2 (2) 例 10.设 x = 3 ，求 x3 + y3 的值知识点三、分式【典型例题1】：分式的化简例 11.化简 例 12.化简【典型例题2】：分式的证明例 试证： 一 （其中 n是正整数）； 计算： （3）证明：对任意大于 1 的正整数【典型例题3】：分式的运用例 14. 设 e = ，且 e1，25ac2 0，求 e的值.变式 1：对任意的正整数 = _-变式 2:选择题：若 则 ）（A） 1 （B） （C） （D） 变式 3:计算+ .+ 知识点四、因式分解 【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解 方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方 公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。【典型例题1】：公式法(立方和、立方差公式)【内容概述】我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： (a + b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 (立方和公式) (a -b)(a2 + ab + b2 ) = a3 -b3 (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) a3 -b3 = (a -b)(a2 + ab + b2 )这就是说，两个数的立方和(差) ，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 。运用 这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。例 15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 8 + x3 (2) 0.125 - 27b3变式： 分解因式： (1) 3a3b- 81b4 (2) a7 - ab6【典型例题2】：分组分解法【内容概述】从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项 以上的多项式，如 ma + mb + na + nb 既没有公式可用，也没有公